Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)

Transcripción

1 demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección porque sus coordenadas no son proporcionales En efecto, u 5 u = = v v b) Son u y v vectores ortogonales? Dos vectores u = ( u, u ) y v = ( v, v ) caso, por tanto u y v no son ortogonales son ortogonales si y sólo si uv + uv = 0 En nuestro + 5( ) = 6 0 = 0, c) Identifica un vector ω tal que u + v + ω = ( 0,0) La igualdad establecida es equivalente a ω = ( 0,0) ( u + v) ω = + = = ( 0, 0) (,5) (, ) ( 0, 0) ( 5,) ( 5, ) Por tanto, Comprobación: u + v + ω = ( ) + ( ) + ( ) = ( + ) = ( ), 5, 5, 5,5 0, 0 d) Identifica un vector z cuyo módulo sea la mitad que el de v y tenga la misma dirección que éste, con sentido opuesto El vector que buscamos ha de ser proporcional a v Así, z = k v para algún k real Para que su sentido sea opuesto al de v, k ha de ser negativo Además, debe cumplirse que z = v Puesto que z = k v = k v, el valor de k que buscamos debe cumplir que k v = v k =

2 demattematicaswordpresscom En resumen, = =, =, y z v ( ) k =, k =, k < 0 Comprobación: z =, y v = (, ) son proporcionales (misma dirección) y su razón de proporcionalidad es negativa (sentido opuesto) En efecto, = = Además, y v = + + = + + = + = ( ) , z = + + = + + = + = + = = v Identifica todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(,) y (, ) ecuación explícita de una recta perpendicular a esta que pase por el punto C (,) De la primera recta conocemos dos puntos, por lo que lo más sencillo es empezar B, y la identificando su ecuación vectorial Tomaremos como vector director el, y como punto, cualquiera de los dados, por ejemplo, el A Así, AB = (, ) (, ) = (, 6) cualquier punto de la recta puede expresarse como ( ) ( ) ( ) x, y =, + t, 6, t R (E vectorial) Igualando una a una las coordenadas en esta expresión, tenemos las ecuaciones paramétricas: x = + t, y = 6 t (E paramétricas) Despejando ahora t en cada ecuación e igualando los resultados tenemos la ecuación continua: x + = t, y x + = (E continua) y y 6 = = t 6 6

3 demattematicaswordpresscom Despejando el numerador en el primer miembro de la ecuación continua obtenemos la ecuación punto-pendiente: 6 y = ( x + ) y = ( x + ) (E punto-pendiente) En esta ecuación es fácil observar que la pendiente de la recta es y que, en efecto, pasa por el punto (,) La ecuación explícita se obtiene a partir de esta, sin más que despejar y : ( ) y = x + + = x + = x y = x (E explícita) Por tanto, la ordenada en el origen es 0 esto es, la recta pasa por el punto ( 0,0) - Reordenando los términos en la ecuación explícita obtenemos, por último, la ecuación general: y + x = 0 (E general) Comprobación: Ya hemos comprobado -en la ecuación punto-pendiente- que la recta pasa por el punto A(,) Para comprobar que también pasa por (, ) B, sustituimos las coordenadas del punto en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo, la general Para x = e y =, ( ) + = 0, lo que garantiza que la recta pasa también por B Buscamos ahora una recta perpendicular a esta que pase por el punto (, ) Para que la nueva recta sea perpendicular a la primera, su pendiente ha de ser la opuesta de la inversa de aquella, esto es, Por tanto, la segunda recta es de la forma esto es, el valor de y para x = 0- y = x + n, donde n es su ordenada en el origen Sabemos, además, que la recta ha de pasar por el punto (, ) Así, = + n n = = Por tanto, la ecuación explícita de la recta buscada es y = x +

4 demattematicaswordpresscom Sean las rectas definidas por las expresiones y = 7 y x = Identifique un vector director para cada una de ellas y compruebe que son ortogonales Todos los vectores directores de la recta definida por y = 7 son proporcionales al (, 0 ) -la segunda componente es cero porque el valor de y es constante Llegamos a la misma conclusión si identificamos dos puntos de la recta y a un vector director como diferencia entre estos Por ejemplo, pertenecen a la recta los pares (, 7 ) y ( ) (,7) (,7 ) = (,0) es, en efecto, proporcional al (, 0 ),7 El vector director, De forma análoga, cualquier vector director de la recta definida por x = es proporcional al ( 0, ) Podemos obtener uno en concreto como diferencia entre dos puntos que pertenezcan a la recta, por ejemplo, el (, ) y el (, ) (, ) (, ) = ( 0, ) tiene su primera coordenada nula, como habíamos anticipado El vector director calculado como diferencia, Los vectores (, 0 ) y ( 0, ) son ortogonales, ya que = 0, por lo que las rectas dadas son perpendiculares Considere un triángulo con vértices en A ( 0,0), ( 0, ) a) Compruebe que es un triángulo equilátero B y (, ) C El triángulo es equilátero si y sólo si sus tres lados, AB, AC y BC tienen la misma longitud Estas son iguales a los módulos de los vectores AB, AC y BC respectivamente Sus coordenadas y módulos son los siguientes: AB = 0, 0,0 = 0,, AB = =, ( ) ( ) ( ) AC = = = + + = + + = ( ) ( ) ( ) AC ( ), 0,0,,, =, 0, =,, = + + = + + = y BC ( ) ( ) ( ) BC ( ) ( ) Por tanto, el triángulo es equilátero, de lado b) Identifique la ecuación vectorial de la mediana y de la altura sobre el lado AB La mediana sobre el lado AB pasa por su punto medio y por el vértice opuesto Para identificar el punto medio del segmento AB calculamos las medias aritméticas de las = coordenadas de los extremos Así, el punto que buscamos es, ( 0, )

5 demattematicaswordpresscom La mediana pasa, por tanto, por los puntos ( ) (,) ( 0,) (,0) (,0) (,0 ) mediana 0, y C (, ), y tiene a = como uno de sus vectores directores Puesto que v =,0 como vector director de la =, por simplicidad escogemos ( ) En resumen, la mediana tiene a v = (,0 ) ecuación vectorial es, por tanto, como vector director y pasa por el punto ( 0, ) Su ( ) ( ) ( ) x, y = 0, + t,0, t R La altura sobre el lado AB es la recta perpendicular a este y pasa por el vértice opuesto En los triángulos rectángulos, las medianas y las alturas coinciden, por lo que la recta que hemos calculado es también una altura sobre AB Comprobación: Podemos verificar que la expresión de la mediana es correcta comprobando que coindice con la altura Esto es, que la mediana es perpendicular al segmento AB Para ello, comprobaremos que sus vectores directores son ortogonales Necesitamos un vector director de la recta que pasa por A ( 0,0) y B ( 0, ) AB = ( 0, ) ( 0,0) = ( 0, ) Basta ahora verificar que v = (,0 ) y AB = ( 0, ), por ejemplo, el son ortogonales En efecto, = 0 Así, la mediana es perpendicular al lado AB y, por tanto, coincide con la altura sobre el mismo 5 Sea la recta definida por la expresión y = x + a) Identifique su ecuación punto-pendiente La recta viene definida por su ecuación explícita Su pendiente es, por tanto, el coeficiente de la variable x Esto es, Para identificar la ecuación punto-pendiente sólo nos falta conocer un punto de la recta Para ello, podemos dar un valor arbitrario a x y determinar el correspondiente valor de y Así, si x =, entonces, y = En otras palabras, la recta pasa por el punto ( ) Su ecuación punto-pendiente es, por tanto, y ( x ) = b) Identifique dos vectores directores de la recta no equivalentes Puesto que ya conocemos un punto de la recta, sólo necesitamos identificar otro para calcular, como diferencia, uno de sus vectores directores Dando a x el valor tenemos que y = 6 Por 5

6 demattematicaswordpresscom tanto, la recta pasa también por el punto (, 6 ) Así, uno de sus vectores directores es (, 6) (, ) = (, ) Otro vector director, con igual módulo pero sentido inverso a este y, por tanto, no equivalente-, es el (, ) c) Identifique un vector director de una recta perpendicular a la dada Un vector v = ( v, v ) es director de una recta perpendicular a la dada si es ortogonal a un vector director de aquella Así, debe cumplirse que v v 0 es uno de los que satisface esta condición 6 Sean A(, ) y B (, ) + = El vector ( v, v ) = (, ) Identifique las ecuaciones punto-pendiente de las rectas perpendiculares al segmento AB que lo dividen en tres partes iguales Debemos comenzar encontrando los dos puntos que dividen el segmento en tres partes iguales Para ello, identificamos el vector AB como el de coordenadas (, ) (, ) = (,) Los puntos buscados son, por tanto, (, ) + (, ) = (, ) + (,) = ( 0, 0) y (, ) + (,) = (, ) + (, ) = (,) Necesitamos, además, un vector director v = ( v, v ) decir, debe verificar que v ( ) vector v = (,) Este debe ser ortogonal al vector AB Es + v = 0 Nos sirve, como representante más simple, el v La pendiente de las rectas es, por tanto, el cociente v = = Así, las ecuaciones punto pendiente de las rectas que buscamos son: y = x para la que pasa por el punto ( 0,0 ), e y x = + para la que pasa por el punto (,) 7 Sea la recta definida por la expresión y ( x ) = a) Identifique una recta paralela a esta que pase por el punto (, ) Buscamos una recta de pendiente que pase por el punto (, ) Su ecuación puntopendiente es y ( x ) = 6

7 demattematicaswordpresscom b) Identifique una recta perpendicular a la primera que pase por el punto (,) Su pendiente debe ser El punto nos da el resto de elementos que necesitamos para y = x + caracterizar su ecuación punto-pendiente: ( ) c) Identifique una recta no perpendicular a la primera que se corte con esta en el punto de abscisa x = Debe ser, por tanto, una recta secante no perpendicular Su pendiente ha de ser distinta de y de Por simplicidad, elijamos, por ejemplo, una recta de pendiente Del punto de corte sabemos que tiene abscisa x = De acuerdo con la primera recta, su ordenada ha de verificar que ( ) y = = 8 y = 9 Es decir, ha de pasar por el punto (,9 ) La que pasa por ese punto y tiene pendiente tiene por ecuación punto-pendiente y 9 = x Observación: este es un examen ficticio de extensión muy superior a los exámenes reales, que no deben tener más preguntas de las que se puedan responder con una holgura de tiempo razonable durante la duración de la prueba Hemos sacrificado el realismo en su extensión en aras de la representatividad, para recoger en este modelo de examen un número de preguntas suficiente para ilustrar los tipos de problemas más frecuentes en las pruebas reales 7