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1 FACULTAD DE INGENIERÍA UNAM PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Irene Patricia Valdez y Alfaro irenev@servidor.unam.m

2 T E M A S DEL CURSO. Análisis Estadístico de datos muestrales.. Fundamentos de la Teoría de la probabilidad. 3. Variables aleatorias. 4. Modelos probabilísticos comunes. 5. Variables aleatorias conuntas. 6. Distribuciones muestrales.

3 3. Variables aleatorias. CONTENIDO TEMA 3 Obetivo: El alumno conocerá el concepto de variable aleatoria y podrá analizar el comportamiento probabilista de la variable, a través de su distribución y sus características numéricas. 3. Concepto de variable aleatoria como abstracción de un evento aleatorio. 3. Variable aleatoria discreta: función de probabilidad sus propiedades y su representación gráfica. Función de distribución acumulativa, sus propiedades y su representación gráfica. 3.3 Variable aleatoria continua: función de densidad de probabilidad sus propiedades y su representación gráfica. Función de distribución acumulativa, sus propiedades y su representación gráfica. 3.4 Valor esperado o media de la variable aleatoria discreta y de la continua. Valor esperado como operador matemático y sus propiedades. Momentos con respecto al origen y a la media. 3.4 Parámetros de las distribuciones de las variables aleatorias. Medidas de tendencia central, de dispersión y de asimetría.

4 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS

5 VARIABLE * VARIABLE: Ad.. que varia o puede variar. f. Mat.. Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conunto. Número que resulta de una medida u operación. VARIABLE CONTINUA: La que consta de unidades o partes que no están separadas unas de otras, como la longitud de una línea, el área de una superficie, el volumen de un sólido, la cabida de un vaso, etc. VARIABLE DISCRETA: La que consta de unidades o partes separadas unas de otras, como los árboles de un monte, los soldados de un eército, los granos de una espiga, etc. * Real Academia de la Lengua Española

6 VARIABLE DETERMINÍSTICA Variable: f. Mat. Magnitud que puede tener un valor de los comprendidos en un conunto, pero predecible con eactitud. Variable Determinística: Continua Discreta

7 VARIABLE ALEATORIA Variable Aleatoria: f. Mat.. Magnitud cuyos valores están determinados por las leyes de probabilidad, como los puntos resultantes de la tirada de un dado. Variable Aleatoria: Continua Discreta Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros, lo que da origen al concepto de distribución de probabilidad bilid d de una VA.

8 VARIABLE ALEATORIA Una VA es una función sobre el espacio de los posibles resultados eventos de un eperimento aleatorio, Por eemplo: a Al arroar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba: { águila, 0sol} b Alimentar de la misma manera a 0 animales y obervar su peso después de 30 días c arroar dos dados y anotar la suma de los puntos que caen hacia arriba. d el voltae de salida de 50 eliminadores de baterías. Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros, lo que da origen al concepto de distribución de probabilidad bilid d de una VA.

9 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Eemplo: Caso de una VA discreta: Y Y Y +Y Y Y Y +Y 4 5 Eperimento: Arroar dos dados y observar la VA : la suma de los puntos de las caras que quedan hacia arriba Las formas en que puede ocurrir cada uno de los valores que toma la VA se muestran en la tabla Observemos que hay posibilidad en 36 de que, mientras que hay posibilidades en 36 de que

10 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Las probabilidades para cada valor de la VA se muestran en la tabla. En este eemplo la tabla representa la función de distribución de probabilidad fdp de la VA. P /36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 0 3/36 /36 Representación gráfica de la función de distribución de probabilidad de la VA P P /36

11 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Distribución de probabilidad de una VA : f P En nuestro eemplo de la suma de dos dados: f3 P 3 ; f3 /36 Propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta también conocida como función masa de probabilidad, fmp : a f 0 Para toda que pertencece a b f

12 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Las probabilidades acumuladas para cada valor de la VA se muestran en la siguiente tabla que representa la función de distribución acumulativa FDA de la VA. P P< /36 3 3/36 4 6/36 5 0/36 6 5/36 7 /36 8 6/ / / F P i i 35/36 36/36 Esta es una función escalón, hay un salto en cada valor de y es plana entre ellos. En nuestro eemplo: F3 P < <3 ; F3 /36 + /36 3/36

13 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA F P i i La FDA es una función no decreciente de con las siguientes propiedades.. 0 F. 3. F P i F > - F i Además, si pertenece al conunto de los números enteros: 4. P F F 5. P i F F i i consultar: Canavos, Prob. y Estad., Aplicaciones y Métodos., Mc Graw Hill., pag. 56

14 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Caso de una VA continua Eperimento: observar la VA : el tiempo que dura una lámpara hasta que se funde. La probabilidad de que una lámpara dure de 0 a,000 horas es más alta que la probabilidad de que dure de,000 a,000 horas; es decir, que a medida que transcurre el tiempo, la probabilidad de que continúe en operación disminuye; este comportamiento se puede representar mediante una curva eponencial de la forma: λ f 0 fdp f λe 0 λ 0 cualquier otro caso

15 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Caso de una VA continua Propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua también conocida como función de densidad de probabilidad, fdp :.. f 0, fd 3. Pa b b fd a

16 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Caso de una VA continua Eperimento: observar la VA : el tiempo que dura una lámpara hasta que se funde. F La probabilidad de que una lámpara dure al menos horas se obtiene mediante la función de distribución acumulativa FDA. fdp FDA f λe 0 λ 0 cualquier otro caso 0 λ FDA e 0 F 0 cualquier otro caso F P f t dt

17 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Caso de una VA continua F P f t dt La FDA es una función no decreciente de con las siguientes características.. F. F 3. Pa < 0 + < b df 4. f d además: P f t dt 0 Fb Fa y: P P < f t dt F

18 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA O ESPERANZA MATEMÁTICA Valor esperado de una variable aleatoria : E [ ] P f d ; ; si si es discreta es continua Valor esperado de una función g de una variable aleatoria : E [ g ] g P g f d ; ; si es discreta si es continua

19 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO COMO OPERADOR MATEMÁTICO Si es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f; a, b y c son constantes y g y h son funciones de, entonces:. E [ c] c. E [ a + b] ae[ ] + b 3. E [ g + h ] E [ g ] + E [ h ]

20 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA El momento de orden respecto al origen de una variable aleatoria se define como: P ; si es discreta. i i [ ] i E f d ; si es continua. El momento de orden respecto a la media de una variable aleatoria se define como: E[ K ] i i P i f d ; si es discreta. ; si es continua.

21 MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VA Vl Valor esperado o media de una variable ibl aleatoria i P i ; si es discreta. E[ ] i f d ; si es continua. σ Varianza de una variable aleatoria E[ ] i P i i f d ; si es discreta. ; si es continua. Desviación estándar σ σ

22 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA Los momentos de orden Los momentos de orden respecto a la media respecto a la media pueden epresarse en pueden epresarse en Los momentos de orden Los momentos de orden respecto a la media respecto a la media pueden epresarse en pueden epresarse en función de los momentos función de los momentos respecto al origen respecto al origen mediante la relación: mediante la relación: 0,,,... ; 0 Eemplo: Eemplo: Para segundo momento respecto a la media varianza Para segundo momento respecto a la media varianza y : que Notar y 0 ] [ ] [ ] [ E E E σ

23 MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA Con un procedimiento análogo al anterior encontramos que: Para Para aa

24 PROPIEDADES DE LA VARIANZA COMO OPERADOR MATEMÁTICO Si es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f ; a, b y c son constantes, entonces: V [ c]. ] 0. V [ a + b ] a V [ ] Además, si Y es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f Y y,, y se cumple que y Y son INDEPENDIENTES entonces: 3. V [ + Y ] V [ ] + V [ Y ]

25 DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV Teorema: Si es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f con media varianza σ ;y es una constante positiva, entonces: P σ Formas alternativas, a veces útiles, de la desigualdad de Chebyshev son: P < σ P σ < < + σ y La desigualdad proporciona una probabilidad límite de que la variable aleatoria esté a lo más a desviaciones estándar de la media sin que sea necesario conocer la distribución de probabilidad de, aunque se considera un resultado débil, ya que si se conoce con precisión f se pueden obtener meores resultados.