Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones

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Emilio Juan Luis Paz Parra
hace 7 años
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1 Modelado de la aleatoriedad: Distribuciones Begoña Vitoriano Villanueva Facultad de CC. Matemáticas Universidad Complutense de Madrid

2 I. Distribuciones Discretas Bernoulli (p) Aplicaciones: experimentos con posibles resultados; generar otras distribuciones (binomial( binomial,, geométrica,...) Función n de masa y Función n de distribución: Rango: {0,} Media: p Varianza: p(-p) p) 0 x < 0 p x= 0 px ( ) = Fx ( ) = p 0 x< p x= x Moda: p / 0 p / p(x) p -p 0 Distribuciones de probabilidad-

3 I. Distribuciones discretas Uniforme Discreta (i,j) Aplicaciones: experimento con varios resultados posibles y equiprobables; ; no informativa Función n de masa y Función n de distribución: Rango: { ii, +,..., j} i+ j Media: j i+ Varianza: Moda: No hay única 0 x < i x { i, i,..., j + } x i+ px ( ) = j i Fx ( ) + = i x j j i 0 otro caso + x > j ( ) p(x) /(j-i+) i i+ j- j Distribuciones de probabilidad-

4 I. Distribuciones discretas Binomial (n,p) Aplicaciones: número n éxitos xitos al repetir n veces independientes un experimento Bernoulli; ; número n elementos defectuosos en un lote de tamaño o n; demanda de producto en inventario Función n de masa y Función n de distribución: 0 x < 0 n p x ( p n x ) x { 0,,..., n x } n i n i px ( ) x Fx ( ) = = p( p) 0 x n i= 0 i 0 otro caso x> n 0,,...,n np np( p) { } Rango: Media: Varianza: Comentarios: Binomial(n,p): Suma de n variables indeptes. Bernoulli(p) Reproductiva respecto a n (suma binomiales parámetro p, es binomial con n suma de los parámetros, y p el mismo) X Bin(n,p) ) si y sólo s si n-x n Bin(n,,-p) Distribuciones de probabilidad- 3

5 I. Distribuciones discretas Binomial (n,p) (cont.) Distribuciones de probabilidad- 4

6 I. Distribuciones discretas Geométrica(p) Aplicaciones: número n de ensayo de primer éxito al repetir experimentos Bernoulli(p); número n de productos inspeccionados hasta encontrar el primero defectuoso; número n de productos en un lote de tamaño o variable; demanda producto en inventario Función n de masa y Función n de distribución: x p( p) x {,,... } 0 x < px ( ) = Fx ( ) = x 0 otro caso ( p) x Rango: {,,... } Media: /p Varianza: q/ p Comentarios: Análoga a la exponencial, no tiene memoria p(x) p(x) p= p= Distribuciones de probabilidad- 5

7 I. Distribuciones discretas Poisson(L) Aplicaciones: número n de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo cuando ocurren con tasa constante; número n de artículos en un lote de tamaño o aleatorio; demanda de un inventario Función n de masa: L x e L x { 0,,... } px ( ) = x! 0 otro caso Rango: { 0,,,... } Media: L Varianza: L Comentarios: Tiempo entre dos eventos independientes Exponencial media L si y sólo si número n de eventos en intervalo de tamaño o t es Poisson(Lt) Reproductiva respecto a L Distribución n de los sucesos raros: en una binomial si n es grande, p pequeño, y np pequeño o (<5), aproxima a la binomial Distribuciones de probabilidad- 6

8 I. Distribuciones discretas Poisson (L) (cont.): Distribuciones de probabilidad- 7

9 II. Distribuciones absolutamente continuas Uniforme(a,b): Aplicaciones: magnitud con valor igualmente distribuido en un intervalo; no informativa (no hay razones para suponer más m probable una zona que otra); generar valores aleatorios Función n de densidad y Función n de distribución: 0 x< a /( b a) a< x< b x a f ( x) = F( x) = a x b 0 resto b a x> b a b Media: Varianza: Rango: (a,b) /(b-a) f(x) + ( b a) a b Distribuciones de probabilidad- 8

10 II. Distribuciones absolutamente continuas Exponencial(λ): Aplicaciones: tiempos entre sucesos independientes; tiempos hasta fallo componentes con tasa constante; tiempos entre llegadas a un sistema; tiempos para completar una tarea Función n de densidad y Función n de distribución: 0 x< 0 0 x< 0 f( x) = F( x) = λx λx λe x 0 e x 0 Rango: [0, ) Media: / λ Varianza: / λ Comentarios: Única continua sin memoria,como geométrica discreta Caso particular de Gamma y Weibull La suma exponenciales independientes mismo parámetro es Erlang λ f(x) F(x) Distribuciones de probabilidad- 9

11 II. Distribuciones absolutamente continuas Weibull(α,β): Aplicaciones: tiempo para completar una tarea; tiempo hasta el fallo f de un equipo (forma similar a la gamma) Función n de densidad y Función n de distribución: 0 x< 0 0 x< 0 f( x) = α F( x) = α α α ( βx) ( βx) αβ x e x 0 e x 0 Γ Varianza: Γ Γ αβ α α α Rango: [0, ) Media: Comentarios: Weibull(, αβ α (,β)) es Exponencial(β) Logaritmo neperiano de Weibull es Gumbel o valor-extremo Weibull(, (,β)) es Rayleigh(β) Distribuciones de probabilidad- 0

12 II. Distribuciones absolutamente continuas Normal(μ,σ): Aplicaciones: Errores de varios tipos (punto impacto artefacto,...);..); cantidades que son suma de gran número n de otras cantidades Función n de densidad (de distribución n no tiene explícita): f( x) = e πσ Rango: (-(, ) Media: μ Comentarios: Combinaci x μ σ Varianza: σ Combinación n lineal de normales es normal Si dos normales son incorreladas,, entonces son independientes Suma de normales independientes al cuadrado es Chi Exponencial de una normal es lognormal La normal usada para cantidades no negativas ha de truncarse en 0 Distribuciones de probabilidad-

13 II. Distribuciones absolutamente continuas Lognormal(μ,σ): Aplicaciones: tiempo para desarrollar una tarea; forma similar a Weibull y Gamma, pero puede tener pico más s alto cerca de 0; cantidades que son producto de gran número n de otras Función n de densidad: 0 x 0 f( x) = e x πσ lnx μ σ Rango: [0, ) Media: e μ+ σ / μ+ σ σ Varianza: e e Comentarios: Su logaritmo neperiano es normal (μ,σ) x> 0 ( ) Distribuciones de probabilidad-

14 II. Distribuciones absolutamente continuas Gamma(p,a,a): Aplicaciones: tiempo para completar una tarea; tiempo de servicio de atención n a un cliente; tiempo hasta fallo de un equipo Función n de densidad: 0 x 0 0 x 0 p j f( x) = p p ax F( x)(si pentero) = ax ( ax) a x e x> 0 e x 0 ( p) < Γ j= 0 j! Rango: [0, ) Media:p/a Varianza: p/a Comentarios: Gamma(,a) es Exponencial(a) Si p es entero Gamma(p,a)=Erlang(p,a Erlang(p,a) Chi- k grados de libertad es Gamma(k/,/) Reproductiva respecto a p Distribuciones de probabilidad- 3

15 II. Distribuciones absolutamente continuas Beta(α,β): Aplicaciones: modelo en ausencia de datos (muchas formas); distribución n de proporciones (como número n defectuosos en un lote); tiempo para completar una tarea (redes PERT) Función n densidad (distribución n no cerrada): f( x) = B( αβ, ) 0 x (0,) α β x x x ( ) 0 < < Rango: (0,) Media: α/( /(α+β) Varianza: αβ/[( /[(α+β) (α+β+)] +)] Comentarios: Beta(,) es Uniforme (0,); Se puede trasladar: a+(b-a)x; a)x; X Beta(α,β) ) -X X Beta(β,α) Distribuciones de probabilidad- 4

16 II. Distribuciones absolutamente continuas Triangular(a,b,c): Aplicaciones: modelo en ausencia de datos (muchas formas); Función n de densidad (de distribución n no cerrada): ( x a) 0 x< a a x c ( b a)( c a) ( x a) a x c ( b x) ( b a)( c a) f( x) = c x b F( x) = ( b a)( b c) ( b x) c < x b 0 resto ( b a)( b c) x> b Rango: (a,b) Media: (a+b+c)/3 Varianza: (a + b +c -ab-ac-bc)/8 Comentarios: Moda: c /(b-a) f(x) a c b Distribuciones de probabilidad- 5

17 III. Distribuciones multidimensionales Multinomial(n;p,p,,p,p k ): Aplicaciones: generalización n de la binomial a k+ resultados posibles de cada experimento k Función n de masa: k n xi n! x xk i= Px (,..., xk) = p... pk ( pi) k i= x!... x!( n x )! Rango: xi n xi i= Media: (np,, np k ) 0,..., n i Matriz Varianzas-covarianzas covarianzas: V(X j )= np j (-p j ) Comentarios: k k i= { } i Cov(X i,x j )=-np i p j Cada marginal individual es una B(n,p ) y el resto multinomiales Distribuciones de probabilidad- 6

18 III. Distribuciones multidimensionales Normal multivariante ( μ, Σ) Aplicaciones: distribución n conjunta de múltiples m variables que individualmente son normales Σ matriz real dimensión nxn simétrica y semidefinida positiva Función n de densidad: f( x,..., xn ) = e n Σ π (,..., ) x μ xn μn Σ ( x μ,..., xn μn ) Rango: R n Media: ( (μ,, μ n ) Matriz Varianzas-covarianzas covarianzas: Σ Comentarios: Cada marginal individual es una normal univariante,, y las otras multivariantes Cada condicionada es normal Cada combinación n lineal de ellas es normal T Distribuciones de probabilidad- 7

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