Econometría I Tema 3: Modelo múltiple: estimación Guía de respuestas para algunos ejercicios

Transcripción

1 . Consideramos el siguiente modelo: Econometría I Tema 3: Modelo múltiple: estimación Guía de respuestas para algunos ejercicios Modelo() ln(price i ) = β 0 + β ln(nox i ) + β 2 rooms i + u i donde price precio medio de la vivienda en una zona expresado en dólares, nox nivel de contaminación medido por la presencia de óxido nitroso, rooms número de habitaciones que tienen en promedio las viviendas de la zona. a. Esperamos que el signo para β sea negativo: la contaminación se refleje negativamente en el precio de una casa. Así que esperemos una elasticidad negativa del precio respecto a la contaminación. El parámetro β 2 es una semielasticidad. Esperamos que β 2 sea positivo, ya que esperamos que tener una habitación adicional estará asociado a tener un precio más alto en promedio. b. Después de importar los datos hprice2.xls desde Gretl, hemos de crear los logarítmos de las variables price y nox. Después escribimos el guión de comandos de Gretl: Gretl guión output: c. Gretl output: Como vemos, la estimación definiendo las matrices apropiadas o utilizando los menús de Gretl coinciden.

2 d. Regresión ajustada: ln(price i ) = 9, , 776 ln(nox i ) + 0, 3059 rooms i R 2 = 0, 54 e. Consideramos que una casa A tiene una habitación adicional en comparación a una casa B, pero las dos estan en la misma zona. Entonces: ln(price A ) = 9, , 776 ln(nox A ) + 0, 3059 (rooms B + ) ln(price B ) = 9, , 776 ln(nox B ) + 0, 3059 (rooms B ) ln(price A ) ln(price B ) = 0, 3059 lnprice = 0, 3059 Una casa como la A sería, en media, 30,59 % más cara que una casa como la B. f. Dado que la variable dependiente y el regresor estan en logarítmos, podemos interpretar el coeficientes como una elasticidad. Así, de acuerdo con nuestras estimaciones, un % más contaminación estará asociado a un precio un 0.78% más bajo, controlando por el número de habitaciones. g. Para poder interpretar la estimación de β como el efecto causal de la contaminación sobre los precios de las casas, los cambios en la contaminación se han de realizar bajo condiciones ceteris paribus. Es decir, la contaminación no se ha de correlacionar con la perturbación. En otras palabras, cuando la contaminación varía, nada más relevante no observado se ha de mover de forma sistemática. E(u ln(nox), rooms) = 0 Pensad, que una variable que se incloye en u podría ser el ingreso medio de la zona en la que se encuentra la casa. Áreas con ingresos más bajoos tienden a bajar los precios de las casas. Pero, también, se podría pensar que las activitades contaminantes tienden a situar-se en zonas de ingresos más bajos. En este caso, ln(nox) se correlacionaría con la perturbación, u negativamente. Las condiciones ceteris paribus no se cumplirían. 4. a. Para un modelo con K = 3, SRC asociada a la estimació de este modelo es: ũ 2 i = (y i β 0 β x i β 2 x i2 ) 2, Min β 0, β, β 2 y las ecuaciones normales vienen dadas por: 2 (y i ˆβ 0 ˆβ x i ˆβ 2 x i2 ) = 0 () 2 2 x i (y i ˆβ 0 ˆβ x i ˆβ 2 x i2 ) = 0 (2) x i2 (y i ˆβ 0 ˆβ x i ˆβ 2 x i2 ) = 0 (3) 2

3 Vamos a reorganizar estas ecuaciones un poco: y i = ˆβ 0 + ˆβ x i + ˆβ 2 x i2 () y i x i = ˆβ 0 x i + ˆβ x 2 i + ˆβ 2 x i2 x i (2) y i x i2 = ˆβ 0 x i2 + ˆβ x i x i2 + ˆβ 3 x 2 i2 (3) Si x i2 = 2x i, podemos substituir x i2 p0r x i en las ecuaciones, 2 y 3. Obtenemos: y i = ˆβ 0 + ˆβ x i + 2 ˆβ 2 x i ( ) 2 y i x i = ˆβ 0 x i + ˆβ x 2 i + 2 ˆβ 2 x 2 i (2 ) y i x i = 2 ˆβ 0 x i + 2 ˆβ x 2 i + 4 ˆβ 3 x 2 i (3 ) Podemos ver que las ecuaciones 2 y 3 son las mismas. Así, tenemos sólo dos ecuaciones relevantes y tres incógnitas: ˆβ0, ˆβ y ˆβ 2. El sistema es indeterminado, tiene infinitas soluciones. Por tanto, no se puede obtener una solución única para ˆβ 0, ˆβ y ˆβ 2. b. Fijémonos que si x i3 = 2x i2, entonces la matriz X tiene dos columnas en combinación lineal perfecta. x x 2 x 2 x x 2 x 22 X =... = x 2 2 x 2... x n x n2 x n 2 x n Esta característica se traspasa a la matriz X X, haciendo que dos columnas y dos filas guarden también una relación lineal perfecta. n n x i 2 n X X = n x n i x2 i 2 n 2 n x i 2 n x2 i 4 n x i x2 i x2 i Así, esta matriz no tendrá rango completo. Es una matriz singular. det(x X) = 0 rang(x X) < 3 3

4 Dado que X X no tiene rango completo, (X X) ˆβ c. Bajo colinealidad perfecta, como es este caso, la muestra no permite estimar los parámetros asociados a los regresores colineales de forma única. Su estimación es indeterminada. Existen infinitas estimaciones por MCO de los parámetros β y β 2 que minimizan la SRC. V ar( β /x) y V ar( β 2 /x) es infinita. Fijémonos que otra forma de verlo es que: V ar( β x) = σ 2 ST C R 2 = σ 2 ST C = (4) donde R 2, es el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar: x i = α 0 + α x i2 + v i. 5. a. El output de esta estimación es: b. bwght i = 6, 974 (,04898) 0, 4634cigs i + 0, 093 (0,095) (0,0292) faminc i R 2 = 0, 0298 c. Bajo el supuesto de que podemos interpretar los parámetros en términos de causalidad, el signo de la estimación obtenida de β es el esperado si creemos que un aumento del consumo de tabaco durante el embarazo tiende a perjudicar la salud de la madre y por tanto el peso del recién nacido. Bajo el mismo supuesto, el signo de la estimación obtenida de β 2 es el esperado si creemos que un mejor nivel de renta tiende a beneficiar la dieta de la madre y consecuentemente, el peso del nacido. El coeficiente de determinación es 0,0298. Es decir, sólo cerca de un 3% de la variabilidad observada en el peso de los nacidos en esta muestra se puede explicar por diferencias en el consumo de cigarrillos de sus madres y de las diferencias en su renta. d. Los regresores cigs y f aminc podrían estar correlacionados positivamente si consideramos que al aumentar el nivel de renta de la família, el consumo de tabaco sube linealmente. Podrían estar correlacionados negativamente si consideramos que el tabac es un bien inferior. Por otro lado, si consideramos que son variables independientes, que no guardan ninguna relación, entonces su correlación sería cero. 4

5 e. Necesitamos estimar la regresión auxiliar: Así: cigs i = α + α 2 faminc i + v i F IV 2 = =, f. Para analizar la correlación dentro de una muestra entre dos variables podemos utilizar el coeficiente de correlación muestral. En este caso, utilizamos Gretl: Parece presentar una correlación negativa, pero baja. g. Utilizando la opción del menú de Gretl: h. Fijémonos que tanto F IV como F IV 2 son muy cercanos a, que es el valor mínimo que puede tomar este estadístico. Así no parece que la colinealidad sea un problema en este caso. i. Gretl output asociado a la estimación del M odelo(2): 5

6 Podemos ver que la estimación de β casi no ha variado en relación a la obtenida estimando el M odelo(), cosa que indica que la correlación presente en la muestra entre el regresor incluido, cigs, y el excluido, faminc, es baja. j. Definimos R 2 () y R 2 (2) como el coeficiente de determinación asociado a la estimación del M odelo() y M odelo(2) respectivamente: R 2 () SRC() ST C() R 2 (2) SRC(2) ST C(2) Dado que los dos modelos tienen la misma variable dependiente y se estiman con la misma muestra, ST C() = ST C(2). Así: R 2 () SRC() ST C R 2 (2) SRC(2) ST C Fijémonos que el M odelo(2) es una versión restringida del M odelo(). Es decir, el Modelo(2) es un caso especial del Modelo() cuando imponemos que β 2 = 0, así, al estimar el segundo modelo por MCO es equivalente a decir que estamos estimando el primer modelo bajo la restricción β 2 = 0, haciendo que: SRC() SRC(2) R 2 () R 2 (2) Es, por lo tanto, fácil ver que en general, el coeficiente de determinación baja cuando sacamos regresores de un determinado modelo. 7. a. Gretl output para la estimación: b. Recta ajustada de regresión: êduc i = 0, 364 (0,359) 0, 094 sibs i + 0, 3 meduc i + 0, 20 feduc i R 2 = 0, 24 (0,034) (0,033) (0,027) c. El signo positivo de la educacion de los padres sobre los hijos es el esperado. De hecho, la educación de los niños depende mucho de la educación de sus padres. Los padres con más educación tienden a hijos con más educación. La relación con el número de hermanos no es tan clara. Por un lado, cuantos más hermanos menos recursos pueden destinar los padres (tanto en tiempo como en dinero) y 6

7 podría afectar negativamente al nivel de educación de una persona. Desde el otro lado, tener hermanos puede tener un efecto positivo si consideramos que los hermanos enseñan los unos a los otros. El primer efecto parece prevalecer en nuestra muestra. La bondad de ajuste es 2,4%, parece baja, indicando otros factores que no tenemos en cuenta, pero son importantes en la determinación de la educación. d. La educación de la madre y el padre podrían estar correlacionadas si hay aparejamiento selectivo. El número de hermanos también se podría correlacionar con la educación de los padres y madres. e. Utilizando menús de Gretl, calculamos factores de inflación de varianza asociados a cada regresor: En nuestro modelo los valores de F IV s estan entre y,5, lo que significa que no hay multicolinealidad en el modelo. Tenemos la sospecha de multicolinealidad cuando F IV > 0. f. Ahora calcularemos F IV sibs nosotros mismos: (a) En primer lugar, se estima la regresión auxiliar para sibs: sibs i = α 0 + α meduc i + α 2 feduc i + v i (b) Ahora calculamos: F IV sibs = R 2 sibs = 0, 09 =, 099 Este valor coincide con el valor que tenemos en la parte anterior de la estimación con menús de Gretl. 7

8 8. Vamos a estimar el siguiente modelo: Modelo() lns i = β 0 + β ed i + β 2 ex i + u i Donde lns i =el logarítmo natural de los salarios de una persona i, ed i =años de educación, ex i =años de experiencia en el mercado laboral. a. Gretl output de la estimación: Recta ajustada analítica: lns i = 4, , 0932 ed i + 0, 0407 ex i R 2 = 0, 83 (0,0638) (0,0036) (0,0023) Los signos son los esperados, ambos, educación y experiencia se relacionan positivamente con el salario. La bondad de ajuste es 8,3%, siendo baixa. b. Un año adicional de educación se espera que esté asociado a un salario un 9,3% más alto: lns β ed = 0, 093 = 0, 093( 9, 3%) c. Un año adicional de experiencia se espera que aumente el salario en 4,% : lns β 2 ex = 0, 04 = 0, 04( 4, %) d. La diferencia entre los Modelo() y Modelo(2) se encuentra en los supuestos de como la experiencia se relaciona con el salario. En el Modelo() se supone que el efecto marginal de la experiencia sobre los salarios (en forma de tasa) es constante, mientras que en el Modelo(2) el efecto marginal de la experiencia sobre los salarios varía dependiendo del nivel de experiencia. Es decir: Model() : Model(2) : E(lnwage/ed, ex) ex E(lnwage/ed, ex) ex = β 2 = β 2 + 2β 3 ex e. El output para la estimación del Modelo(2): 8

9 Recta ajustada de regresión: lns i = 4, , 0932 ed i + 0, 0898 ex i 0, 0025 ex 2 i R 2 = 0, 958 (0,0687) (0,0036) (0,007) (0,0004) f. El efecto marginal de la experiencia sobre los salarios (com una tasa), para un nivel dado de educación, se puede estimar: lns ex = β β 3 ex Por tanto, el efecto marginal depende de la experiencia. Dado que ˆβ 3 < 0, podemos ver que el efecto marginal de la experiencia sobre los salarios disminuye con la experiencia: Años de experiencia Efecto marginal ex=0 0, 0898(8, 98%) ex= 0, , 0025 = 0, 0873(8, 73%) ex=2 0, , = 0, 0848(8, 48%) ex=0 0, , = 0, 0406(4, 06%) g. Para comparar modelos en términos de bondad de ajuste tenem que utilitzar el coeficiente de determinación ajustado. R 2 () = 0.8 R 2 (2) = 0.95 Així, en términos de bondad de ajuste, el Model(2) es preferido al Model(). 9