UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ENSAYO N 4

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Lucía Rojas Miguélez
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1 UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ENSAYO N 4 DOCENTE: Ing. Patricio Puchaicela ALUMNA: Andrea C. Puchaicela G. CURSO: 4to. Ciclo de Electrónica y Telecomunicaciones AÑO LECTIVO:

2 CAPITULO 4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS Introducción Las variables aleatorias continuas tienen algunas propiedades importantes que nos sirven para asumir valores en diferentes intervalos de números reales. Marco Teórico 4.1. Densidades Continuas Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor intervalo de números reales, siendo su probabilidad igual a 0. en un M(x) = P [X=x] = 0 Densidad: Es una función que permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria continua. F(x) 0 f ( x) dx = 1 P [ a X b] = f ( x) dx = 1 (a y b son reales ) Representación gráfica de una función de densidad Ejemplo: En una erupción volcánica, suponemos que T, es el tiempo transcurrido entre los temblores y la erupción del volcán, y tiene una densidad en forma de campana, valor centrado en 36 horas. L a densidad esta representada por:

Sabemos que el área sombreada toma el valor de 1. Distribución acumulativa: Es aquella que se calcula con la integración. Está definida por: En donde x es un número real.

3 Sabemos que el área sombreada toma el valor de 1. Distribución acumulativa: Es aquella que se calcula con la integración. Está definida por: En donde x es un número real. F( x) = P[ x x] Distribución uniforme: Aquí los eventos ocuren con probabilidad igual o uniforme 4.2. Esperanza y Parámetros de una Distribución La esperanza de X corresponde a su promedio teórico. Este valor viene dado por E[X] 0 JL. En el caso discreto vimos que JL podía calcularse a partir de la densidad mediante la definición. Excepto en los casos mas fáciles, no podemos hallar la esperanza de una variable aleatoria continua sin calcularla, pero si podemos visualizar E[X] geométricamente Distribuciones gamma, Exponencial y Ji cuadrada Distribución gamma: Si la cantidad de sucesos en un intervalo de tiempo (o de espacio) tiene distribución Poisson con parámetro l (landa), entonces el tiempo hasta que ocurran n sucesos tiene distribución gamma con parámetros n y 1. La esperanza es n/λ y la varianza es n/ λ 2 Distribución exponencial: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es independiente del tiempo que ha transcurrido desde el último suceso, entonces la variable "tiempo entre sucesos" tiene distribución exponencial. La esperanza es 1/λ (landa) y la varianza es 1/λ 2 Distribución ji cuadrada: Sirve para elaborar inferencias sobre la varianza de una población basad en una muestra.

4 4.4. Distribución Normal Distribución Normal: La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución. La media, mediana y moda de la distribución aritmética son iguales y se localizan en el pico. La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda. La distribución normal es simétrica respecto a su media y es asintótica. Distribución Normal estándar: Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desviación estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar. Valor z: la distancia entre un valor seleccionado, designado como X, y la población media µ, dividida entre la desviación estándar de la población σ, Ejemplo: El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en MBA tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200. Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y cuál para uno de $1700? Para X = $2200, z = ( ) /200 = 1. Para X = $1700, z = ( ) /200 = Regla de probabilidad normal y desigualdad de Chebyshev Desigualdad de Chebyshev: sirve para considerar si son frecuentes o no los valores de una variable aleatoria. Su desigualdad es válida con cualquier variable aleatoria.

5 4.6. Aproximación Normal de la distribución Binomial De Moivre demostró que una distribución binomial B(n*p) se aproxima a una distribución normal N ( n.* p, n * p * q) cuando el valor de n es muy grande y no aparece en las tablas. Algunos criterios para aceptar la aproximación son: N*p 5 y n*q 5 p<0 1 y n*p>5 p>0 1 y n*p<5 p 0 5 y n*p>3 Para obtener 2 decimales en la aproximación basta que n p> Distribución de Weibull y confiabilidad La distribución de Weibull se suele utilizar para modelar tiempos de falla de componentes mecánicos o eléctricos. Los dos parámetros de la distribución se suelen llamar de forma a (alfa) y de escala b (beta; algunos autores utilizan la letra tita). La esperanza es β ( 1 / α + 1 ) y la mediana es β (ln(2))(1/α). Confiabilidad La confiabilidad es la probabilidad de que un sistema cumpla satisfactoriamente con la función para la que fue diseñado, durante determinado período y en condiciones especificadas de operación. Un evento que interrumpa ese funcionamiento se denomina fallo. La teoría de la confiabilidad se ocupa principalmente de las fallas de los sistemas. Ejemplo: Se desea predecir cuándo ocurrirá una falla en el componente de una máquina. En la siguiente figura se representa la tasa de falla a medida que el equipo envejece en función del parámetro de forma de la distribución de Weibull:

6 Si beta es mayor que 1, la tasa de fallas se incrementa en el tiempo y se debe identificar en qué punto es económicamente conveniente el reemplazo. Para eso, se combina la curva de confiabilidad con los costos asociados a reemplazo y reparación. Si beta es igual a 1, es más simple de evaluar la distribución exponencial. Si beta es menor a 1, es (en general) más conveniente esperar a que el componente falle, no realizar mantención preventiva. Confiabilidad de los sistemas en serie y en paralelo Sistemas en serie: Son aquellos que están configurados de tal manera que si un sistema falla todos de igual forma lo harán. Sistemas en paralelo: Son aquellos que están configurados de tal manera que si el sistema falla solo si todos han fallado Transformación de variables Se puede determinar la densidad de Y con base a la distribución de una variable X, debido a que la una está en función de la otra. Conclusiones: Las variables aleatorias continuas nos permiten asumir valores en diferentes intervalos de números reales. La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal, ejm: medir magnitudes, la media, etc. La teoría de la confiabilidad trata sobre la eficiencia de los sistemas tecnológicos, designándole a cada uno de ellos una función probabilidad que permita discernir si el sistema cumple satisfactoriamente con la función para la que fue diseñado durante determinado período y en condiciones especificadas de operación.

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