a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

Transcripción

1 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se indican y di si las funciones son crecientes o decrecientes en dico punto. b) g() en a) f() ( ) b) f() c) () en a) f () 8 0 f es creciente en. b) g () 0 g es decreciente en. d) i() en Observa la gráfica de la función f() y di qué valor tienen, aproimadamente: e) j() en a) f(0) c) f (0) f) k() en b) si f() 0 d) f () a) f () 6 d) i () b) g () e) j () c) () f) k () Si eiste la derivada de una función en un punto, esta es una función o un número real? La derivada de una función en un punto es un número real. Si en un punto la recta tangente a la función f() es paralela al eje de abscisas, qué ocurre con la derivada en ese punto? Si la recta tangente es paralela al eje de abscisas, la derivada es nula. Teniendo en cuenta la gráfica, indica cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta: a) f(a) 0 b) f(a) no eiste c) f() es continua en a 8 6 a) f(0) c) f (0) 0 b), d) f () Observa la representación gráfica de f(): f(). 6 O X O 6 7 X Determina: 0 a X La afirmación incorrecta es que f (a) 0, ya que, dado que a es un punto anguloso de la función, f (a) no eiste. En qué punto no es derivable la función f()? La función f() es una función continua en, cuya epresión se puede desdoblar del siguiente modo: si f() si es el punto de unión de los dos trozos, por lo que, para calcular la derivada en este punto, es preciso calcular sus derivadas laterales: f () lim f( ) f() lim ( ) 0 lim f () lim f( ) f() lim 0 lim La función no es derivable en el punto, ya que, en este punto, las derivadas laterales no coinciden. Por tanto, / f (). a) f (0) b) Qué relación eiste entre f () y f ()? a) f (0) 0 b) f () y f () son iguales pero de signo contrario. Dada la representación gráfica de f() : 6 O X Determina: a) Los puntos de derivada nula. b) Los intervalos de derivada positiva y los intervalos de derivada negativa. a) f () 0 0, b) En (, 0) (, ) la derivada es positiva, en (0, ) la derivada es negativa. 0 Análisis

2 Dadas las representaciones gráficas de las funciones f() y g() : 9 Di en qué punto no es derivable la siguiente función definida a trozos: f() si si g() 6 Indica, a partir del gráfico, cuál es más rápidamente creciente en. Es más rápidamente creciente la función f(), puesto que su recta tangente tiene una pendiente mayor. A partir de la gráfica de la función f(), y de las de las tangentes en, 0 y, calcula f (), f (0) y f (). f () 0 f (0) 6 O X f() 6 6 O X f() f () 7 Averigua en qué puntos no es derivable la siguiente función: f() Dado que ( ) ( ), en los puntos y en la función no será derivable. si f() si [, ] si f () f () / f () f () f () / f () 8 Eplica por qué no es derivable en 0 la siguiente función: f() si 0 si 0 Porque f() no es continua en 0. f(0) lim f() lim ( ) 0 0 lim f() lim ( ) / lim f() La función está definida a trozos, es continua puesto que f() 8 y los límites laterales, cuando tiende a, son iguales y valen 8, y la derivada eiste en todo punto de {}. En el punto, que es el punto de unión de los dos trozos, debe calcularse la derivada, si eiste, buscando el valor de las derivadas laterales: f () lim f( ) f() lim ( ) (6 ) lim lim 0 lim (6 ) 0 f () lim f( ) f() lim ( ) 8 0 lim 8 8 lim 8 8 Dado que las derivadas laterales no coinciden, / f (). Es aconsejable que los alumnos realicen la representación gráfica para que constaten que se trata de un punto anguloso. 0 Dadas las siguientes funciones, indica en qué puntos no son derivables. Razona por qué. a) f() b) f() c) f() si 0 si 0 d) f() si 0 si 0 a) En Porque f() si si y las derivadas laterales en no son iguales: por la izquierda es y por la dereca,. También se puede razonar que en ay un punto anguloso, un «pico», y la función no tiene una variación suave. b) En y en Porque f() y las si si si derivadas laterales en y en no son iguales: En, por la izquierda es, y por la dereca es. En, por la izquierda es, y por la dereca es. También se puede razonar que en y en ay puntos angulosos, «picos», y la función no tiene una variación suave. c) En 0 la función no es continua, por lo que no es derivable en este punto. d) La función es continua en 0, pero no es derivable, porque las derivadas laterales no son iguales en 0: por la izquierda la derivada es, por la dereca la derivada es 0. Se puede razonar a partir de la representación gráfica de la función. Dada la siguiente función: f() Calcula la ecuación de la recta tangente en. Dom f {}, luego f() no tiene recta tangente en.. Derivadas

3 Función derivada Es lo mismo derivada de una función en un punto que función derivada? No, la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente a esta función en este punto, y la función derivada es aquella aplicación que asocia a cada valor de el valor de la derivada de la función en. Si la función f() es continua en, es derivable también en? Si la función f() es continua en no tiene por qué ser derivable. Lo contrario sí que es cierto. Calcula la función derivada de estas funciones: a) f() b) f() ( ) c) f() d) f() 9 e) f() f) f() g) f() ) f() 7 i) f() 6 j) f() k) f() l) f() m) f() n) f() ñ) f() o) f() p) f() q) f() ln 7 r) f() s) f() ( 6) t) f() u) f() ( ) v) f() w) f() ) f() y) f() z) f() a) f () b) f () c) f () d) f () 6 8 e) f () f) f () 9 g) f () ) f () 7 i) f () j) f () 9 k) f () l) f () 9 m) f () n) f () 7 ñ) f () 8 6 o) f () p) f () q) f () 7 r) f () s) f () 7 t) f () 9 u) f () 9 6 v) f () w) f () ) f () y) f () 0 z) f () Calcula la función derivada de estas funciones: a) f() b) f() ( ) e c) f() e Análisis

4 d) f() ( ) ( ) e) f() f) f() g) f() ) f() e i) f() e e j) f() se n cos sen k) f() sen l) f() ( ) m) f() e e n) f() se n ñ) f() ln o) f() p) f() e q) f() sen r) f() s) f() e t) f() e u) f() ln sen v) f() e w) f() ) f() ln y) f() e cos a) f () b) f () e ( ) c) f () e d) f () 0 6 e) f () ( ) f) f () 6 ( ) 6 j) f () cos sen ( sen ) k) f () (sen cos ) 6 l) f () ( ) m) f () e n) f () co s ñ) f () ln o) f () ( ) p) f () ( ) e q) f () cos sen r) f () ( ) s) f () ( e e ) t) f () e ( ln ) u) f () ln cos se n v) f () e w) f () ( ln ) ) f () ln y) f () e (cos sen ) Obtén, a partir de las gráficas de las funciones, las de sus funciones derivadas: a) b) f () O O g() f() 6 7 X X g) f () ) f () e ( ) e i) f () (e ) O f () X. Derivadas

5 Aplicaciones de la derivada Calcula cuál de estas funciones es más rápidamente creciente para : f() 6 0 g() Para saber cuál es más rápidamente creciente para, deberemos allar el valor de la derivada de las dos funciones para : f () f () 6 g () 8 g () 80 Tiene la derivada mayor g(), por tanto, esta es la función más rápidamente creciente. Dada la función f() a, calcula el valor de a para que f () 9. Se calcula, en primer lugar, la derivada de la función: f () a En tenemos: f () a Si f () 9, entonces: 9 a a 6 La función s(t) 0 t epresa el espacio que recorre un cuerpo en caída libre en función del tiempo, donde s se mide en metros y t en segundos. Calcula la velocidad media de la caída y la velocidad instantánea en t s y en el momento de llegar al suelo. v m 0 m/s v() 0 m/s v6 06 m/s Los signos negativos indican que en el sistema de referencia la caída tiene velocidad negativa. Calcula la ecuación correspondiente a la recta tangente a la función f() 7 7 en el punto de abscisa. f() 7 7 f () En el punto de abscisa, f () 6, que es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Calculamos el valor de la ordenada del punto de abscisa : f() 68. Podemos escribir: y f() f ()( ) y 68 6( ) y 6 70 Halla la ecuación de la recta tangente a esta función: f () f() en f Por tanto, la ecuación punto-pendiente será: y y 0 m ( 0 ), donde m Por tanto: 0, y 0 y En qué punto es paralela la tangente de la función f() 7 a la bisectriz del primer cuadrante? a la del segundo? Para que la tangente sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante, su pendiente debe ser. f () El punto buscado es (6, 8). Para que la tangente sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante, su pendiente debe ser. f () 7 7 El punto buscado es (, 8). Calcula el punto de la curva y en el que la tangente es paralela a la recta y 0. La curva corresponde a una función polinómica de segundo grado, continua y derivable en. La recta y 0 tiene pendiente ; por tanto, buscamos el punto en el que la derivada es : y 0 y (0, ) Halla en qué punto es paralela a la recta y 0 la recta tangente a la función f() 6. La pendiente de la recta y 0 es. La recta tangente, si debe ser paralela a esta recta, deberá tener la misma pendiente: 6 f() 6 f () 6 9 El punto buscado es P 9, f 9,es decir,p 9, 7. Halla los puntos de tangente orizontal de la gráfica de f(). f() es una función polinómica; por tanto, continua y derivable en. Una recta orizontal tiene pendiente nula, por lo que f () 0. f () 6 6 f () 0 si ( ) 0 ( )( ) 0 0, y Los puntos de tangente orizontal son los de abscisa 0, y. Averigua los puntos en los que la recta tangente a la curva de la función f() cumple: a) Es orizontal. b) Es paralela a la recta y. a) La pendiente de una recta orizontal es m 0. Por tanto, emos de buscar en qué punto, 0,se cumple que f ( 0 ) 0: 8 8 f () 0 8 El punto buscado es P(, f()), es decir, P(, ). b) La pendiente de la recta dada es m. Por tanto, emos de buscar en qué punto, 0,se cumple que f ( 0 ) : 8 8 f () 8 El punto buscado es P(, f()), es decir, P(, ). Análisis

6 7 Determina los puntos de la grafica de f() en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Halla las ecuaciones de estas tangentes. f () La pendiente de las tangentes buscadas es : Hay un punto de abscisa en que la tangente es paralela a y, P(, ). Averigua en qué otro punto corta a la curva de f() la tangente a f() en. f () f () Si f() Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por (, ) y tiene pendiente m es: y Para saber el otro punto de intersección resolvemos el sistema: La recta que pasa por P(, ) de pendiente es: y y Observa que la tangente buscada es la bisectriz del segundo y 8 cuadrante. Considera la función f() : a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa. b) Eiste alguna otra recta tangente a la gráfica de f() Al restar la primera ecuación a la segunda, se obtiene la ecuación 0. Por Ruffini, se obtiene ( ) ( ). Es decir, la recta corta a la curva en, que es el punto de tangencia, y en. que sea paralela a la que as allado? Razona la respuesta y en caso afirmativo, calcula la ecuación. va de la función f() en corta a los ejes de Determina los puntos en los que la recta tangente a la cur- a) f () 6 f() 8 f () coordenadas. f () 6 f () La ecuación de la recta que pasa por (, 8) de pendiente es: y 8 ( ) y b) Buscamos en qué otro punto, f() tiene una tangente de pendiente : Si f() Por tanto, ecuación de la recta que pasa por (, ) y tiene pendiente m es: y Corta a los ejes de coordenadas en (0, ) y (/, 0). f () , Cuando, la recta tangente también tiene pendiente. f() ; es decir, el punto es (, ) Recta que pasa por (, ) y tiene pendiente es la siguiente: y ( ) y 7 9 Averigua la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() paralela a la recta de ecuación y 0. La pendiente de la recta es. Por tanto: Si y La ecuación de la recta que pasa por (, ) y tiene pendiente es y 0. 0 En qué punto de la gráfica de la función f() ln su recta tangente es paralela a la recta y 0? La recta y 0 tiene pendiente.por tanto: f () f() ln El punto es (, ln ). En qué punto de la curva y ln la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (, 0) y (e, )? La pendiente de la cuerda es m 0 e e y e e Calcula en qué punto corta al eje OX la recta tangente a la función f() en el punto de abscisa. En qué punto corta al eje O? En primer lugar, se calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa : f () f () La ecuación de la recta tangente es, pues: y Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas: y 0.El punto de corte es,0.para calcular los puntos de corte con el eje de ordenada: 0 y. El punto de corte es (0, ). Determina el punto de la curva f() en el que la recta tangente forma un ángulo de con el eje de abscisas en sentido positivo. Debemos buscar un punto, 0,tal que f ( 0 ). f () Por tanto, el punto buscado es:, f,es decir:,0. Dada la curva de ecuación 6 : a) En qué punto tiene una recta tangente orizontal? b) Es posible que esta curva tenga una tangente paralela a y 7 0 en algún punto de abscisa negativa? a) f() es una función racional, continua y derivable en. Una recta orizontal tiene pendiente nula, por lo que f () 0. f () 6/( ) f () 0 si 0. f() tiene un punto de tangente orizontal en (0, ). b) La pendiente de la recta y 7 0 es 0 y para 0, f () 0, luego f() no tiene una tangente paralela a dica recta para 0.. Derivadas

7 7 Averigua los puntos en los que la recta tangente a la curva de la función f() ln : a) Es orizontal. b) Forma un ángulo de con el eje X en sentido positivo. Determina los intervalos de monotonía: a) f() 9 b) g() c) () Se calcula la derivada de f() ln f () ln. a) f() 9 a) Si la recta tangente debe ser orizontal, la derivada debe f () 6 8 ser nula: ln 0 ln /e Se determinan los ceros de la función derivada, esto es, b) Si La recta tangente debe formar un ángulo de con el f () 0, y obtenemos eje positivo de abscisas, la derivada de la función deberá y ; puesto que la función derivada no tiene discontinuidades, los intervalos de coincidir con la tangente de : monotonía serán: + ln ln 0 (, ), (, ), (, ) 8 9 La recta 8 y 0 es tangente a la curva de ecuación y. En qué punto? y La pendiente de la recta es, por lo que /. Si / y /. El punto de tangencia es (/, /). Determina la ecuación de la recta tangente a la curva Buscamos el signo de f () en estos intervalos, calculando el valor de la derivada en un punto interior a cada uno de ellos: f () Por tanto, en (, ) la función es creciente. f (0) 0 y cuya pendiente es. Por tanto, en (, ) la función es decreciente. f () 6 0 y Por tanto, en (, ) la función es creciente. ( ) Si m \ b) g() ( ) g () 6 6 Imponemos g () 0, con lo cual se obtiene: En el punto (/, f(/)) la pendiente de la tangente es /. f(/) / 6 6 0,, Luego la ecuación de la tangente es y / /( /) Los intervalos de monotonía serán, pues: 0y En qué punto la recta que pasa por los puntos A(0, ) y (, ),,,,,(, ) B(, ) es tangente a la curva y? En ellos, la función decrece, crece, decrece y crece, respectivamente. La recta que pasa por A y B tiene pendiente, y su ecuación es y. y y, en los puntos de la curva con esta abscisa, la tangente tiene pendiente. Si /, y /7; este punto no pertenece a la recta que pasa por A y B. Si, y ; este punto sí pertenece a la recta que pasa por A y B. El punto en que la recta que pasa por A y B es tangente a la curva es (, ). Determina el punto de intersección de las rectas tangentes a las gráficas de estas funciones: f() ln y g() en Buscamos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() ln en : f() 0, luego el punto es (, 0). f (),m f () m La recta que pasa por (, 0) y tiene pendiente es y. Buscamos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g() en : g(), luego el punto es (, ). g (), m g () m La recta que pasa por (, ) y con pendiente es y. El punto de intersección se alla al resolver el sistema formado por las ecuaciones de las tangentes y se obtiene P i (0, ). c) () () Hacemos () 0 y se obtiene: y Los intervalos de monotonía serán:,,, y, En ellos, la función crece, decrece y crece, respectivamente. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(),así como sus puntos máimos y mínimos relativos. f () 6 6 6( )( ) La función es polinómica, luego derivable en todos sus puntos, y partir de los ceros de f (), determinamos los intervalos en que f () tiene signo constante: f () 0 / f() es decreciente en (, ) 0,. f() es creciente en (, 0),. En y en,presenta mínimos relativos. En 0 presenta un máimo relativo. 6 Análisis

8 Halla los etremos relativos de la siguiente función polinómica: f() f() f() 6 f() es una función polinómica, por tanto continua y derivable en. Para allar los etremos relativos calculamos los puntos singulares: f () 6 f () 0 si 6 0, Aora estudiamos el signo de f () a los dos lados de estos puntos: f f 0 En la función tiene un máimo relativo. En la función tiene un mínimo relativo. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: a) f() b) f() c) f() a) Dom f f () f () 0 si /, / Determinamos el signo de f en (, /), (/, /) y (/, ), buscando el signo de f en un punto cualquiera de cada intervalo: / / Luego f() es creciente en (, /) (/, ) y f() es decreciente en (/, /). b) Dom f {} f () /( ) La derivada es siempre negativa, luego f() es decreciente en su dominio. c) Dom f {} f () ( )/( ) La derivada es siempre positiva, porque el numerador no se anula y siempre es positivo, el denominador también, luego f() es creciente en su dominio. 6 Determina los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f() b) f() e c) f() ln a) Para determinar los etremos relativos, igualamos a cero la derivada primera: f () 0 y Para determinar si los etremos son máimos o mínimos, estudiaremos los intervalos de monotonía: (, ), (, 0), (0, ), (, ) 7 Intervalo (, ): para, f () 0; en este intervalo la función es creciente. Intervalo (, 0): para = 0,, f (0,) 0; en este intervalo la función es decreciente. Intervalo (0, ): para = 0,, f (0,) 0; en este intervalo la función es decreciente. Intervalo (, ): para =, f () 0; en este intervalo la función es creciente. En el punto (, ) la función presenta un máimo, y en el punto (, ), un mínimo. b) Para determinar los etremos relativos, igualamos a cero la derivada primera: f () e ( ) 0 En el punto, la función presenta un etremo e relativo. Para determinar si es máimo o mínimo, estudiamos los intervalos de monotonía: (, ), (, ) Intervalo (, ): para, f () 0; en este intervalo la función es decreciente. Intervalo (, ): para 0, f (0) 0; en este intervalo la función es creciente. En el punto, e la función presenta un mínimo. c) Para determinar los etremos relativos, igualamos a cero la derivada primera: f () ln 0 ln /e Para determinar el tipo de etremo relativo que presenta la función, estudiamos sus intervalos de monotonía: 0,,, e e Intervalo 0, e :para 0,, f (0,) 0, en este intervalo la función es decreciente. Intervalo, : para e, f (e) 0, e en este intervalo la función es creciente. En el punto, la función presenta un mínimo. e e A partir de los máimos y mínimos relativos de la función f() 6 y de su comportamiento en el infinito, representa de manera aproimada su gráfica. Para allar los etremos relativos de la función, se deberá igualar a cero su derivada: f () 6 0 y f() y f() / Tenemos un etremo en el punto (, ) y otro en el punto (, /). Teniendo en cuenta los límites de la función, en y, podemos representarla de forma aproimada: X f() - 6. Derivadas 7

9 8 Representa las siguientes funciones: a) f() b) f() c) f() Puntos de tangente orizontal. Igualamos a cero la primera derivada: f () = 0 y A continuación calculamos sus ordenadas: f() y f(). Por tanto, los puntos de tangente orizontal o puntos singulares son: (, ) y (, 0). d) f() e) f() La gráfica aproimada de la función es: f() a) Ramas infinitas. lim ) lim ) Puntos de intersección con los ejes X Con el eje OX. Se debe resolver la ecuación f() 0. Se obtiene y. Así pues, los puntos de intersección son: c) Ramas infinitas (, 0) y,0 lim ) Con el eje O. Se impone 0 y se obtiene f(0). El lim punto de intersección con el eje O es (0, ). ) Puntos de tangente orizontal. Igualamos a cero la primera derivada: Puntos de intersección con los ejes. Con el eje OX. Se debe resolver la ecuación f() 0. Se obtiene y. Luego los puntos de intersección son: (, 0) y (, 0). f () = y Con el eje O. Se impone 0 y se obtiene f(0). A continuación, calculamos sus ordenadas: El punto de intersección con el eje O es (0, ). f() 0 y f 0 Puntos de tangente orizontal. Igualamos a cero la primera derivada: Por tanto, los puntos de tangente orizontal o puntos singulares son: f () = 6 0, = y (, 0) y,0 A continuación, calculamos sus ordenadas: La representación gráfica de la función es: f() 0, f 6 y f() 0 0 Por tanto, los puntos de tangente orizontal o puntos 8 singulares son: 6 f() (, 0),, y (, 0) 6 La representación gráfica de la función es: X b) Ramas infinitas. lim ( ) lim ( ) Puntos de intersección con los ejes. Con el eje OX: se debe resolver la ecuación f() 0. Tratando de obtener las soluciones enteras de la ecuación 0 se observa que no ay soluciones enteras. En principio, se deberá tratar de representar la función desconociendo los puntos de corte con el eje OX. Con el eje O. Se impone 0 y se obtiene f(0). El punto de intersección con el eje O es (0, ). 76 d) Ramas infinitas. lim f() X lim La función tiene una asíntota orizontal de ecuación y. 8 Análisis

10 Puntos de intersección con los ejes. Con el eje OX. Se debe resolver la ecuación f() 0. La ecuación no tiene solución, luego la función no corta al eje de las abscisas. Con el eje O. Se impone 0 y se observa que este valor no pertenece al dominio, luego la función tampoco corta al eje de las ordenadas. Además, este eje de ecuación 0 es una asíntota vertical. Puntos de tangente orizontal. Igualamos a cero la primera derivada: f () 0 0 ; pero 0 no es del dominio de la función, luego esta función no tiene puntos singulares. La representación gráfica de la función es: 76 e) Ramas infinitas. lim lim La recta y es una asíntota orizontal. Además no pertenece al dominio de la función y, por tanto, la recta es una asíntota vertical. Puntos de intersección con los ejes. Con el eje OX. Se debe resolver la ecuación f() 0. Se obtiene. Luego la función corta al eje de las abscisas en el punto (, 0). Con el eje O. Se impone 0 y se obtiene f(0). El punto de intersección con el eje O es (0, ). Puntos de tangente orizontal. Igualamos a cero la primera derivada: f () 0. La ecuación anterior no tiene solución y, además, la función derivada es siempre positiva, ( ) luego la función es creciente en todo su dominio y, por tanto, no presenta puntos críticos. La representación gráfica de la función es: 76 f() f() X 8 X Ejercicios de aplicación Dada la función f() m 9 donde m es un parámetro: a) Determina para cada valor del parámetro m el valor del límite lim f(), si eiste. b) Para qué valores de m la derivada de la función f() es positiva para todo valor de? a) La discontinuidad depende del parámetro m: Si m, el límite es y la discontinuidad es evitable. Si m, el límite no eiste, la función diverge (infinito), y la discontinuidad es asintótica. b) Si m, la derivada de la función f() es positiva en su dominio (que no son todos los reales). 60 Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas en su punto de intersección: f() y g() Qué se observa? Averiguamos su punto de intersección resolviendo el sistema y y obtenemos, y 0. y Hallamos la ecuación de la tangente a f() en : f () f () ( ) La recta que pasa por (, 0) y tiene pendiente / es y ( ). Hallamos la ecuación de la tangente a g() en : g () g () La recta que pasa por (, 0) y tiene pendiente es y ( ). Las dos tangentes son perpendiculares. 6 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f() en los puntos de intersección con la bisectriz del primer cuadrante. Hay que determinar los puntos de intersección de la curva de la función con la bisectriz del primer cuadrante: y se resuelve el sistema y se obtiene 0 y, por lo que los puntos de intersección son (0, 0) y (,). y En 0, la pendiente de la tangente será f (0): f() 6 f (0) La ecuación punto-pendiente será y 0 ( 0), es decir, y. En, la pendiente de la recta tangente será f (). Como f() 6 f () 0: La ecuación punto pendiente será y 0( ), es decir, 0 y Calcula el área del triángulo que forman los semiejes positivos de coordenadas y la recta que es tangente a la curva y en. En, y 0. El punto es (, 0). La pendiente de la tangente en es y m La ecuación de la recta que pasa por (, 0) y tiene pendiente es y. La recta corta a los ejes en (, 0) y (0, ), por lo que el área del triángulo es A / u.. Derivadas 9

11 6 Calcula una función de segundo grado del tipo: 67 Halla a y b para que la función: f() b c f() sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas si sea derivable en. a b si (, ) y que en el punto de abscisa su tangente tiene pendiente igual a. función será derivable en si: Dado que los dos trozos de esta función son polinomios, la Si en el punto de abscisa la tangente tiene de pendiente, Es continua en, imponemos que lo sea en : quiere decir que la derivada para es : lim f() f() 0 a b 0 f () b b b Es derivable en, imponemos que lo sea en : Si, además, la función pasa por el punto (, ), se tiene: f() c c c La función de segundo grado buscada es: y f () lim ) f() lim 0 ) 0 lim 0 ) Calcula los valores de b y c para que la función de ecuación f() b c tenga un etremo relativo en el punto (, ). Qué tipo de etremo es? f () b Se debe imponer que: f() b c f () 0 0 b b, c Se trata de un mínimo porque es una parábola con el coeficiente del término de segundo grado positivo. Halla los coeficientes a, b y c de la función de ecuación f() a b c, sabiendo que la recta y es tangente a la curva y f() en el punto (, 0) e y f() corta el eje de ordenadas en y. Pasa por el punto P(, 0) donde es tangente a una recta con pendiente : f() 0 0 a b c f () a b También pasa por el punto Q(0, ): f(0) a 0 b 0 c Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones, obtenemos: a, b, c Dada la función: f() a si b si a) Calcula a y b para que la función sea continua y derivable en. b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva f() en. a) Si la función debe ser continua, se a de cumplir que f() lim f(): f() b lim f() a a b lim f() b Si f() a de tener derivada en, se debe cumplir que: f () 6 f () 8 f () b f () b f () f () 8 b Por tanto, b, y a b, es decir: a b) Como f () 8, y f(), la ecuación punto pendiente será y 8( ), es decir: 8 y 0 f () lim f( ) f() lim 0 a( ) b 0 lim a b a a 0 f () f () a, b 68 Dada función f() 9 0 ( ) representa el beneficio, epresado en miles de euros, que obtiene una empresa por la fabricación de unidades de un determinado producto. Traza la gráfica de la función e indica cuántas unidades ay que fabricar para que no se produzcan pérdidas. Determina también cuál es el mayor beneficio posible y cuántas unidades deben ser fabricadas para obtenerlo. La función que representa el beneficio es una función polinómica de segundo grado. Dado que es una función continua y derivable, para representarla allaremos sus puntos de intersección con los ejes y sus puntos de derivada nula (vértice). Los puntos de corte con los ejes son: Eje OX: se iguala f() a cero: ( ) 0 0 y 80. Eje O: se impone 0 y 60/9 7,7. El punto de tangente orizontal se obtiene igualando a cero la derivada: El punto anterior es el valor donde se obtiene el máimo de la función debido a que el coeficiente del término de segundo grado es negativo. ( ) 0 f(0) f() - ( ) X El número de unidades que deben fabricarse para que no se produzcan pérdidas debe estar entre 0 y 80. El mayor beneficio posible es de 0 y, para obtenerlo, se deberán fabricar 0 unidades. 69 Si f() y g() son dos funciones tales que f() g(), es posible que f() g()? Razona la respuesta con un ejemplo. Sí es posible, por ejemplo f() 7 y g(), son dos funciones distintas, y, en cambio coinciden sus funciones derivadas. Esto pasará siempre que las funciones f() y g() difieran en una constante. 60 Análisis