LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Transcripción

1 LA INTEGRAL DEFINIDA 001. Calcula la integral de f() =, en el intervalo [1, ] 00. Calcula 0 ( + ) d LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS 01 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcula el área limitada por la función y = +, el eje OX, en el intervalo [0, ]. 0 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcula el área limitada por la función y = 9 y el eje OX. 0 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcular el área encerrada por la función y = 1, la recta =, la recta = y el eje OX. 0 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcula el área del recinto limitado por la curva y =, y la recta y = + 05 ACTIVIDAD PROPUESTA Calcula el área del recinto limitada por las guientes parábolas: y = e y = ACTIVIDAD PROPUESTA Dibuja el recinto limitado, por arriba, por la recta y = +, por debajo y = + 16 y por las rectas = y =. Calcula mediante técnicas de integración el área de dicho recinto. 07 ACTIVIDAD PROPUESTA Dada la función: f() = 0 0 < 0 0 < 6 > 6 Hallar el área limitada por la función f(), el eje OX, en el intervalo [ 1, 5] 08 ACTIVIDAD PROPUESTA Dada la función: f() = (a) Representa gráficamente la función. 1 (b) Halla el valor de la guiente integral definida 1 < 0 0 f() d (c) Calcula el área encerrada por f() y el eje OX, en el intervalo [ 1, ]. 09 ACTIVIDAD PROPUESTA Un agricultor tiene una parcela de terreno, uno de cuyos límites es la curva f() dada por: 1/ ( ) 0 f() = > 0 0 Otro límite está tuado sobre el eje de abscisas a partir del punto de corte de f() y tiene una longitud de 80 m. en sentido potivo. El tercer límite de la parcela está sobre la recta que une los puntos (50, 0) y (50, 5). (a) Representa gráficamente la parcela. Abel Martín 1

2 Integrales indefinidas. Aplicaciones. (b) Si se divide el terreno en dos partes trazando la perpendicular al eje de abscisas en el punto (0, 0), para dedicar la más grande a cultivar cereales y la otra patatas, halla por medio del cálculo integral la superficie que dedica a cada cultivo. (c) Enuncia la regla de Barrow. 10 PAU Univerdad de Oviedo Propuesta de eamen 199 Sea f () una función continua en el intervalo [a, b]. (a) Eplicar la relación que debe guardar otra función ϕ() con f() para que se verifique la guiente igualdad: a b f () d = ϕ(b) ϕ(a) (b) Aplicar el resultado anterior para calcular la integral de la función f() = + en el intervalo [0, ]. 11 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 199 Sea f() una función continua en cierto intervalo [a, b]. (a) Eplica el enunciado de la regla de Barrow y su aplicación. (b) Sea f () = 6, justificar cuál de las guientes funciones: U () = + ; V () = es primitiva de la anterior. (c) Calcular 0 ( 6 ) d (d*) Calcula el área encerrada por la función y = 6, el eje OX, en el intervalo [0, ]. 1 PAU Univerdad de Oviedo Junio 1995 (a)enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación. (b) Sea F() = + a + b; calcular a y b sabiendo que: (b1) el punto (1, ) pertenece a la gráfica de F(). (b) F() es función primitiva de cierta función f() cuya integral en el intervalo [1, ] es igual a PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 1995 (a) Eplica el concepto de función primitiva. (b) Sea f() = e + 8, justifica es primitiva de alguna de las guientes funciones: g() = e + 8 h() = e (c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular: 0 1 (e ) d (d) Calcula el área encerrada por la función y = e, el eje OX, en el intervalo [0, 1]. 1 PAU Univerdad de Oviedo Junio 1996 Dada la función f() = ( + 1) ( ): (a) Calcula una primitiva de f(). (b) Justifica que la función F() = + + no es primitiva de f(). (c) Enuncia la regla de Barrow y calcula 1 0 ( + 1) ( ) d (d) Calcula el área encerrada por la función ( + 1) ( ), el eje OX, en el intervalo [0, 1] 15 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 1996 (a) Eplicar el concepto de función primitiva. (b) Dada la función F() = a + b, determinar los valores de a y b para que se verifique que F() es primitiva de una función f() con las guientes características: (b1) f() pasa por el punto (1, 9) (b) El área entre la curva f() y el eje de abscisas en el intervalo [0, 1] vale PAU Univerdad de Oviedo Junio 1997 (a) Enunciar la regla de Barrow. (b) Dada la función f () = a + b + c; calcular los valores de a, b y c sabiendo que: Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

3 (i) F() = + c es una primitiva de f (); (ii) la integral de f () en el intervalo [0, 1] es igual a PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 1997 Dada la función f() = + : (a) Calcula una primitiva de f(). (b) Enuncia la regla de Barrow y aplicarla para obtener la integral de f() en el intervalo [1, ]. (c) Calcula el área encerrada por la función y = + /, el eje OX, en el intervalo [1, ]. 18 PAU Univerdad de Oviedo Junio 1998 a Dada la función f () = +, donde a es una constante, (a) Encontrar una primitiva de f. (b) Si F es una primitiva de f, puede serlo también G() = F() +? (c) Encontrar a sabiendo que 1 f() d = PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 1998 Dada la función f() = e + a, donde a es una constante, (a) Justificar las guientes funciones son o no primitivas de f: F1() = e + a F() = e + a (b) Encontrar "a" sabiendo que 0 1 f () d = e 0 PAU Univerdad de Oviedo Junio 1999 Dada la función f() = a e / 1 + (a) Encontrar 1 f() d en función de a., ( 0), donde "a" es una constante, (b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a F(1) = 0 y F() = 1/ 1 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 1999 Dada la función f() = e / (a) Calcular una primitiva de f. (b) Calcular 0 f() d (c) Si F y G son primitivas de f, y H = F G, es poble que la derivada de H sea la función? PAU Univerdad de Oviedo Junio 000 LOGSE Enuncie la Regla de Barrow y aplíquela a la función f() = e ( + 1) en el intervalo [0, 1]. PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 000 LOGSE Determine la función primitiva y el área bajo la curva, en el intervalo [1, e], de la función f() = Ln (). PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 000 SELECTIVIDAD Dada la función f() = a e + b, donde a y b son constantes, 5 1 (a) Encuentra a y b sabiendo que la derivada de f en el 1 vale e, y que además: 0 1 f() d = (e 1/ 1) (b) Encuentra, eisten, primitivas de f tales que su diferencia valga 7. Abel Martín

4 Integrales indefinidas. Aplicaciones. 5 PAU Univerdad de Oviedo Junio 001 LOGSE Sea f() = + b donde "b" es una constante. (a) Encuentra "b" sabiendo que hay una primitiva F de f con F(0) = y F() = 0. Encuentra también la epreón de F. (b) Dibuja la curva f() cuando b = 1 y halla el área delimitada por dicha curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa = 0 y =. 6 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 001 ( ) Dada la función f() = ( + a) e, donde a es una constante, (a) Encuentra una primitiva de f (b) Calcula a sabiendo que no es primitiva de f. +1 ( ) f () d = 8. Justificar que, para ese valor de "a", e +1 7 PAU Univerdad de Oviedo Junio 00 Dada la función f() = a a ( > 0), donde "a" es una constante, (a) Encuentra el valor de "a" sabiendo que cierta función F es una primitiva de f y verifica que F (1) = 6 y F() =. (b) Dibuja la función f() para el valor de "a" obtenido en el apartado anterior y encuentra también en ese caso el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y =. 8 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 00 Dada la función f() = 7 + a (a) Encuentra una primitiva de f. e, donde "a" es una constante, (b) Si a = 0, dibuja la función f para 0 y encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre = y =. 9 PAU Univerdad de Oviedo Junio 00 (a) Dada la función f() = 5 a + ( 0), donde a es una constante, encuentra una primitiva de f. Posteriormente, encuentra a para que f ' es la derivada de f, entonces f ' (1) =. (b) Dibuja la función f() = 5, y h alla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa = 1 y = 6. 0 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 00 7 ( + 1) (a) Encuentra la primitiva de la función f() = + e ( > 0) que en el valga (b) Dibuja la función f() = 7 ( > ) 0 y encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y = 5. 1 PAU Univerdad de Oviedo Junio 00 (a) Encuentra la primitiva de la función f() = 7 + e 1 que en el 1 valga (b) Dibuja la función f() = 7 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = y = 5. Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

5 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 00 (a) Dada la función f() = a +, encuentra a para que f ' es la derivada de f, entonces f ' ( 1) = 10. (b) Dibuja la función f() =. Encuentra el área limitada por la curva y el eje X, entre = 1 y =. PAU Univerdad de Oviedo Junio 005 Dada la función f() = + ( > 0) (a) Encuentra la primitiva de f que en el valga 5. (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa = 1 y =. PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 005 (a) Encuentra f ' () donde f ' es la derivada de la función f dada por f() = ( 0). (b) Dibuja la función f() = 8 1 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y =. 5 PAU Univerdad de Oviedo Junio 006 Si f ' es la derivada de la función dada por f() = ( 0), (a) calcula f ' ( 0.5). (b) Dibuja la función f() = y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = y =. 6 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 006 Dada la función f() = 81, (a) Si f ' representa la derivada de f, encontrar una primitiva F de f verificando que F() = f ' (5). (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre = y =. 7 PAU Univerdad de Oviedo Junio 007 (a) Encuentra f ' ( ) donde f ' es la derivada de la función f dada por f() = + ( 0). (b) Dibuja la función f() = y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = y = 5. (c)* Dada la función f() =. Estudia la monotonía y haz un esbozo de la función. 8 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 007 Sea la función f() = Si f representa su derivada, (a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(6) = f (6) (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre = y =.5 9 PAU Univerdad de Oviedo Junio 008 (a) Si f es la derivada de la función dada por f() = 6 + ( 0), calcula f ( ). Abel Martín 5

6 Integrales indefinidas. Aplicaciones. (b) Dibuja la función f() = = 6. Obtén el área que limitan la curva y el eje X entre = y =. 0 PAU Univerdad de Oviedo Septiembre 008 Sea la función f() = 6. Si f representa su derivada, (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = f () (b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y =. 1 PAU Univerdad de Oviedo Junio 009 a Dada la función f() = + ( > 0), donde a es una constante, (a) Si se supiera que f () = 1, donde f es la derivada de f, cuánto valdría a? (b) Dibuja la función f a = 16 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = y =. PAU Univerdad de Oviedo Septiembre Dada la función f() = 5 + ( > 0). Si f representa su derivada, (a) Calcula f () (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y =. PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción B junio 010 Dada la función f() =. (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 0. entre = 1 y = 7.. PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción B Junio 010 Dada la función f() = 1 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 10. (b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 0 y =. 5. PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción B septiembre 010 Dada la función f() = + 1. (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 10. (b) Representa gráficamente la función f() y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = y = PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción A septiembre 010 Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 100. (b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y =. (c*) Calcula 1 ( ) d 7. PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción A junio 011 Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 10. entre = y =. 6 Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

7 8. PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción A junio 011 Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 10. entre = y = PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción A septiembre 011 Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 0. entre = 0 y =. 50. PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción B septiembre Dada la función f() = 1 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) =. entre = 1 y =. 51. PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = entre = y = PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN + Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = entre = y = PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN Dada la función f() = + 1 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 1 entre = 0 y =. 5. PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 5 entre = 0 y =. 55. PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 5 (b) Representa gráficamente la función f (c) Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 0 y =. 56. PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción B junio 01 Dada la función f() = 1. Abel Martín 7

8 Integrales indefinidas. Aplicaciones. (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 1. entre = y =. (c*) Calcula ( 1) d 57. PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción A Junio 01 Dada la función f() = 5 (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() =. entre = y = PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción B julio 01 Dada la función f() =, se pide: (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(0) =. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva f y el eje X entre = 0 y =. 59. PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción A julio 01 Dada la función f() =, se pide: (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 5. entre = 1 y =. 60 PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción A junio 01 Dada la función f() = (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 0. (b) Dibuja la gráfica de la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 0 y =. 61. PAU Univerdad de Oviedo Fase ESPECÍFICA OPCIÓN A JUNIO 01 Dada la función f() = e /, se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) =. entre = 0 y = PAU Univerdad de Oviedo Fase ESPECÍFICA OPCIÓN A JULIO 01 Dada la función f() = 8, se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F() = 9. entre = 1 y =. 6. PAU Univerdad de Oviedo Fase GENERAL OPCIÓN B JULIO 01 Dada la función f() = /, se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) =. entre = e y = e. 6. PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN Dada la función f() = -/, se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) =. 8 Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.

9 entre = e y = 65 PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN Dada la función f() = e /, se pide: (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) =. entre = 0 y = PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción B junio 01 9 Dada la función f() = 1 ( + ) se pide (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 1 (b) Dibuja la gráfica de la función f en el intervalo [ 1, ) y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre = 0 y = PAU Univerdad de Oviedo Fase ESPECÍFICA Opción A junio 01 1 Dada la función f() =, se pide: 1 (a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(5) = 1. entre = y = PAU Univerdad de Oviedo Fase General Opción A julio 01 Dada la función f() = + a se pide (a) Encuentra el valor de a que verifica que F(1) = y F() =, donde F denota una primitiva de f (b) Suponiendo que a =, representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre = 1 y = PAU Univerdad de Oviedo Fase Específica Opción A julio 01 Dada la función f() = ( 1) ( 5) se pide (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F() = 1 entre = 0 y =. Abel Martín 9