PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Calcula lim siendo ln la función logaritmo neperiano. ln MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. ln 0 0 lim lim lim = = = = = = ln ( ) ln 0 ln + ( ) 0 + lim + = = = ln + +

3 si < 0 Sea la función f : definida por f( ) = 3 si 0 a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función, luego, lo es para < 0. La función 3 es continua y derivable en, luego, lo es para 0. Vamos a estudiar, por tanto, la continuidad y derivabilidad en = 0. es continua y derivable en { } ) f (0) = lim = 0 ) lim f( ) = 0 lim 3 = + 0 3) f(0) = lim f( ) = 0 La función es continua en = 0. si < 0 La función derivada es: f '( ) = ( ) 3 si 0 f '(0 ) = + f '(0 ) f '(0 ) + No derivable en = 0 f '(0 ) = 3 b) La función no tiene asíntota vertical para 0 <. lim = = 0 y = 0 es una asíntota horizontal. La función 3 como es polinómica, no tiene asíntotas. Igualamos la derivada a cero para calcular los máimos y mínimos. ( ) = 0 3 No tiene solución. 3= 0 = 3 3 0,, Signo y ' + Función D C

4 3 3 Luego, tiene un mínimo en, 4 c) Hacemos un esbozo de la función.

5 3 Sea f : la función definida por f ( ) = a + b + c+ d. Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica: - El punto (0,) es un punto de infleión de la gráfica de f. - f tiene un mínimo local en el punto de abscisa =. - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene de pendiente. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. La función será: 3 f ( ) a b c d = Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) = 3a + b+ c ; f ''( ) = 6a+ b - El punto (0,) es un punto de infleión de la gráfica de f 3 Pasa por (0,) a 0 + b 0 + c 0+ d = f ''(0) = 0 6a 0 + b= 0 - f tiene un mínimo local en el punto de abscisa = f '() = 0 3a + b + c= 0. - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene de pendiente f = a + b + c= '() 3 Resolviendo el sistema resulta: a= b= c= d = f = ; 0 ; ; ( )

6 Se divide el segmento de longitud L = 0 cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. y y a) Función que queremos que sea mínimo: min = + S y b) Relación entre las variables: 0 3y 4+ 6y = 0 = c) Epresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable: 0 3y 7y 60y+ 00 Smin = + y = + y = 4 d) Derivamos e igualamos a cero 34y S' min = = 0 y = = e) Calculamos la ª derivada: S '' min = > 0 mínimo 4 Luego, el cuadrado tiene de lado base 60 7 cm = = cm y el rectángulo tiene de altura cm y de

7 Sea f : la función definida por f( ) = 3. a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Lo primero que hacemos es abrir la función: f( ) = 3 = 3 + si < si La función es continua en = 3. Vamos a estudiar si es derivable en = si < 3 + f '( ) = f '(3 ) = 9 f '( 3 ) = si > 3 Luego, la función es derivable en { 3}. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero si < 3 f '( ) = f ' = 0 = 0 ; = 3 6 si > 3 (,0) ( 0, ) (,3 ) ( 3, ) Signo f ' + + Función D C D C mínimo (0,0) Máimo (,4) Pico(3,0) No derivable en = 3.

8 ( Ln) si Sea f : (, + ) la función dada por f( ) = ( ) a si = a) Sabiendo que f es continua, calcula a. b) Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que eista, determina su ecuación. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) + + lim = = lim = = lim = = (ln ) ln ln (ln ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 Como es continua se cumple que f() = a= lim f( ) = a= b) + + = = = = = ( ) ( ) (ln ) ln ln (ln ) lim lim lim (ln + ) 0 = lim = = lim = = 0 Luego, la recta y = 0 es la asíntota horizontal.

9 Se sabe que la función f : definida como + b+ si f( ) =. a 5 + a si > Es derivable. Determina los valores de a y b. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. Si la función es derivable en =, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: + b+ = b b = 3a 5 + = lim lim a 5 a 3a 5 + Calculamos la función derivada: f + b si '( ) = a 5 si > Como es derivable en =, se cumple que: f f '( ) = + b b a 5 b a = = '( ) = a 5 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos: b = 3a 5 a = ; b = b= a 3

10 Se sabe que la función f : definida por 3 f ( ) = a + b + c+ d tiene etremos relativos en (0,0) y en (,). Calcula a, b, c y d. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. La función será: = Calculamos su derivada primera y segunda: 3 f ( ) a b c d = + + = + f '( ) 3a b c ; f ''( ) 6a b - Etremo relativo en (0,0) - Etremo relativo en (,) Pasa por a + b + c + d = f '(0) = 0 3a 0 + b 0 + c= 0 3 (0,0) Pasa por a + b + c + d = f '() = 0 3a + b + c= 0 3 (,) Resolviendo el sistema resulta: 3 3 a= ; b= ; c= 0 ; d = 0 f( ) = + 3

11 Sea f : la función definida por f ( ) = + e. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los etremos relativos o locales de f. b) Determina las asíntotas de la gráfica de f. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) = e = 0 = 0 ; e = 0 = 0 e (,0) ( 0, ) Signo f ' + Función D C mínimo (0,) b) El dominio de la función f() es. Asíntotas Verticales: No tiene Asíntotas Horizontales: lim + = + No tiene; lim + = No tiene e e Asíntota oblicua: y = m + n + e e m = lim = lim + = ; lim n= e lim( e ) 0 + = = Luego, la asíntota oblicua es y = c)

12 De todos los triángulos cuya base y altura suman 0 cm qué base tiene el de área máima?. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. h b a) Función que queremos que sea máimo: S ma bh = b) Relación entre las variables: b+ h= 0 b= 0 h c) Epresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable: d) Derivamos e igualamos a cero S ma (0 h) h 0h h = = 0 h S' ma= = 0 h= 0 e) Calculamos la ª derivada: S '' ma= < 0 máimo Luego, la base mide 0 cm

13 Se considera la función f :, [ ) + definida por f ( ) = +. Determina la asíntota de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A + m = lim = lim + = lim + = ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) n= lim + = lim = = lim = lim = lim = = = lim = + + Luego, la asíntota oblicua es: y =

14 De entre todos los rectángulos cuya área mide 6 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B d y a) Función que queremos que sea mínimo: d = + y min b) Relación entre las variables: 6 y = 6 y = c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. d) Derivamos e igualamos a cero: d min = + = 4 5 d' min = = 0 = Luego, es un cuadrado de lado = 4 cm ; y = 4cm