Instrumentos matemáticos para la empresa (3/4) 1º GRADO DERECHO-ADE CURSO Prof. Pedro Ortega Pulido

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1 Instrumentos matemáticos para la empresa (3/4) 1º GRADO DERECHO-ADE CURSO Prof. Pedro Ortega Pulido

2 1. Matemática Financiera 1.0. Introducción a la matemática financiera Capitales financieros 1.2. Rentas financieras Series aritméticas y geométricas Rentas financieras. Clasificación de rentas A) Definición de RENTA FINANCIERA B) ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA D) CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS Valoración de rentas constantes Valoración de inversiones

3 Series aritméticas y geométricas a) SERIES ARITMÉTICAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS Ejemplo 55. Consideremos las siguientes sucesiones de números reales: I) 1,3,5,7,9,11,. II) 3, 7, 11, 15, 19, III) 3, 1, -1, -3, qué característica tienen en común? DEFINICIÓN. Una progresión aritmética es una sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija denominada diferencia. TÉRMINO GENERAL: (ejemplo 55: hacer)

4 Series aritméticas y geométricas SERIE ARITMÉTICA Ejemplo 56. Consideremos la progresión aritmética: 2,5,8,11, a) Obtener su término general b) Obtener la suma de sus 10 primeros términos. c) Analizar el comportamiento de las sumas de los términos 1 y 10; 2 y 9; 3 y 8; 4 y 7; 5 y 6 SERIE ARITMÉTICA. Se define la serie aritmética de n-términos como la suma de los n-primeros términos de una progresión aritmética. (Demostrar) Ejemplo 57. Calcula la serie aritmética de los 60 términos de la progresión 2,7,12,17,

5 Series aritméticas y geométricas b) SERIES GEOMÉTRICAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Ejemplo 58. Consideremos las siguientes sucesiones de números reales: I) 1, 2, 4, 8, 16, 32, II) 1/3, 1/6, 1/12, 1/24, III) 6, 2,2/3, 2/9, qué característica tienen en común? DEFINICIÓN. Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija denominada razón. TÉRMINO GENERAL: (ejemplo 58: hacer)

6 Series aritméticas y geométricas Ejemplo 59. Obtener el término general de las siguientes progresiones geométricas. a) 0 1, 0 01, 0 001, , b) 1, 3, 9, 27, 81, SERIES GEOMÉTRICAS. Una serie geométrica de n-términos es la suma de los n-primeros términos de una progresión geométrica. Ejemplo 60. Consideremos la progresión geométrica: 1, 4, 16, 64, 256, a) Obtener su término general. b) Obtener la suma de sus 6 primeros términos.

7 Series aritméticas y geométricas Ejemplo 61. Calcula la suma de los 10 primeros términos de las progresiones geométricas: a) 4, 12, 36, 108, b) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, OBSERVACIÓN. Si r>1 la serie aritmética tiende a infinito Si r <1 entonces Ejemplo 62. Calcula la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica 7, 7/4, 7/16,

8 Rentas financieras. Clasificación. Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 63. Queremos disponer durante los 4 próximos años de euros cada año para pagar un curso superior. Para ello colocaremos cierta cantidad en un fondo a un 10% de interés compuesto anual. Qué cantidad tendré que ingresar en el fondo para disponer de estos cuatro capitales? - Dibuja el grafico de flujo de fondos - Calcular el capital necesario para A) DEFINICIÓN DE RENTA: Es un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. (existen varios capitales con una periodicidad constante entre dos capitales consecutivos) En el ejemplo 63

9 Rentas financieras. Clasificación. b) ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA

10 Rentas financieras. Clasificación. En el ejemplo anterior:

11 Rentas financieras. Clasificación. C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t Es el resultado de TRASLADAR FINANCIERAMENTE (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento t. I) VALOR ACTUAL de la renta (si t=0). Siendo 0 el ORIGEN de la renta. Es el resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero. (DESCONTAR LAS RENTAS) II) VALOR FINAL de la renta (si t=n) Siendo n el FINAL de la renta. Se define como VALOR FINAL al resultado de desplazar todos los términos al momento n (CAPITALIZAR LAS RENTAS)

12 Rentas financieras. Clasificación. En el ejemplo anterior:

13 Rentas financieras. Clasificación. C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t V f V f, 1 Vf,2 Vf,3 Vf, ,5

14 Rentas financieras. Clasificación. D) CLASES Las rentas se pueden clasificar atendiendo a varios criterios: 1) Según la cuantía de los términos: CONSTANTES: cuando todos los capitales son iguales VARIABLES: al menos uno de los términos es diferente, pudiendo ser a su vez: - variables sin ley matemáticas (variación aleatoria) - variables con una ley matemática (progresión aritmética, geométrica) 2) Según el número de términos: TEMPORALES: número de términos finito y conocido PERPETUAS (INDEFINIDAS) : número demasiado grande de términos (o infinito) 3) Según el vencimiento del término: POSPAGABLE: los términos se encuentran al final de cada periodo PREPAGABLE. Los términos se encuentran al principio de cada periodo

15 Rentas financieras. Clasificación. D) CLASES 4) Según el momento de la valoración: INMEDIATA: valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL DIFERIDA: se valora la renta en un momento anterior a su origen ANTICIPADA: la renta se valora con POSTERIORIDAD al final 5) Según la periodicidad del vencimiento: ENTERA: la frecuencia de los términos de la renta coincide con la frecuencia de la capitalización. NO ENTERA: PERIÓDICA: la frecuencia de los términos es MENOR 6) Según la ley financiera: al de capitalización FRACCIONADA: la frecuencia de los términos es SIMPLE: ley de interés simple MAYOR al de capitalización COMPUESTA: ley de interés compuesto

16 III) RENTAS POSTPAGABLES. Consideramos una renta CONSTANTE (términos de igual cuantía) TEMPORAL (tienen un número determinado de términos) POSTPAGABLE (los términos vencen al final de cada periodo) INMEDIATA (valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL) ENTERA (la frecuencia de los términos coinciden con la frecuencia de la capitalización del tipo) COMPUESTA (se calculan en régimen de compuesta) es decir:

17 A) Valor actual de una renta POSTPAGABLE, temporal, constante, inmediata, entera y compuesta.

18 III. RENTAS POSTPAGABLES. Es una SERIE GEOMÉTRICA de razón Cuyo primer término es Como la serie geométrica vale : Desarrollando (hacerlo)

19 A) Valor actual (inicial) rentas postpagable. Ejemplo 55. Calcular el valor actual de una renta postpagable (constante, entera, temporal, inmediata), de término 300 durante 5 años a tipo de interés del 9% anual. Ejemplo 56. Un cliente debe pagar 600 anuales durante los próximos 10 años (al final de cada año). Para ello ingresa en una cuenta de ahorro cierto capital a un 10% de interés compuesto anual. Calcular el capital inicial necesario para afrontar dichos pagos.

20 B) VALOR FINAL DE RENTAS POSTPAGABLES (constantes, temporales, enteras e inmediatas) `Suponiendo que la renta es un capital C tendríamos la siguiente situación:

21 A.2) Valor final de rentas postpagables (enteras, temporales, contantes, inmediatas) El segundo factor es una SERIE GEOMÉTRICA de razón Cuyo primer término es. Como Entonces se deduce que

22 A.2) Valor final de rentas postpagables (enteras, temporales, contantes, inmediatas) Ejemplo 57 Calcula el valor final de una renta postpagable (entera, constante, temporal e inmediata) cuyo término es 300 durante 10 años a un tipo de interés compuesto del 12% anual. Ejemplo 58 Vamos a invertir anuales (al final de cada año) durante los 25 años que me quedan para la jubilación, en un plan de pensiones que me renta un 6% de interés compuesto anual. De cuánto dinero dispondré en la cuenta pasados los 25 años?

23 II) RENTAS PREPAGABLES Consideramos una renta CONSTANTE (términos de igual cuantía) TEMPORAL (tienen un número determinado de términos) PREPAGABLE (los términos vencen al PRINCIPIO de cada periodo) INMEDIATA (valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL) ENTERA (la frecuencia de los términos coinciden con la frecuencia de la capitalización del tipo) COMPUESTA (se calculan en régimen de compuesta) es decir:

24 A) Valor actual de una renta PREPAGABLE, temporal, constante, inmediata, entera y compuesta.

25 II) RENTAS PREPAGABLES. Es una SERIE GEOMÉTRICA de razón Cuyo primer término es Como la serie geométrica vale : Desarrollando (hacerlo)

26 A) Valor actual (inicial) rentas prepagable. Existe otra posibilidad de calcular estas rentas calculando el VALOR INICIAL de una renta postpagable con n-1 términos de igual cuantía que la anterior y añadiendo a dicha cantidad la renta C del término inicial:

27 A) Valor actual (inicial) rentas prepagables. Ejemplo 59. Qué cantidad deberíamos depositar en una inversión cuyo tipo de interés compuesto anual es del 10% si queremos recibir al principio de cada año y durante 4 años una renta de 6.500? (utilizar los dos métodos) Ejemplo 60. Calcular el valor actual de una renta prepagable, constante, temporal, entera e inmediata de 14 cuotas mensuales de 30 a un interés del 1,2% mensual.

28 B)VALOR FINAL DE RENTAS PREPAGABLES (constantes, temporales, enteras e inmediatas) Suponiendo que la renta es un capital C tendríamos la siguiente situación:

29 B) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales, contantes, inmediatas) El segundo factor es una SERIE GEOMÉTRICA de razón Cuyo primer término es. Como Entonces se deduce que

30 B) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales, contantes, inmediatas) OBSERVACIÓN. Otra forma de hacer el cálculo sería: 1) Considerando el valor final de una renta postpagable con n-1 términos a capitalizar en 1 año al r% 2) Añadiendo la capitalización del primer término C durante n- periodos a un r%

31 A.2) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales, contantes, inmediatas) Ejemplo 61 Calcular el valor vinal de una renta prepagable (constante, entera, inmediata, temporal) de 14 cuotas mensuales de 30 a un interés compuesto del 1,2% mensual. (usar los dos métodos)

32 III ) RENTAS PERPETUAS Son aquellas cuyo NÚMERO DE TÉRMINOS ES INFINITO. En este tipo de rentas SOLO SE PUEDE CALCULAR SU VALOR ACTUAL, pero nunca el final, con independencia de que sea prepagable o pospagable, constante o variable.

33 III ) RENTAS PERPETUAS El VALOR ACTUAL de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de términos (n) trabajaremos con infinitos términos ( ). Se trata por tanto de trabajar con el concepto matemático de LÍMITE, cuando la duración de la renta (y por tanto el número de capitales) tiende a infinitos. Consideramos dos casos de rentas pospagables y prepagables:

34 III ) RENTAS PERPETUAS III.A) RENTA PERPETUA, CONSTANTE, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA.

35 III ) RENTAS PERPETUAS III.B) RENTA PERPETUA, CONSTANTE, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA.

36 III ) RENTAS PERPETUAS Ejemplo 62. Una fundación ha decidido convocar un premio para jóvenes talentos con una dotación anual de Para ello han decidido abrir una cuenta al 8% de interés compuesto anual. El premio se entregará AL FINAL de cada año. Cuánto habrá que ingresar en dicha cuenta para financiar el premio INDEFINIDAMENTE? y si el premio se otorgara AL PRINCIPIO de cada año?

37 IV) RENTAS DIFERIDAS. Son aquellas que se valoran CON ANTERIORIDAD a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de la valoración se denomina PERIODO DE DIFERIMIENTO de la renta (d). Partimos de una renta temporal (n-términos) y constante

38 IV) RENTAS DIFERIDAS (Valor actual) Dada una renta temporal (n-términos), constante (C), POSPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)

39 IV ) RENTAS DIFERIDAS Ejemplo 63 Dentro de 3 años Ana tendrá que realizar varios pagos de Estos pagos los realizará anualmente AL FINALIZAR cada año y durante 4 años. En previsión de estos pagos, quiere saber la cantidad que deberá depositar hoy en la cuenta a un tipo del 10% anual para hacer frente a dichos pagos. Observación 1. El DIFERIMIENTO solo afecta al cálculo del valor actual, por lo que, si queremos calcular el valor final de la renta, se aplica como una renta inmediata. Ejemplo 64 Qué cantidad obtenemos al cabo de 4 años si hacemos 4 ingresos de si empezamos a realizar los ingresos dentro de x-años a un interés del 10% anual?

40 IV ) RENTAS DIFERIDAS Observación 2. Para obtener el valor final también podemos capitalizar el valor actual a n+d años. Ejemplo 65. Calcular el valor final de 4 rentas pospagables a un 10% anual cuyo valor actual diferido (a 3 años) es de

41 IV) RENTAS DIFERIDAS (Valor actual) Dada una renta temporal (n-términos), constante (C), PREPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)

42 IV ) RENTAS DIFERIDAS Ejemplo 66 Dentro de 7 años María tendrá que realizar varios pagos de anuales durante 5 años al inicio de cada año. En previsión de estos pagos, quiere saber la cantidad mínima que deberá depositar hoy en una cuenta a un tipo del 8% anual para hacer frente a dichos pagos. Observación 3. El DIFERIMIENTO solo afecta al cálculo del valor actual, por lo que, si queremos calcular el valor final de una renta DIFERIDA x-años prepagable, aplicaremos la fórmula de la renta INMEDIATA PREPAGABLE.. Ejemplo 67 Qué cantidad obtenemos al cabo de 5 años si hacemos 5 ingresos de al inicio de cada año dentro de x-años a un interés del 8% anual?

43 V) RENTAS ANTICIPADAS. Son aquellas que se valoran CON POSTERIORIDAD A SU FINAL. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de la valoración se denomina PERIODO DE ANTICIPACIÓN de la renta (a). Partimos de una renta temporal (n-términos) y constante

44 V) RENTAS ANTICIPADAS (pospagables- valor final) Dada una renta temporal (n-términos), constante (C), POSPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)

45 V) RENTAS ANTICIPADAS Ejemplo 68 Qué cantidad obtendremos al cabo de 8 años si hacemos 4 ingresos de (al final de cada año) en una cuenta cuyo tipo de interés anual es del 10%? Observación 1. La anticipación sólo afecta al valor final, pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación:

46 V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables-valor final)

47 V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables- valor final) Dada una renta temporal (n-términos), constante (C), PREPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)

48 V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables) Ejemplo 69 Qué cantidad obtendremos al cabo de 8 años si hacemos 4 ingresos de (al inicio de cada año) en una cuenta cuyo tipo de interés anual es del 10%? Observación 2. La anticipación sólo afecta al valor final, pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación:

49 EN GENERAL PARA RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS: 1) Cuando valoramos una renta antes de su inicio decimos que es una renta DIFERIDA y cuando valoramos después de su final decimos que es una renta ANTICIPADA. 2) Para calcular el valor actual de rentas diferidas debemos partir de los valores de las rentas inmediatas y descontarlos. Para calcular el valor final de rentas anticipadas debemos partir de los valores de las rentas inmediatas y capitalizarlos. 3) El diferimiento no afecta al valor final de la renta que permanece con el mismo valor. La anticipación no afecta al valor actual de una renta que permanece igual. 4) Las rentas perpetuas no se pueden anticipar pues nunca se puede valorar después de un final que no existe.

50 VI) RENTAS FRACCIONADAS Decimos que una renta es FRACCIONADA si la frecuencia de la renta es SUPERIOR a la capitalización de los intereses. En este caso los términos de la renta se producen con mayor frecuencia que la capitalización. EJEMPLO: Una renta mensual con capitalización anual

51 VI) RENTAS FRACCIONADAS Todas la formulas que hemos visto hasta ahora eran válidas para RENTAS ENTERAS. servirán cuando la renta es fraccionada? La respuesta es afirmativa. Utilizaremos el siguiente método Un método para resolver este tipo de rentas FRACCIONADAS consiste en transformar el TIPO DE INTERÉS del problema en otro equivalente en la misma unidad de tiempo que los periodos de la renta, es decir, a partir de un tipo de interés r, se calcula otro tipo equivalente que venga expresado en la unidad de los periodos de renta:

52 VI) RENTAS FRACCIONADAS Ejemplo 70. Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración si el tipo de valoración es el 7% efectivo anual y sus términos son de 850 trimestrales pospagables. Ejemplo 71. Determinar el valor actual de una renta de 30 años de duración que realiza pagos trimestrales de 100 al inicio de cada trimestre a un tipo nominal anual capitalizable trimestralmente de un 12%. Ejemplo 72 Calcular el valor final de una renta constante de cuantía 200 de duración de 4 años, prepagable y trimestral que se encuentra anticipada un año y medio y aplicando un tipo del 10% nominal anual capitalizable trimestral mente. Y si el tipo fuese un 10% TAE?