Instituto de Ayuda Politécnica

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1 CAPÍTULO 1: LÓGICA Y CONJUNTOS 1.1. PROPOSICIONES. 1. Determine cuál de las siguientes proposiciones son proposiciones. a) El sabor del color azul es c) Disparen al ladrón. dulce. d) x 2 + 2x + 1 = 0. b) es un número par. e) Las rosas son rojas. f) El amanecer es bello. g) 4 es divisible para 2. h) Seleccione el enunciado que NO es una proposición. a) El Ecuador tiene 24 provincias. b) Las Islas Galápagos pertenecen a Perú. c) La Habana es la capital de Cuba. d) Viva el Turismo en el Ecuador! e) El volcán más alto está en Chimborazo. 3. De las siguientes expresiones indique cuales son proposiciones. a) Esta fruta está verde. d) = 10 b) Estás contenta? e) Mañana se acabará el mundo. c) Siéntate y quédate tranquilo OPERADORES LÓGICOS 1. Si la enunciación hipotética a es verdadera, entonces b es condición suficiente para a. 2. La contraposición de la expresión Santiago se casa conmigo si decido terminar con Eduardo es Si Santiago se casa conmigo, decido terminar con Eduardo. 3. Sea la proposición a c verdadera. Si la condición suficiente es verdadera, entonces la condición necesaria también lo es 4. Para que la enunciación hipotética sea falsa es suficiente que el antecedente sea verdadero. 5. Si la proposición Para que una función f sea diferenciable es necesario que f sea continua es verdadera, entonces la proposición Si una función no es continua, no es diferenciable también es verdadera. 6. La contrapositiva de la proposición Obtengo buenas notas sólo si gano una beca es Si no gano una beca, no obtengo buenas notas. 7. Si la enunciación hipotética a b es verdadera, entonces a es condición necesaria para b. 8. La recíproca de la proposición Carolina termina las tareas solo si juega ajedrez es Si Carolina juega ajedrez, entonces termina las tareas, 9. La contrapositiva de la proposición Es necesario aprobar Matemáticas para pasara al siguiente curso es Si no se aprueba Matemáticas entonces no se pasa al siguiente curso. TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 1

2 10. La contrapositiva de la proposición El presidente continúa en el poder solo si obtiene apoyo del sector político es Si el presidente no continúa en el poder, entonces no obtiene apoyo del sector político. 11. Dada la proposición molecular 2+2=4 puesto que 27 es divisible para 9, la proposición 2+2=4 es condición necesaria de 27 sea divisible para La contrarecíproca de la proposición: Si S es una base del espacio vectorial V, entonces S es linealmente independiente en V es: a) S es una base de V y es linealmente independiente en V. b) Si S es linealmente independiente en V, entonces S es una base de V. c) Sólo si S no es una base en V, S no es linealmente independiente en V. d) Es necesario que S sea una base de V para que S sea linealmente independiente en V. e) Si S no es una base de V, entonces S no es linealmente independiente en V. 13. Considerando las proposiciones atómicas a: Los precios suben. b: Se incrementa el precio de la gasolina. Sea la proposición molecular Los precios suben cada vez que se incrementa el precio de la gasolina, entonces la contrarecíproca es a) a b b) b a c) a b d) b a e) a b 1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS 1. Dadas las proposiciones: a: Vanessa Llega a tiempo. c: Vanessa desayuna. b: Vanessa se levanta temprano. La traducción al lenguaje formal de la proposición: Para que Vanesa desayune y llegue a tiempo es necesario que se levante temprano es: a) c a b) a c c) a b d) c a e) a b 2. Dadas las proposiciones atómicas: a: Estoy contento. c: Deseo hacer un buen examen. b: Entiendo las clases. La traducción al lenguaje formal de la proposición molecular: Basta que entienda las clases y desee hacer un buen examen para que yo esté contento es b a 3. Dadas las proposiciones atómicas a: Los niños son cariñosos con sus padres. b: Los padres se sienten felices. La traducción formal de la proposición: Basta que los niños sean cariñosos con sus padres para que estos se sientan felices es: a) a b a b) a b c) b a d) a a e) a a TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 2

3 4. Si a, b y c son proposiciones atómicas tales que: a: Apruebo Matemáticas. c: No apruebo Física. b: Ingreso a la Universidad. Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición molecular No ingreso a la Universidad y apruebo Física, siempre que no apruebe Matemáticas es: a) b a b) b a c) a b d) a b e) a b c 5. Dado el siguiente enunciado: Si la demanda decrece y la empresa no reduce la producción, entonces la publicidad debe incrementarse, con las proposiciones atómicas a: La demanda decrece. b: La empresa reduce la producción. c: La publicidad debe incrementarse. La traducción al lenguaje formal de la proposición molecular es: a) a c b) c a c) a c d) c a e) a b c 6. Dadas las proposiciones atómicas: a: Tomo cola. c: Saciaré mi sed. b: Tomo agua. d: Tomo un helado. La traducción al lenguaje formal de la proposición molecular: Tomo cola o agua sólo si saciaré mi sed, pero no saciaré mi sed si tomo un helado es a) a c d b) c a d c) c a d d) a b d e) a d 7. Dado el siguiente enunciado: Si la demanda decrece y la empresa no reduce la producción, entonces la publicidad debe incrementarse, con las proposiciones atómicas a: La demanda decrece. c: La publicidad debe incrementarse. b: La empresa reduce la producción. La traducción al lenguaje formal de la proposición molecular es: a) a c b) c a c) a c d) c a e) a b c 8. Considerando las proposiciones a: Los jugadores de la selección acatan las disposiciones del técnico. b: Los jugadores de la selección logran clasificar al mundial. c: El pueblo brinda a los jugadores de la selección un recibimiento apoteósico. La traducción al lenguaje formal del enunciado: Si los jugadores de la Selección acatan las disposiciones del técnico y logran clasificar al mundial, el pueblo les brindará un recibimiento apoteósico; pero si no logran clasificar, el pueblo no los recibirá apoteósicamente, es: a) b a b b) a b 9. Si a, b y c son proposiciones tales que a: Viajé a Italia el año pasado. b: Trabajé mucho. c) a b d) b a b c: Ahorré dinero. e) a b TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 3

4 Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición Viajé a Italia el año pasado debido a que trabajé mucho y ahorré dinero es a b a) c b) b a 10. Si la proposición a b a) a b) a b c) c b a d) a b e) a b c es FALSA, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA. c) a d) a c a e) a b 11. Si la proposición p q es verdadera, entonces el valor de verdad de la proposición p q r es: a) Verdadera b) Falsa 12. Si la bicondicional entre dos proposiciones es falsa, entonces la disyunción exclusiva entre ellas también lo es. 13. Si la proposición a b es falsa, entonces la proposición b a a) Verdadera. b) Falsa. 14. Si la proposición b verdadera. a es verdadera y la proposición es: c b c es falsa, entonces la proposición 15. Si a, b y c son proposiciones tales que a b 0 entonces el valor de verdad de a b 16. Si la proposición p q r es falsa, entonces la proposición p q 17. Si la proposición a b a) a c b) a b c es verdadera. es: a c es c es falsa, entonces una de las siguientes proposiciones es falsa, identifíquela c) a e) a b d) a b a 18. Si la proposición a b d d e a) d a 0 c) b a 0 b) e d 0 d) a d 0 es verdadera, entonces es verdad que e) e a FORMAS PROPOSICIONALES 1. Si f(p, q, r, s) es tautológica y g(p, q, r, s) una contradicción, entonces g(1, 1, 0, 0) f(0, 1, 0, 1) 0 2. La forma proposicional ( q p) ( p q) es tautológica. 3. La forma proposicional [(p q) ( q p)] es una tautología. TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 4

5 4. La forma proposicional [(p q) (p r)] p es una tautología. 5. Toda forma proposicional es una tautología. 6. La forma proposicional (p q) (p q) es una tautología. 7. La forma proposicional [(p q) q] p es una tautología. a) Verdadero. b) Falso 8. La forma proposicional ( p q) ( q p) es tautológica. 9. La forma proposicional p (p q) es equivalente a (p q). 10. La expresión [(p q) (q p)] q es una tautología 11. La forma proposicional p ( p q) es tautológica. 12. Si la forma proposicional [(p q) r] (r q) es FALSA, entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela. a) ( r p) 0 b) r es falsa. c) (p 1) 0 d) q es verdadera. e) (q p) Si se tienen las siguientes formas proposicionales I: [(p q) ( q p)] q II: [(q p) (q p)] Entonces, es VERDAD que: a) La forma proposicional I es una tautología. b) La forma proposicional II no es una tautología. c) La formas proposicionales I y II son tautológicas. d) La formas proposicionales I y II no son tautológicas. e) La forma proposicional I no es tautología y la II es una tautología. 1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS 1. Una de las siguientes proposiciones es verdadera, identifíquela. a) (p q) r p (q r) b) (p q) r p (q r) c) (p q) r p (q r) d) ( p q) p q e) ( q p) p q 2. Sean las proposiciones: a: Hoy es miércoles b: Tengo que dar un examen c: He estudiado d: Saldré mal del examen Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición: Hoy es miércoles y tengo que dar un examen, pero sí he estudiado entonces no saldré mal en el examen, es: a) c d a b) d a c) a c d TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 5

6 d) a c d e) a c d Instituto de Ayuda Politécnica 3. Si se consideran las siguientes proposiciones p: La selección clasifica al mundial. r: La selección depende de otros resultados. q: La selección gana su próximo partido. Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición La selección clasifica al mundial solo si gana su próximo partido y no depende de otros resultados es: a) r p q b) q p c) q p d) q p e) p q 4. La traducción al lenguaje formal de la proposición Si me voy a casa, me voy de compras, y si no me voy a casa entonces voy al cine es:, siendo las proposiciones atómicas: a: Me voy a casa c: Voy al cine b: Me voy de compras a) a a b) a a c) a a d) b a c a e) b a c a 5. Considere las proposiciones atómicas: p: Luis juega fútbol r: Luis realiza un buen partido q: Luis se prepara físicamente Entonces la traducción al lenguaje formal de la proposición No es verdad que, si Luis juega fútbol y no se prepara físicamente, realiza un buen partido es: a) p q r b) p c) p r d) p e) p 6. Considere las proposiciones p: Ecuador se prepara bien q: Ecuador juega bien r: Ecuador clasifica al mundial Entonces una traducción al lenguaje formal de la proposición: No es verdad que, si Ecuador se prepara bien y no juega bien entonces clasifica al mundial es: a) p q r b) p c) p r d) p 7. La negación de la proposición Estudio y apruebo el curso sólo si soy buen hijo es: a) Estudio y apruebo el curso, pero no soy buen hijo. b) Si no estudio y no apruebo el curso, no soy buen hijo. c) No soy buen hijo solo si, ni estudio, ni apruebo el curso. d) Ni estudio ni apruebo el curso, ni soy buen hijo. e) No estudio pero tampoco apruebo el curso. Por lo tanto no soy buen hijo e) p 8. La proposición Juan estudia, siempre que no vea televisión es equivalente a: a) Juan no estudia o ve televisión. d) Juan estudia o no ve televisión. b) Juan estudia y ve televisión. e) Juan estudia o ve televisión. c) Juan estudia cuando ve televisión. 9. La traducción al lenguaje formal de la proposición Si resuelvo bien el examen y no está difícil, mis padres me felicitarán es, siendo las proposiciones TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 6

7 a: Yo resuelvo bien el examen. b: El examen está difícil. c: Mis padres me felicitarán. a) a (b c) b) a c c) a (b c) d) a (b c) e) a (b c) 10. Si las proposiciones atómicas son: p: Los jugadores de la Selección ecuatoriana de fútbol tienen calidad para jugar en la altura. q: Los jugadores de la Selección ecuatoriana de fútbol tienen calidad para crear jugadas de ataque. r: Los jugadores de la Selección ecuatoriana de fútbol llegan a octavos de final. Entonces la negación de la proposición Si los jugadores de la selección ecuatoriana de fútbol tienen calidad para jugar en la altura y crear jugadas de ataque, entonces llegan a octavos de final es: a) (p q) r b) r (p q) c) r (p q) d) r (p q) e) r (p q) 11. La proposición [(a b) ( b a)] a es equivalente a a) a b b) a c) 1 d) 0 e) a b 12. Considerando las siguientes proposiciones: a: Daniel es feliz. b: Daniel estudia todos los días. c: Daniel aprueba el prepolitécnico. Entonces la traducción al lenguaje formal de Daniel es feliz sólo si estudia todos los días y aprueba el prepolitécnico es: a) r (p q) b) (q r) p c) (q r) p d) (q r) p 13. La negación del enunciado: Si apruebas el examen, te compraré un carro, es: a) No aprobarás el examen y no te compraré el carro. b) No aprobarás el examen y te compraré el carro. c) No te compro el carro y apruebas el examen. d) Te compraré el carro si no apruebas el examen. e) No te compraré el carro, porque no aprobaste el examen RAZONAMIENTOS Y DEMOSTRACIONES 1. Para el razonamiento cuyas hipótesis son: H1: Si Cecilia está estudiando, está motivada y entiende la materia. H2: Cecilia no entiende la materia. Una conclusión que hace válido el razonamiento es C: Cecilia no está estudiando. a) Verdadero. b) Falso e) p (q r) 2. Dadas las siguientes premisas: H1: Si estudio mucha Matemática, entonces no reprobaré el curso. H2: Estudio mucha Matemática. Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido, es No estudio mucha matemática. 3. Dadas las siguientes premisas H1: Si apruebo todas las materias, entonces me voy de vacaciones por un mes. H2: Si me voy de vacaciones por un mes entonces seré feliz. Una conclusión que hace válido el razonamiento es Si apruebo todas las materias seré feliz. a) Verdadero b) Falso. TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 7

8 4. Dadas las premisas H1: La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas. H2: Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil. Se puede concluir que a) La dolarización es difícil. b) Las medidas económicas son viables. c) Si las medidas económicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarización. d) Si a muchas personas les gusta la dolarización, las medidas económicas no son viables. e) Las medidas económicas no son viables o la dolarización es difícil 5. Dadas las premisas H1: Si estudio mucha Matemática, entonces aprobaré el curso. H2: Estudio mucha Matemática. Una conclusión para que el razonamiento sea válido es Reprobaré el curso 6. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas: H1: Si María ingresa a la ESPOL o Carlos se retira, entonces José se irá de viaje. H2: Si Andrés se queda en Guayaquil entonces María no ingresa a la ESPOL. H3: Andrés no se queda en Guayaquil. Una conclusión que lo hace válido es a) José no se va de viaje. b) María ingresa a la ESPOL y Carlos no se retira. c) Si María no ingresa a la ESPOL y Carlos no se retira, José se irá de viaje. d) José no se va de viaje o Carlos no se retira. e) Ninguna de las anteriores. 7. Dado el razonamiento (P1 P2 P3) C, donde P1: Si estudio mucho entonces aprenderé. P3: Si practico apruebo el curso. P2: Si no practico no aprenderé. Entonces la conclusión C: Si estudio mucho, apruebo el curso, hace que el razonamiento sea válido. 8. Dadas las premisas: H1: Si estudio mucha lógica, entonces no reprobaré el curso. H2: Estudio mucha lógica. Entonces la conclusión que hace válido al razonamiento es: a) No estudio mucha lógica. b) Reprobaré el curso. c) Estudio mucha lógica o no reprobaré el curso. 9. Dadas las hipótesis H1: Si digo mis oraciones, Dios me escucha. H2: Si Dios me escucha, haré bien el examen. Una de las siguientes conclusiones hace válido el razonamiento. a) Dios no me escucha. b) Dios me escucha. c) Hago bien el examen. 10. Dadas las hipótesis H1: Si digo mis oraciones, Dios me escucha. d) No estudio mucha lógica y estudio mucha lógica. e) No estudio mucha lógica o reprobaré el curso. H3: Hago mal el examen. d) Si no digo mis oraciones, entonces haré bien el examen. e) Digo mis oraciones. TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 8

9 H2: Si Dios me escucha, haré bien el examen. H3: Hago mal el examen. Entonces NO se puede concluir que. a) O Dios no me escucha o no dije mis oraciones. b) Hice mal el examen porque Dios no me escucha. c) No dije mis oraciones. d) Digo mis oraciones o Dios no me escucha. e) Dios no me escucha. TUTOR: ING. ERWIN JURADO ALARCÓN Página 9

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