TEMA 3: LOGICA. 2. Los razonamientos o inferencias

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1 TEMA 3: LOGICA 1. La lógica y su objeto A menudo habrás escuchado frases como las siguientes: «con lo poco que has estudiado, es lógico que suspendas», o «por lógica, si seguimos el camino, llegaremos al pueblo». En estos casos, la palabra lógica se refiere a algo que se considera natural o de sentido común. Sin embargo, no es éste el único significado que nos interesa. Lo que vamos a estudiar es una disciplina filosófica que apareció hace más de dos mil años. Con el lenguaje podemos hacer muchas cosas: rogarle a alguien que nos acompañe, preguntar dónde está el metro o describir nuestra casa a un amigo. En cada uno de estos casos, el lenguaje cumple una función distinta y aún puede tener alguna más. De todas ellas, la función representativa es una de las principales: nos permite enunciar y afirmar cosas sobre el mundo y, así, describirlo. Pero con el lenguaje no sólo hacemos afirmaciones sobre lo que vemos («hoy hace un día magnífico», «el césped está mojado»), sino que también procuramos relacionar estas afirmaciones («hoy hace un día magnífico y el césped está mojado»), para así poder extraer nuevos conocimientos («por lo tanto, alguien ha regado»). Este proceso que nos permite obtener conocimientos nuevos a partir de otros se llama razonar. Naturalmente, es importante poseer datos ciertos para que la conclusión obtenida sea verdadera, pero sólo esto no garantiza que lo sea. Así, puede ocurrir que el césped esté mojado por otra razón: mis hermanos han hecho una guerra de globos de agua... Además de poseer datos ciertos, para garantizar la verdad de la conclusión hemos de relacionar estos datos de forma adecuada, tenemos que razonar correctamente. Precisamente de ello se ocupa la lógica; es la disciplina filosófica que estudia la corrección o validez de los razonamientos. Las ciencias formales, y entre ellas la lógica, aunque no hablan del mundo y los acontecimientos que se dan en él, están presentes como instrumentos en todas las otras formas de conocimiento que sí lo hacen. 2. Los razonamientos o inferencias Ya hemos visto que los razonamientos, también llamados inferencias, son procesos mediante los cuales obtenemos información a partir de datos conocidos. Y aunque en su origen se trata de procesos mentales, la lógica no se ocupa de ellos en este sentido ( sí lo hace la psicología ). La lógica se ocupa de los

2 razonamientos expresados lingüísticamente. Así, toda inferencia consta de: Premisas: conjunto de enunciados que expresan los datos de partida. En el lenguaje ordinario pueden ir delante o detrás de la conclusión, encabezadas por partículas como: porque, ya que, pues, puesto que, dado que... Conclusión: enunciado final que expresa la nueva información obtenida a partir de las premisas. En el lenguaje ordinario puede ir precedida por estas partículas: así que, por eso, en consecuencia, luego... En lógica, los razonamientos suelen esquematizarse así: Premisas: El ladrón del queso es un gato o un ratón. Las huellas demuestran que no es un ratón. Conclusión: El ladrón del queso es un gato Tipos de razonamientos Los razonamientos pueden ser de dos tipos: deductivos e inductivos. La deducción consiste en pasar de premisas generales a una conclusión menos general. En la deducción la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Si la deducción es correcta, es imposible que, siendo las premisas verdaderas, la conclusión sea falsa. Ejemplo: si es verdad que el ladrón es un ratón o un gato (y no un perro, por ejemplo), y que las huellas han descartado al ratón, resulta imposible que el ladrón no haya sido un gato. La inducción es un tipo de razonamiento en que se llega a una conclusión general a partir de informaciones menos generales que vienen dadas en las premisas. Un ejemplo de razonamiento inductivo: Las moscas, las hormigas, las abejas, las avispas, las pulgas... son animales pequeños. Luego todos los insectos son animales pequeños. En la inducción, sólo puede hablarse de cierta probabilidad, pues aunque las premisas sean verdaderas, esto no asegura que la conclusión también lo sea, pues pueden aparecer nuevos casos que demuestren su falsedad. Este carácter de probabilidad nos obliga a estar permanentemente dispuestos a revisar las conclusiones obtenidas por inducción. No obstante, a pesar de la debilidad de la inducción, ésta es utilizada con mucha frecuencia tanto en nuestros razonamientos cotidianos como en los científicos a la hora de confirmar las hipótesis La validez de los razonamientos

3 Las premisas y la conclusión, puesto que son enunciados que afirman algo («los gorriones son ovíparos»), o lo niegan («los murciélagos no son pájaros»), pueden ser verdaderas o falsas. En cambio, los razonamientos no pueden ser verdaderos ni falsos, pues no afirman ni niegan nada. Por tanto, no hablaremos de razonamientos verdaderos, sino de razonamientos correctos o válidos. La corrección de nuestros razonamientos es un requisito importante para obtener conclusiones verdaderas. Sin embargo, no es suficiente. Para estar seguros de la verdad de la conclusión, se han de dar a la vez la corrección del razonamiento y la verdad de las premisas. Por esta razón, cuando se da sólo una de las dos cosas, corremos el riesgo de obtener una conclusión falsa, aunque no siempre será así. Fíjate en los ejemplos siguientes:a: B: Si la Tierra estuviera fija, entonces el Sol se movería a nuestro alrededor. La Tierra está fija. El Sol se mueve a nuestro alrededor O la autora de este libro es Marina o el Guadalquivir nace en Cazorla. La autora del libro es Marina. El Guadalquivir nace en Cazorla. En el caso A, el razonamiento es correcto, pero algunas premisas son falsas. En el B, en cambio, las premisas son verdaderas, pero el razonamiento es incorrecto. 3. Principios de la lógica Hay unas cuantas formas de razonamiento que se consideran siempre correctas y que se presuponen en todo razonamiento; es decir, parece imposible que podamos razonar o incluso pensar incumpliéndolas. Son: Principio de identidad. Toda cosa es idéntica a sí misma. A es A. Principio de no contradicción. Ninguna cosa puede ser y no ser algo al mismo tiempo y en el mismo sentido. Nada puede ser A y no A. Principio del tercero excluido. Todo enunciado es o bien verdadero o bien falso. Todo es A o no A. Principio de transitividad. 4. La lógica informal En numerosas situaciones de la vida cotidiana (debates televisivos, decisiones colectivas...) en que nos encontramos perplejos ante opiniones que parecen apoyarse en razones igualmente válidas, nos preguntamos: cómo podemos saber quién tiene razón? La lógica, por ser la disciplina que estudia la corrección de los razonamientos, puede ayudarnos a averiguarlo Definición.

4 La lógica informal se ocupa de factores que no tienen nada que ver con la forma. De ahí su nombre, informal. Para determinar la validez de un razonamiento, se fija en aspectos ajenos a su estructura: si las premisas son o no las adecuadas, si los datos de partida pueden realmente justificar la conclusión, si intervienen elementos del contexto que pueden perturbar la validez del razonamiento...; es decir, tiene en cuenta cuestiones no formales. Si no es correcta, nos encontramos ante una falacia.4.2. Tipos de falacias informales. Las falacias son razonamientos no válidos que, sin embargo, pueden parecerlo. Hay falacias formales y falacias informales. Las falacias informales las estudia la lógica informal, porque no se deben a aspectos formales, sino a cuestiones relacionadas con el contenido, el significado, la cantidad de información. eremos unos ejemplos, pero debe quedar claro que los siguientes razonamientos no siempre son falacias; ello depende del contexto en que han sido formulados. F. ad verecundiam: defender la conclusión apelando a alguien o a algo que se considera una autoridad en la materia, pero sin dar otras razones que la justifiquen. Ej: Lo han dicho en televisión, así que ha de ser verdad. F. ad hominem: pretender rebatir el razonamiento de otro o demostrar la falsedad de la conclusión a la que ha llegado, desacreditando a quien lo defiende. Ej: Es falso que la mujer esté discriminada en la sociedad actual. Ya se sabe que las feministas son unas exageradas. F. ad populum: defender una conclusión sin justificarla, únicamente apelando a l o s s e n t i m i e n t o s, e m o c i o n e s o p r e j u i c i o s d e l a u d i t o r i o. Ej: Prohibiremos la inmigración, porque no podemos consentir que los extranjeros roben el pan a nuestros hijos. F. ad ignorantiam: defender que algo es definitivamente verdadero (o falso) porque no podemos demostrar lo contrario. Ej: Ya que nadie ha demostrado válidamente que Dios exista, Dios no existe. F. ad baculum ( popularmente, al garrote ) se da cuando amenazamos o coaccionamos, en lugar de dar razones. Este problema se hace así, porque si no, te van a suspender. Ej: No corras tanto. Si te pillan, te pondrán una multa. Generalización indebida: inferir una conclusión general a partir de unos pocos casos que no son suficientes para justificarla. La consecuencia puede ser desmentida fácilmente con un contraejemplo. Ej: La merluza es ovípara, la rana es ovípara y el avestruz es ovíparo. Seguro

5 que todos los vertebrados lo son. Falsa causa: se da por correcta una causa insuficiente o simplemente equivocada. Normalmente se debe a que trata de concluir que una cosa es causada por otra sólo porque ésta le precede. Ej: Suspendí el examen porque se me cruzó un gato negro al entrar en clase. F. semántica: se basa en que una palabra o expresión que se repite cambia de significado durante el discurso; es decir, se usa un término o expresión equívocamente. Esto hace que no nos demos cuenta de que, en el fondo, se ha acabado hablando de algo distinto de lo que se comenzó. Ej: Puesto que con los gatos se levantan coches, Garfield puede levantar el coche. F. circular: en ella, la conclusión se apoya en una premisa que para ser verdadera depende de que la conclusión también lo sea. Así, la verdad de la premisa y la verdad de la conclusión dependen la una de la otra. Por eso se dice que comete circularidad. Ej: Las chicas son más inteligentes que los chicos porque sacan mejores notas. Por qué sacan mejores notas? Pues porque son más inteligentes. Ejercicios: * Indica en qué falacias incurren los siguientes razonamientos y justifícalo. La monarquía es una institución que está vigente porque es útil. De hecho, la prueba de que es útil es que todavía está vigente. Todos los niños pelirrojos que conozco son traviesos, así que tu primo pelirrojo también lo tiene que ser. Ha dejado de llover porque el arco iris ha parado la lluvia al salir. Puesto que nadie ha podido probar lo contrario, los extraterrestres existen. En abril siempre llueve, porque me lo ha dicho mi abuelo. No es cierto lo que dice, porque es un mentiroso. Quienes saben de leyes son los abogados. Por eso son los que mejor conocen las leyes de la naturaleza. Inventa ejemplos de falacias y explica el tipo de falacia que se da. La lógica formal 5.1. Definición. La lógica formal se centra exclusivamente en si los razonamientos están bien construidos o no. Para ello, analiza las relaciones que mantienen las premisas y la

6 conclusión; esto es, analiza la estructura que tiene el razonamiento. En este análisis, no necesita ocuparse del contenido o significado de las premisas y la conclusión, pues un razonamiento está bien construido o no independientemente de lo que se afirma en él. Como a este tipo de lógica sólo le interesa la estructura o forma de los razonamientos, se la llama lógica formal El silogismo. Es un razonamiento deductivo formado por tres enunciados: dos premisas y una conclusión. En el conjunto del silogismo aparecen tres términos: el mayor (predicado de la conclusión), el menor (sujeto de la conclusión) y el medio (no aparece en la conclusión, pero si en las dos premisas). La forma del silogismo permite relacionar en la conclusión, dos términos (mayor y menor), que aparecen separados en las premisas. Esta relación es posible gracias al término medio, que desempeña un papel similar al del intermediario. Por ejemplo: Todos los estudiantes (medio) son responsables. Los alumnos de esta clase son estudiantes (medio). Los alumnos de esta clase (menor ) son responsables (mayor) Apuntes históricos. Fue Aristóteles quien, en el siglo I a. C., puso las bases de la ciencia lógica, tanto formal como informal. Sus estudios fueron durante mucho tiempo orientación fundamental en el desarrollo de la disciplina. Concretamente, nos ha legado magníficos estudios sobre falacias informales y, dentro de la lógica formal, la teoría de los silogismos (lóg. de predicados). Los filósofos estoicos continuaron en la Grecia Antigua los estudios de lógica. Ellos fueron los que iniciaron la actualmente llamada lógica de enunciados o proposiciones. A partir de entonces, y salvo algunas excepciones, no hubo grandes aportaciones originales. Hasta prácticamente el siglo XIX, la lógica se limitó a desarrollar las aportaciones aristotélicas y estoicas. Este desarrollo es la llamada lógica tradicional Tipos de lógica formal La lógica de predicados analiza la estructura interna de los enunciados: el sujeto y la propiedad que se predica de él. La lógica de clases es muy parecida a la anterior. Sin embargo, cambia de punto de vista. Los predicados son analizados como propiedades que comparten los individuos que pertenecen a una misma clase o conjunto. La lógica de enunciados toma los enunciados como un todo y no los analiza internamente en sujeto y predicado. Estudia la validez formal de los razonamientos teniendo en cuenta únicamente el valor de verdad (verdadero o falso) de cada enunciado y de sus relaciones con otros.

7 6. La lógica de predicados. Leyes, figuras y modos. 7. La lógica de enunciados Esta lógica, también llamada proposicional, es la más elemental. Su objetivo es analizar las relaciones que se dan entre los enunciados, o sea, las conexiones que nos permiten obtener una conclusión válida a partir de unos enunciados que actúan como premisas. Sin embargo, dado que las proposiciones se consideran aquí como un todo, esta lógica se centra en el estudio de las inferencias por las que se deduce un enunciado tomado en bloque, de otro u otros enunciados tomados también en bloque. Los enunciados pueden ser simples o atómicos; y compuestos o moleculares, según consten de una o más oraciones. Uno de los objetivos de la lógica es determinar qué tipos de razonamiento son válidos y cuáles no lo son. En el caso de la lógica formal, para realizar la comprobación de la validez de los razonamientos, contamos con procedimientos precisos, que estudiaremos en este apartado. Ejercicio: Formaliza los siguientes enunciados. Cojo la moto si y solamente si tengo que hacer un recado. Por las tardes, María y Pedro juegan al tenis o montan en bicicleta. Si estudio francés o inglés, iré de vacaciones a Francia o a Inglaterra. Si no me sale algún imprevisto, llegaré a las cinco. Compraré una radio y un televisor si y solamente si me hacen un descuento. Si luchamos contra la injusticia, nos sentimos bien sentimos despreciables. y si no lo hacemos, nos 7.1. Comprobación de la validez de los razonamientos amos a estudiar dos métodos para la comprobación de la validez de los razonamientos en la lógica de enunciados. El primero es el de las tablas de verdad y el segundo consiste en aplicar las reglas de inferencia a la deducción

8 para ver si las cumple, en cuyo caso sería una inferencia válida. A. Tablas de verdad Una tabla de verdad es un gráfico, construido mecánicamente, que muestra los posibles valores de verdad de un enunciado compuesto. Dichos valores se obtienen una vez que se ha determinado la verdad o falsedad de los enunciados simples que la integran. Ejemplos: (p v q ) -> \ p ; [p ^ (q r)] -> [(p ^ q) (p ^ r)] p q r (q r) (p ^ q) (p ^ r) [(p ^ q) (p F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F r)] F F F F F [p ^ (q r)] -> [(p ^ q) (p^ r)] Todos los valores de la última columna han resultado ser. Esto quiere decir que, sea cual sea el valor de verdad de los enunciados atómicos, se combinan entre sí de tal manera que la fórmula resultante siempre es verdadera. Si esto ocurre, la fórmula en cuestión se denomina tautología. Si el valor de verdad de la fórmula siempre es F, entonces, el enunciado es una contradicción, pues sea cual sea el valor de los enunciados integrantes, la forma que tienen de combinarse hace que la fórmula siempre sea falsa.

9 Si los valores de verdad de la fórmula principal varían dependiendo de la verdad de los enunciados integrantes, hablamos de indeterminación. Ejercicios: [(\p --> q) ^ (q --> r)]->(\p --> r) [(p ^ q) (r --> p)] --> (\p ^ \r) [p --> (q r)] <--> \[p --> (q v r)] Ejercicios: Pepe es contable o Pepe es actor. Si no es contable, no llevará bien las cuentas de su casa. Es seguro que Pepe es actor. En consecuencia, Pepe no llevará bien las cuentas de su casa. Si voy a tu casa, cenaremos muy tarde. Si no voy, me perderé el partido de fútbol de esta noche. Es seguro que o voy a tu casa o no voy. Por lo tanto, es seguro que o cenaré tarde o me perderé el partido de fútbol. Si sigues corriendo tanto, te caerás o te cansarás. Si te caes, no irás al campeonato. Seguro que no vas á dejar de correr tanto. Por lo tanto, seguro que mañana no irás al campeonato.b. Las reglas de inferencia Son reglas o instrucciones que nos permiten construir inferencias correctas o válidas. Constituyen otro de los procedimientos para comprobar la validez de un razonamiento. 1. Doble negación (DN) Negar dos veces algo equivale a afirmarlo. Y al revés, afirmar algo equivale a negarlo dos veces. Ejemplo: decir que es falso que alguien no está, es decir que está. \ \ A A 2. Introducción de la conjunción (IC) Si tenemos dos premisas, podemos concluir su conjunción; es decir, si tenemos por un lado «Hoy llueve» y por otro «Mañana saldrá el sol», podemos concluir «Hoy llueve y mañana saldrá el sol». A A B. B. A ^ B B ^ A

10 3. Eliminación de la conjunción (EC) Dada una conjunción como premisa, podemos concluir cualquiera de sus miembros; es decir, si tenemos como premisa «Mario vino a la fiesta y se comió todos los helados», podemos concluir cualquiera de las proposiciones: «Mario vino a la fiesta» y también «Mario se comió los helados. A ^ B A A ^ B B 4. Introducción de la disyunción (ID) Si tenemos una proposición como premisa, se le puede añadir disyuntivamente cualquier otra proposición y esa disyunción será verdadera; es decir, si tenemos como premisa «Madrid es la capital de España», podemos formar una disyunción verdadera con esta proposición y cualquier otra, por ejemplo: «Madrid es la capital de España o los gatos saben hablar». A A B 5. Silogismo disyuntivo (SD). Si tenemos como premisas una disyunción de dos miembros, y también, uno de esos miembros negado, podemos concluir la verdad del otro miembro. Por ejemplo, si tenemos como premisas estos dos enunciados: «Has escondido las llaves o las he perdido» y «No has escondido las llaves», puedo concluir con absoluta certeza que es verdad que «He perdido las llaves». A B \ A B 6. Regla del bicondicional (RB) A partir de un bicondicional, podemos extraer como conclusión un condicional. Así, por ejemplo, si tenemos el enunciado «amos al cine si y sólo si me compras palomitas», podemos concluir tanto «Si vamos al cine, me compras palomitas» como «Si me compras palomitas, vamos al cine». A <--> B A --> B A <--> B B --> A 7. Modus ponens (MP) Dado un condicional y su antecedente como premisas, podemos derivar como conclusión el consecuente de ese condicional. Por ejemplo, tenemos como premisas: «Si las vacas vuelan, el mundo se ha vuelto loco» y «Las vacas vuelan», entonces se deriva que «el mundo se ha vuelto loco».

11 A --> B A B 8. Modus tollens (MT). Dado un condicional y la negación del consecuente, tenemos también, la negación del antecedente. Así, con el condicional «Si los niños vienen de París, los niños hablan francés» y la afirmación «Los niños no hablan francés», podemos concluir que «Los niños no vienen de París». \ A A --> B \ B 9. Regla de transitividad (RT) Si A tiene como consecuente B, y B es condición de C, entonces puede concluirse que A es condición de C. Ej: Si corro, hago ejercicio; si hago ejercicio, gano en salud; luego si corro, gano en salud. A --> B B --> C A --> C 10. Regla del dilema (RD) Si en una disyunción cada uno de sus miembros tiene una consecuencia, podemos concluir la disyunción de las consecuencias. Ej: O miro o juego; si miro, como; si juego, sudaré; luego, o comeré o sudaré. A B A --> C B --> D C v D 11. Reglas de De Morgan (DM) Autorizan a pasar de la negación de una disyunción a la conjunción de cada uno de sus componentes negados. Análogamente ocurre con la conjunción. Así, por ejemplo, para la disyunción negada tenemos que, si «No es cierto que o vaya a la playa o a la montaña podemos concluir que «No iré a la playa y no iré a la montaña». Para la conjunción negada tenemos que, si «No es cierto que los pintores canten y los filósofos piensen», podemos concluir que «Los pintores no cantan o los filósofos no piensan». \ ( A v B ) \ ( A ^ B ) \ A ^ \ B \ A v \ BEjemplo de comprobación d e validez por reglas de inferencia:

12 Si el razonamiento que hemos de demostrar está expresado en lenguaje natural, el mecanismo es exactamente el mismo, sólo que antes de hacer la deducción hemos de formalizar la inferencia. Por ejemplo, tenemos el siguiente razonamiento en lenguaje natural: Mañana iré a tu fiesta de cumpleaños y al cine. Si no me dan la paga, no iré al cine. Si me dan la paga, te compraré un regalo. Por lo tanto, o te compraré un regalo, o no iré a tu fiesta de cumpleaños. Una vez formalizado el razonamiento, haremos la deducción siguiendo unos pasos: Buscar los datos ciertos (enunciados moleculares o conjunciones). La 4. Relacionarlos con una premisa en que se encuentren para hacer de término medio. La 2. Aplicar regla de inferencia y tomar como dato de enlace con otra premisa. Y así, hasta llegar a la conclusión. 1. \ r -> \ q 2 r -> s 3. q 4. r Prem. Prem. Prem. MT en s Mp en 2.4 Ejercicios: a. Invéntate razonamientos en lenguaje natural con los esquemas que te proponemos: p v q p --> q p <--> q p --> q \ (p v q) p <--> q \ (p v q) p --> r q v r q --> r q --> r q --> s r ^ s s --> q q v r p v s q --> r r --> p \ p p r ^ \ s s --> \ q r <--> s p --> \ s s --> r p p <--> q b. Formaliza las siguientes inferencias y demuestra mediante tablas de verdad y deducciones, que se trata de razonamientos correctos. s \ q Si estudias mucho, llegarás a director de orquesta. Estudias mucho si y solamente si tienes voluntad o te obligan tus padres. Tienes voluntad. Por lo tanto, llegarás a director de orquesta. Siempre llegas a final de mes. Si eres generoso, no llegas a final de mes. Eres nuevo en la ciudad o tienes muchos amigos. Tienes muchos amigos si y

13 solamente si eres generoso. Luego eres nuevo en la ciudad. Las ranas croan y los sapos no cantan. Si esto fuese un cuento, los sapos cantarían. Esto es un cuento o estoy soñando. Si estoy soñando y las ranas croan, entonces todo es posible. Así que todo es posible.