1. Lección 3 - Leyes de Capitalización

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1 1. Lección 3 - Leyes de Capitalización Apuntes: Matemáticas Financieras 1.1. Capitalización Simple Expresión matemática La expresión matemática de la capitalización simple es: L 1 (t) = 1 + i t para t > 0 Dicha expresión indica que, cuando pasen t periodos, una unidad monetaria se convierte en 1 + i t unidades monetarias. El parámetro i es el Tanto y por lo tanto mide el incremento por unidad de cuantía y de tiempo. Para que se cumpla el principio de subestimación de capitales futuros el signo de i debe ser positivo. La variable t mide el tiempo durante el cual se está capitalizando. Cuando se aplica la ley financiera el tiempo debe venir expresado en la misma unidad temporal que el tanto i (por ejemplo, si el tanto es mensual, entonces t deben ser número de meses). La capitalización simple se usa en el corto plazo, es decir en periodos inferiores a un año Montante e Interés Se denomina Montante al capital equivalente en t de las C unidades monetarias iniciales. La cuantía del montante (M) se obtiene como: M = C(1 + i t) = C + C i t Se denomina Interés al incremento que experimenta el capital de cuantía C al colocarlo duante t periodos. La cuantía del interés (I) se obtiene como: I = M C = C + C i t 1

2 1.1 Capitalización Simple Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 7 años a un tipo de interés simple del 5 % (o utilizando la ley de capitalización simple). El montante de la operación es M = C(1 + i t) con C = 500, i = 0,05 y t = 7, se convierte en M = 500(1 + 0,05 7) = 675 e Los intereses son I = M C con M = 675 y C = 500, que se convierte en I = = 175. Dicha cantidad coincide con la otra forma de calcular los intereses I = C i t con C = 500, i = 0,05 y t = 7 que se convierte en I = 500 0,05 7 = 175 e Normalmente i mide el incremento anual sin embargo dicha ley se usa para operaciones de corto plazo, es decir, para operaciones menores a un año. En ese caso, el tiempo se usa como fracción de año (numero de periodos/numero de periodos totales del año). Así, en el caso mensual (numero de meses igual a k) se utiliza el tiempo como k 12 y por lo tanto el montante y el interés toman la forma: M = C(1 + i k 12 ) I = C i k 12 Si la duración se expresa en días (n es el número de dias) entonces el tiempo toma la forma n 365 y si se usa el año comercial entonces n 360 Para encontrar la relación entre el interés civil que utiliza 365 días y el interés comercial que lo hace con 360 días, en primer lugar se obtiene ambos. El primero n es I ci = C i y el segundo I n 365 co = C i. Si se dividen ambas cantidades se 360 obtiene: 2

3 Apuntes: Matemáticas Financieras I co = C i n n I ci C i = = Y por lo tanto se obtiene que I co = I ci civil. y como 73 es mayor que 1 entonces el interés comercial es mayor que el interés 72 Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 60 días a un tipo de interés simple del 5 % y utilizando el año comercial (o utilizando la ley de capitalización simple). El montante de la operación es M = C(1 + i t) con C = 500, i = 0,05 y t = 60, se convierte en M = 500(1 + 0,05 0,166) = 504,16 e 360 Los intereses son I = M C con M = 504,16 y C = 500, que se convierte en I = 504, = 4,16. Por último, en algunas ocasiones es necesario calcular las magnitudes básicas a partir de las magnitudes derivadas. Así, partiendo de la ecuación del montante: M = C(1 + i t) se puede obtener valor del capital inicial como C = M (1 + i t) Para calcular el tiempo, se despeja algebraicamente de la expresión anterior y se obtiene que: 3

4 1.1 Capitalización Simple t = M C (C i) Para calcular el tipo de interés se despeja también de la ecuación del montante y se obtiene que: i = M C (C t) Cuanto tiempo debe pasar para que un capital de 1000 e al 7 % de interés anual simple se convierta en 1200 e? Utilizando la expresión anterior, el tiempo que debe pasar es t = Es decir, deben pasar 2.85 años (1000 0,07) = 2, Tantos equivalentes Si se quiere cambiar la unidad de medida del tiempo (pasar de años a meses) entonces el tipo de interés debe ser cambiado también (pasar de tipo anual a tipo mensual) y para que la ley financiera no varíe, se debe multiplicar y dividir por el mismo factor de corrección (m): L 1 (t) = 1 + i 1 m m t = 1 + i m m t Donde, si el tiempo inicial es en años, entonces si m = 2 pasamos a tiempo semestral, si m = 3 a cuatrimestral, si m = 4 a trimestral, si m = 12 pasamos a mensual, si m = 52 a semanal y si m = 365 a diario. Entonces, si llamamos a i m al tipo correspondiente a la fracción 1 m del año, la relación con el tipo anual es: 4

5 Apuntes: Matemáticas Financieras i m = i m i = m i m Obtener los tantos equivalentes al 9 % anual para periodos 1) semestrales 2) trimestrales y 3) mensuales si se utiliza la ley de capitalización simple. Como hemos visto antes, el tanto equivalente se obtiene con la formula i m = i m y por lo tanto será: 1. Para el caso semestral m = 2 y por el tanto equivalente es i m = 9 2 = 4,5 % 2. Para el caso trimestral m = 4 y por el tanto equivalente es i m = 9 4 = 2,25 % 3. Para el caso mensual m = 2 y por el tanto equivalente es i m = 9 12 = 0,75 % Se colocan eal 2 % trimestral durante 9 meses. Obtener los intereses que produce tomando como unidad de tiempo el trimestre y como unidad de tiempo el año. 1. Si te utiliza como unidad de tiempo el trimestre, entonces el tipo que se debe utilizar es el trimestral y el tiempo que pasa es 9 meses entre 3 meses que tiene cada trimestre y por lo tanto 3 trimestres. Los intereses quedan: I = , = Si te utiliza como unidad de tiempo el año, entonces se debe encontrar el tipo anual equivalente. Así, como se ha visto anteriormente, el tanto anual se obtiene como i = m i m que en este caso es i = 4 2 = 8 %. Ahora el tiempo que pasa es 9 12 años y por lo tanto I = , = 3000

6 1.2 Capitalización Compuesta 1.2. Capitalización Compuesta Expresión matemática La expresión matemática de la capitalización simple es: L 2 (t) = (1 + i) t = e kt para i, k, t > 0 y siendo k = ln(1 + i) Dicha expresión indica que, cuando pasen t periodos, una unidad monetaria se convierte en (1 + i) t unidades monetarias. El parámetro i es el rédito constante para periodos unitarios ya que si t = 1 entonces (1 + i) t (1 + i). De nuevo i > 0 para que se cumpla el principio de subestimación de capitales. El parámetro k es el tanto instantáneo. Los mismos comentarios sobre t e i son aplicables al caso de la capitalización compuesta Montante e Interés forma: En este caso el montante M (capital equivalente en t de C u.m.) toma la M = C(1 + i) t y el interés I (incremento que se produce al pasar t periodos) toma la forma: I = M C = C(1 + i) t C = C[(1 + i) t 1] Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 7 años a un tipo de interés compuesto del 5 % (o utilizando la ley de capitalización compuesta). 6

7 Apuntes: Matemáticas Financieras El montante de la operación es M = C(1 + i) t con C = 500, i = 0,05 y t = 7, se convierte en M = 500(1 + 0,05) 7 = 703,55 e Los intereses son I = M C con M = 703,55 y C = 500, que se convierte en I = 703, = 203,55. Dicha cantidad coincide con la otra forma de calcular los intereses I = C[(1 + i) t 1] con C = 500, i = 0,05 y t = 7 que se convierte en I = 500 [(1 + 0,05) 7 1] = 203,55 e Al igual que en la capitalización simple, en algunas ocasiones es necesario calcular las magnitudes básicas a partir de las magnitudes derivadas. Así, partiendo de la ecuación del montante en la capitalización compuesta: M = C(1 + i) t se puede obtener valor del capital inicial como C = M (1 + i) t Para calcular el tiempo, se despeja algebraicamente de la expresión anterior y se obtiene que: t = ln(m) ln(c) ln(1 + i) Para calcular el tipo, se despeja algebraicamente de la expresión anterior y se obtiene que: i = ( ) 1 M t 1 C Cuanto tiempo debe pasar para que un capital de 1000 e al 7 % de interés anual compuesto se convierta en 1200 e? 7

8 1.2 Capitalización Compuesta Utilizando la expresión del tiempo para la ley de capitalización compuesta, el tiempo que debe pasar es t = ln(1200) ln(1000) ln(1 + 0,07) = 2,69 Es decir, deben pasar 2.69 años Tantos equivalentes De nuevo, si se quiere cambiar la unidad de medida del tiempo (pasar de años a meses) entonces el tipo de interés debe ser cambiado también (pasar de tipo anual a tipo mensual) y para que la ley financiera no varíe, se debe encontrar i m de tal forma que: (1 + i) t = (1 + i m ) m t 1 + i = (1 + i m ) m Normalmente t se mide en años y en ese caso i recibe el nombre de tanto efectivo anual e i m es el rédito que corresponde a periodos de amplitud 1 de año. m Como i m hacer referencia a periodos de amplitud inferior a un año, para conseguir el tipo que sería al año se hace una proyección aritmética consiguiéndose el tanto nominal de frecuencia m o tanto nominal convertible. Dicho tanto, que se denota como j m se calcula como: j m = m i m i m = j m m La ley exige que en las operaciones financieras en las que el pago de intereses se realice con frecuencia distinta al año, se especifique el tanto nominal que se aplica a la operación. La ecuación que relaciona los tres tipos anteriores es: 8

9 Apuntes: Matemáticas Financieras efectivo. (1 + i) = (1 + j m m )m = (1 + i m ) m Por lo que conocido uno de ellos, se pueden obtener los otros dos. Si el rédito trimestral es el 3 % (i 4 = 3 %) calcule el tanto nominal y el tanto El tanto nominal será j 4 = m i 4 con m = 4, por lo tanto j 4 = 4 3 = 12 % El tanto efectivo será i = (1 + i m ) m 1 = (1,03) 4 1 = 0, ,55 % Si el banco le ofrece un depósito a un tanto nominal del 6 % de frecuencia mensual. Calcule el rédito mensual y el tanto efectivo anual de dicho depósito. 6 = 0,5 % 12 El rédito mensual se obtiene a partir de la relación entre i 12 y j 1 2 i 12 = j 12 m = El tanto efectivo será i = (1 + i 1 2) = (1,005) 12 1 = 0, ,167 % 1.3. Producto financiero de las leyes de capitalización: Convenio Lineal A veces hay que operar con productos financieros en un número entero de año más una fracción del mismo. En este caso, las partes suelen convenir utilizar la capitalización compuesta para el número de años y la simple para la fracción del año restante. Así, si la duración es t = n + k m años, el montante que se obtiene es: M = C(1 + i) n ( 1 + i k ) m Esta forma de proceder se denomina convenio lineal. Si no se dice nada, entonces se puede aplicar la capitalización compuesta a toda la operación, siendo el 9

10 1.3 Producto financiero de las leyes de capitalización: Convenio Lineal montante: M = C(1 + i) n+ k m Si deposita 1000 een un deposito que promete pagar el 2 % anual durante 2 años y tres meses. Prefería que se lo retribuyan usando la capitalización compuesta o el convenio lineal? Si se utiliza la capitalización compuesta, entonces el periodo será de = meses y por lo tanto el montante final será M 1 = 1000 (1 + 0,02) = 1000 (1 + 0,02) 2,25 = ,04556 = 1045,56 si se utiliza el convenio lineal, los dos primeros años se utilizará la ley compuesta y el resto con la ley de capitalización simple y por lo tanto será: lineal. M 2 = 1000(1 + 0,02) 2 ( ) ,02 = 1000 (1,0404) (1,005) = 1045,60 12 Como el montante es superior en el segundo caso, preferiremos el convenio 10