PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 De la función f : (, ) se sabe que f '( x) ( x ) y que f (). a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por (,). MATEMÁTICAS II. 4. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos f ( x ). ( x ) f ( x) dx ( x ) dx C ( x) x Como queremos que pase por el punto (,), tenemos: f () C C Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: f( x) x b) Calculamos una primitiva de f ( x ). F( x) dx ln( x ) x C x Como queremos que pase por el punto (,), tenemos: F() ln( ) C C Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: F( x) ln( x ) x

3 Determina b sabiendo que b y que el área de la región limitada por la curva y x y la recta y bx es igual a 9. MATEMÁTICAS II. 4. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones. y x y bx x bx x ; x b b b bx x b 9 ( ) A bx x dx b 6

4 Calcula dx x x MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos las raíces del denominador: x x x x ; Descomponemos en fracciones simples: A B A( x ) B( x ) ( )( ) x x x x x x Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. x 4A A 4 x 4B B 4 Con lo cual: ln ln ( ) ln ( ) dx dx dx x x x x 4 x 4 x 4 4

5 Sea f : la función definida por f ( x) ( x ) e gráfica pasa por el punto(, e ). MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. x. Calcula la primitiva de f cuya Calculamos la integral, que es una integral por partes. u x ; du dx x dv e dx; v e x ( ) ( ) ( ) 4 x x x x x x e dx x e e dx x e e C Calculamos una primitiva que pase por el punto (, e ). 5 e ( ) e e C C e 4 4 Luego, la primitiva que nos piden es: 5 F( x) ( x ) e e e 4 4 x x

6 Considera la integral definida I 9 a) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables x t. b) Calcula I. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. x dx x t x ( t ) dx ( t ) dt Calculamos los nuevos límites de integración: x t x 9 t 4 Con lo cual: 4 4 t 4 I dt dt t ln t) 4 ln t t

7 Sea f : la función definida por f ( x) x x. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada y, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) x x x x x ; x f '() f '( x) x f '() Luego: P(,) x 7 y ( x ) y f '() m b) x 7 x x x 4x 4 x 8 A dx dx x 4x u 9

8 Considera las funciones f : (, ) y g : definidas, respectivamente, por f ( x) Ln x y gx ( ) x siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el área del recinto limitado por las rectas x y x y las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. x x A ln x dx x ln x x x ln u ln ln

9 Determina b sabiendo que b > y que el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y x b y los ejes coordenados es igual a 8. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. x 6bx 9b y x b 9 Vértice 6b b 9 b ( b,) a 9 b b x 6bx 9b x 6bx 7b 54b A dx b x b b b 9

10 Considera la función f : definida por f ( x) x x. a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante. b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Abrimos la función: f ( x) x si x x x x si x b) x x A x x dx u

11 x x Considera la función f : definida por f ( x) e 4e. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x y x. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. y e e e x x x x ' 4 4 ln (,ln ) (ln, ) Signo y ' + Función D C mínimo (ln, 4) No tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto coincide con el mínimo relativo. b) x x x x 4 A e 4e dx e 4e e u e

12 Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada. MATEMÁTICAS II. 4. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. A ln x dx x ln x x (ln ) (ln ) ln Área del rectángulo = base x altura = ln Área pedida = Área del rectángulo A ln (ln ) u

13 Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y x y por las curvas x e y. MATEMÁTICAS II. 4. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. y x 4 4 x x x x x Área x dx x dx x u 6 6 6