PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 3 5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible MATEMÁTICAS II. 05. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. y a) Función que queremos que sea máimo es: S 4 y b) Relación entre las variables: 3'5 y 3'5 y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. 3'5 54 S 4y 4 d) Derivamos e igualamos a cero ' S e) Comprobamos que corresponde a un mínimo ( 54) S '' S ''( 3) 6 0 Mínimo Luego, las dimensiones del depósito son: 3 m ; y '5 m

3 Sabiendo que a b lim 0 sen( ) cos( ) es finito e igual a, calcula los valores de a y b. MATEMÁTICAS II. 05. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a b cos( ) 0 lim 0 sen( ) 0 Aplicamos la regla de L Hopital lim a b a b sen b cos( ) lim sen( ) 0 cos Como dice que es finito, entonces, b 0 y podemos seguir aplicando la regla de L Hopital. a b cos( ) 0 a b sen 0 b 0 0 a cos a lim lim lim sen( ) 0 cos 0 0 cos sen a a Luego, los valores son: a ; b 0

4 Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 0 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máima que puede vallarse con euros. MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea máimo: S ma y b) Relación entre las variables: y y 0 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. d) Derivamos e igualamos a cero e) Comprobamos que es un máimo S ma y S ' ma 0 60 m S ''( ) 9 S ''(60) 9 0 máimo Luego, las dimensiones son: 60 m ; y 70m

5 Determina a y b sabiendo que y que la función definida como es derivable. (ln denota la función logaritmo neperiano). MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Si la función es derivable en 0, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: lim a cos a b a b a b 0 lim ln( ) 0 a sen si 0 Calculamos la función derivada: f '( ) b a si 0 ( ) Como es derivable en 0, se cumple que: f '(0 ) a b f '(0 ) a b Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: a a b b b b ; b b Como nos dicen que b 0, entonces los valores pedidos son: ab

6 Halla a y b sabiendo que es continua la función f : definida como cos( ) ae si 0 f( ) b si 0 MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Como la función es continua, estudiamos la continuidad en 0 - f(0) b cos ae a - lim Como el limite debe eistir, ya que es continua, el numerador 0 0 debe valer cero para poder aplicar la regla de L Hôpital, luego a 0 a. Aplicamos la regla de L Hôpital para calcular el valor del límite cos e 0 sen e 0 cos e lim lim lim Por lo tanto: lim f ( ) f (0) b b. 0 Luego, a ; b

7 Sea la función definida por. a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente es horizontal. c) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. 3 a) La función f( ), no tiene asíntota vertical ya que no hay ningún valor de que e anule el denominador. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal 3 3 lim lim lim 0 e e e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y 0 cuando. lim f ( ) lim f ( ) lim (( ) 3( ) ( ) ) e lim ( 3 ) e ( ) ( ) Por lo tanto, no tiene asíntota horizontal cuando. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: ( 3) e ( 3 ) e y ' 0 ; ( e ) e (, ) (,) (, ) Signo y ' + Función D C D mínimo (, e ) Máimo (,5 e ) Luego, los puntos donde la tangente es horizontal son: (, e ) y (,5 e ). c) La ecuación de la recta tangente en 0 es y f (0) f '(0) ( 0) f (0) f '(0) Luego la recta tangente en 0 es y ( 0) y

8 e Sea f la función definida por f( ) para. a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de f. MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) El dominio de la función f() es Asíntotas Verticales: La recta es una asíntota vertical ya que lim f( ) e e Asíntotas Horizontales: lim f( ) lim No tiene e lim f ( ) 0 y 0 Luego, y = 0 es una asíntota horizontal cuando Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua. e ( ) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y' 0 ( ) (,) (,) (,) Signo y ' + Función D D C No eiste mínimo (, e )

9 Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible. MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. y a) Función que queremos que sea máimo: V y b) Relación entre las variables: 60 y 4 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. ma V ma y (60 4 ) d) Derivamos e igualamos a cero V ' ; 0 e) Comprobamos que es un máimo. V '' 0 4 V ''( 0) Máimo Luego, las dimensiones son: 0 cm ; y 0cm

10 Sea f : la función dada por 3 f ( ) a b c d. Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un etremo local en el punto de abscisa 0, que (,0) es punto de infleión de la gráfica de f y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es 3. MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. La función será: 3 f ( ) a b c d. Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) 3a b c ; f ''( ) 6a b - f tiene un mínimo local en el punto de abscisa f a b c c 0 '(0) El punto (,0) es un punto de infleión de la gráfica de f Pasa por a b c d a b d f ''() 0 6a b 0 6a b 0 3 (, 0) La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene de pendiente 3 f a b c a b '() Resolviendo el sistema resulta: a b c d f 3 ; 3 ; 0 ; ( ) 3

11 Sea la función definida por. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 05. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) f ( ) si si 0 0 Las funciones y por ser polinómicas son continuas y derivables en. En el único punto donde puede haber problemas es en 0, que es el punto donde cambiamos de una a otra. Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en 0 Veamos la continuidad de f ( ) en 0 : ) f (0) 0 ) 3) lim ( ) 0 f 0 lim ( ) 0 lim ( ) f (0) lim f ( ) 0 0 Por lo tanto, la función es continua en 0 Estudiamos ya la derivabilidad de f ( ), en particular en 0 si 0 f '( ) si 0 f '(0 ) f '(0 ) f '(0 ) No derivable f '(0 ) b y c) Igualamos a cero la primera derivada: 0 0,,0 0,, Signo y ' + + Función D C D C m, Pico (0,0) m, 4 4

12 a b Halla los valores de a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f( ) tiene una c asíntota vertical en, una asíntota oblicua de pendiente, y un etremo local de abscisa 3. MATEMÁTICAS II. 05. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Las asíntotas verticales son los valores que anulan el denominador, luego: c 0 c 0 c. Como f tiene una asíntota oblicua con pendiente, tenemos que: f ( ) a b a a lim lim lim lim a Calculamos la derivada de b f( ) f '( ) 4 ( ) ( b) ( ) Como tiene un etremo local en 3 f '(3) 0, luego: b b b f '( ) f '(3) 0 0 b 6 4 ( ) ( ) 4 3 (3 ) ( 3 ) 4 8 ( ) (3 ) 4 Luego, los valores son: a ; b 6 ; c

13 Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener m para producir suficiente pasto para su ganado. Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al rio no necesita vallado?. MATEMÁTICAS II. 05. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea mínima: Pmin y b) Relación entre las variables: y y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable Pmin y d) Derivamos e igualamos a cero P' min e) Comprobamos que corresponde a un máimo P '' P ''( 600) 0 Mínimo Luego, las dimensiones son: m ; y 300 m