TEMA 1: Los números reales. Tema 1: Los números reales 1

Transcripción

1 TEMA 1: Los números reales Tema 1: Los números reales 1

2 ESQUEMA DE LA UNIDAD 1.- Números naturales y enteros..- Números racionales. 3.- Números irracionales. 4.- Números reales. 5.- Jerarquía en las operaciones combinadas. 6.- Repaso operaciones con fracciones. 7.- Representación de números sobre la recta real. 8.- Intervalos. 9.- Números aproximados, redondeo y errores Números aproximados Redondeo Truncamiento. 1.- NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Los números naturales son los que se utilizan para contar cantidades positivas. Estos números surgieron cuando el hombre sintió la necesidad de controlar las cosas que tenía. El número cero no es un número natural porque cuando no se posee nada no se tiene la necesidad de controlar lo que se tiene. Ejemplos: 1,, 3 Al conjunto de todos los números naturales se le representa por N. Así escribiremos: N 1,, 3, 4, 5, 6,... Frecuentemente podemos encontrarnos con la siguiente expresión: N, que significa que el número "dos" es un número natural, o dicho de otra manera, que el número dos pertenece al conjunto de los números naturales. Los números enteros son los que se utilizan para contar cantidades tanto positivas como negativas y el cero. Estos números surgieron cuando el hombre sintió la necesidad de controlar las cosas que debía. Ejemplos: -3, -, -1, 0, 1, Al conjunto de todos los números enteros se le representa por Z. Así escribiremos:..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... La expresión 5Z se utiliza para decir que el número -5 es entero. Observación: los números naturales también son enteros. Tema 1: Los números reales

3 .- NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son las fracciones y los números que puedan expresarse en forma de fracción. Ejemplos: /3, -1/, 4 (= 4/1). Al conjunto de todos los números racionales se le representa por Q. Observaciones: a) Los números naturales y enteros también son racionales, ya que se pueden escribir como una fracción con denominador el número 1. b) También son racionales los números decimales exactos y los periódicos puros y mixtos. Estos números, por tanto, se pueden escribir en forma de fracción a la que se le llama fracción generatriz. c) Los números decimales exactos son los que tienen un número finito de cifras decimales. Su fracción generatriz es la que tiene como numerador el número sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplos: 15 0,15, , d) Los números decimales periódicos puros son los que tienen infinitas cifras decimales que se repiten de manera periódica inmediatamente después de la coma. Su fracción generatriz es la que tiene como numerador el número sin la coma menos el número (sin coma) que queda delante del periodo, y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo. Ejemplos: ,6, , e) Los números decimales periódicos mixtos son los que tienen infinitas cifras decimales que se repiten de manera periódica pero no justo después de la coma. Su fracción generatriz es la que tiene como numerador el número sin la coma menos el número (sin coma) que queda delante del periodo, y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras haya entre la coma y el periodo. Ejemplos: ,386, , NÚMEROS IRRACIONALES Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar en forma de fracción. En la práctica estos números son fáciles de identificar, ya que son los decimales con infinitas cifras decimales no periódicas, las raíces de cualquier índice que no sean exactas, y algunos números especiales. El conjunto de todos los números irracionales se representa por I. Ejemplos: 7, 5, 3, , e, (llamado número áureo o número de oro), Tema 1: Los números reales 3

4 4.- NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Se representa por y se puede escribir que Q ᴗ I RESUMEN Naturales Enteros Racionales Irracionales Enteros positivos Enteros positivos Naturales Raíces no exactas Enteros negativos Enteros Números especiales Cero Fracciones Decimales con infinitas cifras decimales no periódicas Decimales exactos Decimales periódicos 5.- JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES COMBINADAS En las operaciones combinadas con números reales hay que respetar el siguiente orden: a) Paréntesis. b) Potencias y raíces. c) Multiplicaciones y divisiones. d) Sumas y restas. 6.- REPASO OPERACIONES CON FRACCIONES Para poder sumar y restar fracciones, tienen que tener el mismo denominador. A veces para conseguir que lo tengan hay que calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.). M.C.M. = producto de los elementos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Tema 1: Los números reales 4

5 El producto de fracciones se hace multiplicando en línea. El cociente de fracciones se hace multiplicando en cruz. Las fracciones se pueden multiplicar y dividir aunque no tengan el mismo denominador, dicho de otra forma, al multiplicar y dividir fracciones no hay que calcular el m.c.m. 7.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS SOBRE LA RECTA REAL La recta real es una recta en la que aparecen representados todos los números reales, aunque solamente se suelen señalar los enteros. Buscar un número dado en la recta real se hace de una manera u otra dependiendo del tipo de número que sea: Representación de números decimales: Los números decimales se representan en la recta real por aproximación, que consiste en ir dividiendo sucesivamente en diez tramos iguales los segmentos adecuados hasta que aparezca representado el número que se quiere representar. Ejemplo: representa en la recta real el número 3,4 Paso 1: como el número que queremos representar está entre el 3 y el 4, dividimos el segmento de la recta real que va desde el 3 hasta el 4 en diez partes iguales. Paso : como el primer decimal es el número, dividimos el segmento de la recta real que va desde el 3,0 hasta el 3,30 en diez partes iguales. Paso 3: como el siguiente y último número decimal es el número 4, el número que buscamos es el que marca la cuarta división de las que se han hecho en el paso anterior. Representación de fracciones: Si se trata de una fracción propia (es decir, en la que el numerador es más pequeño que el denominador), el trozo que va desde el cero hasta el uno se divide en tantas partes como indique el denominador y se eligen tantos trozos como indique el numerador. Ejemplo: representa 3/5 en la recta real. Paso 1: dibuja una semirrecta inclinada con origen en el cero. Tema 1: Los números reales 5

6 Paso : ayudándote de una regla divide la recta dibujada en tantas partes iguales como indique el denominador (en nuestro caso en cinco partes iguales). Paso 3: une la última señal hecha en la recta con el uno. Paso 4: ayudándote de una escuadra y un cartabón traza rectas paralelas a la anterior que pasen por las distintas señales hechas en la recta que dibujaste en el paso 1. Cada una de estas paralelas cortarán a la recta real en un punto. Nuestra fracción será aquel punto que coincida con el numerador, en nuestro caso el tercero. Si se trata de una fracción impropia (es decir, el numerador es mayor que el denominador) se hace la división para ver quiénes son el cociente y el resto. En este caso habría que dividir el tramo que va desde el cociente hasta el número siguiente en tantas partes como indique el denominador de la fracción inicial y tomar tantos trozos como nos diga el resto de la división que hicimos al principio. Ejemplo: representa 7/3 en la recta real. Paso 1: hacemos la división para conocer el cociente y el resto. Escribimos la fracción de esta forma: fracción cociente resto divisor Paso : representamos la fracción 1/3 en el segmento que va desde el (que es el cociente de la división) hasta el 3 (que es el número siguiente). Esto se hace siguiendo los pasos que se indicaron para representar fracciones propias. Representación de números irracionales: Si se trata de un número irracional que viene expresado mediante una raíz cuadrada no exacta, se utiliza el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera: Tema 1: Los números reales 6

7 hip Sabemos por dicho teorema que en un triángulo rectángulo se cumple que cateto esto hip 1 cateto cateto 1 cateto, de donde, pasando el cuadrado de la hipotenusa a la derecha nos queda. Así, la raíz que queremos representar en la recta real será la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos debemos calcular. Una vez dibujado dicho triángulo en unos ejes de coordenadas, basta llevar con el compás la longitud de la hipotenusa a la recta real. Ejemplo: representa 13 en la recta real. Paso 1: calculamos los catetos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa vale cateto 13 3 hip cateto, luego los catetos miden y 3. Paso : dibujamos el triángulo rectángulo de catetos y 3 en unos ejes de coordenadas. Paso 3: llevamos con el compás la longitud de la hipotenusa a la recta real. Hay veces en las que el número que queremos representar no puede escribirse como la raíz de la suma de los cuadrados de dos números naturales, en cuyo caso uno de los catetos, al menos, en vez de ser un número natural será una raíz no exacta. Ejemplo: representa 3 en la recta real. Paso 1: calculamos los catetos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa vale 3. 1 cateto 3 3 hip cateto, luego los catetos miden y 1. Paso : dibujamos el triángulo rectángulo de catetos y 1. Primero medimos (se puede hacer como en el ejemplo anterior, ya que 1 1 ). Tema 1: Los números reales 7

8 Paso 3: llevamos con el compás la longitud de la hipotenusa a la recta real. 8.- INTERVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales que podemos entre dos números dados llamados extremos del intervalo. Así, el intervalo (, 3) es el conjunto de todos los números reales que hay entre el y el 3; por ejemplo, serían números de ese conjunto,1,37,486 Observación: a) No confundir vector cartesiano con intervalo. Aunque se representan de la misma manera, a los vectores los distinguiremos porque les pondremos nombres de letra con una flechita encima. b) En los intervalos hay que colocar los extremos ordenados, el número más pequeño a la izquierda. Formas de expresar un intervalo A. Gráficamente: el conjunto de números reales que están en el intervalo se señalan en la recta real. Ejemplo: En este caso el corchete indica que ese extremo está dentro del intervalo y el paréntesis que el extremo no lo está. El corchete se puede sustituir por un círculo (relleno) y el paréntesis por una circunferencia (sin rellenar), así, también se puede representar el intervalo anterior de la siguiente manera: B. En forma de intervalo: en este caso se escriben los extremos del intervalo separados por una coma y a cada extremo se le pone un paréntesis o un corchete dependiendo de si está o no dentro del intervalo. Ejemplo: 3,1 C. Con lenguaje de teoría de conjuntos: se trata de utilizar el lenguaje matemático para 3,1 x : 3 x 1 indicar qué números están dentro del intervalo. Ejemplo: Nombres de los intervalos Al intervalo que tiene en los dos extremos un paréntesis se le llama intervalo abierto. Ejemplo: 3,1 Al intervalo que tiene en los dos extremos un corchete se le llama intervalo cerrado. Ejemplo: 3,1 Tema 1: Los números reales 8

9 Al intervalo que tiene en uno de los extremos un paréntesis y en el otro un corchete se le llama intervalo semiabierto o semicerrado. Ejemplos: 3,1, 3,1 Intervalos de extremos infinitos Un intervalo en cuyo uno de los extremos tenga un infinito representa el conjunto de números reales que es mayor o menor (dependiendo de en qué extremo esté el infinito) que el otro extremo. Así por ejemplo, el conjunto de números reales que son mayores que 4 se representa por 4,, mientras que el conjunto de números reales que son menores que 4 sería, NÚMEROS APROXIMADOS, REDONDEO Y ERRORES Números aproximados En la práctica, en muchas situaciones reales se suele trabajar con cifras aproximadas. Así por ejemplo, se suele decir que unas personas utilizan diariamente la línea morada del metro, o que a un partido de fútbol han asistido unos espectadores, sin precisar la cifra exacta de personas a las que se refiere cada ejemplo. A las cifras dadas en los ejemplos, que no son las reales pero que se acercan mucho, se les llama estimaciones o aproximaciones. Si la aproximación dada resulta ser un número menor que el real, se dice que la aproximación es por defecto. En cambio, si la aproximación dada es un número mayor que el real, se habla de aproximación por exceso. Ejemplo: dado el número 5, , escribe una aproximación por defecto y otra por exceso con dos cifras decimales. Aproximación por defecto:,3 Aproximación por exceso:,4 Nota: en la práctica la aproximación por defecto es el número que resulta al quitarle al que estamos aproximando la parte que no nos interesa, y la aproximación por exceso sería el número que resulta de sumarle uno a la última cifra de la aproximación por defecto. Para aproximar un número real se suelen emplear dos procedimientos: el redondeo y el truncamiento Redondeo Para aproximar un número real se suele emplear el método del redondeo. Para redondear un número real, si la primera cifra que se desprecia es mayor o igual que 5 se aumenta una unidad la parte del número que se va a quedar, y si la primera cifra que se desprecia es menor que 5 se mantiene igual el número, y siempre sustituyendo las cifras que despreciamos por ceros. Ejemplo: redondea el número 38 a las decenas. En este caso las decenas ocupan la segunda cifra del número empezando por la derecha, por lo que la cifra que queremos despreciar es la última, la que corresponde a las unidades. Como dicha cifra es mayor que cinco (es un 8), al 3 se le suma una unidad y dicho 8 se sustituye por el cero, resultando ser el 40 el redondeo que nos piden. Tema 1: Los números reales 9

10 Ejemplo: redondea el número, con dos decimales. Como la primera cifra que se va a despreciar es un 6 (mayor que 5), a la parte decimal hay que sumarle 1, quedando el número redondeado así:, Truncamiento Para aproximar un número por el método del truncamiento lo único que hay que hacer es aproximar por defecto. Ejemplo: aproxima por truncamiento a la centésima los siguientes números a) 1, , 41 b) 7, , 55 c),816, 81 FIN DEL TEMA Tema 1: Los números reales 10