Tema 11: Problemas Métricos

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1 ..- Distancia entre dos puntos : Tema : Problemas Métricos B AB A d( A, B) AB La distancia entre dos puntos Aa (, a, a) Bbb (,, b ) es el módulo del vector que une dichos puntos: d( A, B) AB b a b a b a ( ) ( ) ( ) Ejemplo : Calcular la distancia entre los puntos A(,-,) B(5,,-4) d( A, B) AB b a b a b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )..- Distancia de un punto a una Recta : P PQ Es la menor de las distancias entre el punto dado un punto cualquiera de la recta. Q Si la recta r está definida por p r sea Q un punto eterior. La dr d(q,r) PQ dr distancia de Q a la recta r viene dada por: d( Q, r) dr dr Ejemplo : Calcular la distancia entre el punto Q(,-,) la recta r : PQ dr (,,) (,, ) 5 d( Q, r) dr (,, )..- Distancia de un punto a un Plano : Sean el plano π : a b c d el punto P(p,p,p ), la distancia entre ambos se calcula mediante la epresión: ap bp cp d d( P, π ) n π Ejemplo : Calcular la distancia entre el punto Q(,-,) el plano π : ap bp cp d 4 6 d( P, π ) 4 6 n π.4.- Distancia entre dos rectas : dr ds Sean la recta r la recta s, dadas por r : s : P Q r s Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 56

2 Posición Relativa Distancia Dibujo Rectas Coincidentes Rectas Paralelas d( r, s ) d( r, s) d( P, s) r Es igual a la distancia de un punto de la recta r a la recta s. PQ ds r s d( P, r) s ds Rectas Secantes d( r, s ) Rectas que Se Cruan det( P Q, dr, ds r s d( r, s) dr ds dr ds Donde: r : s : P Q.5.- Distancia de una recta a un plano: dr Sea la recta r dada por r : el plano π dado por π : a b c d Pr Posición Relativa Paralelos Recta Contenida en Plano Secantes d( r, π ) d( P r, π ) Distancia d( P, π ) ap bp cp d d( r, π ) d( r, π ) r n π Dibujo.6.- Distancia entre dos planos: Sean los planos π π ' dados por π : a b c d π ': a' b' c' d ' Posición Relativa Distancia d ( ππ, ') Paralelos Coincidentes Secantes d d ' a b c d ( ππ, ') d ( ππ, ') Dibujo Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 57

3 .7.- Angulos. Para estudiar el ángulo entre dos rectas, recta plano dos planos, necesitaremos los vectores directores de las rectas los vectores normales de los planos. Con la epresión del producto escalar, calcularemos el menor ángulo que forman las direcciones dadas por los vectores directores normales..8.- Angulo entre dos rectas. dr ( r, r, r ) Sean la recta r la recta s, dadas por r : P ( p, p, p ) r ds ( s, s, s ) s :. Q ( q, q, q ) s El ángulo α que forman ambas rectas viene dado por: dr ds r s r s r s cosα dr ds r r r s s s.9.- Angulo entre recta plano. dr ( r, r, r ) Sean la recta r, dada por r : P ( p, p, p ) r el plano π : a b c d En ángulo α formado por la recta el plano es complementario del ángulo que forman el vector normal del plano n el vector director de la recta dr n 9 α dr α π dr nπ senα sen( r, π) cos( dr, n ) dr n r La recta r, será paralela al plano π, cuando el producto escalar dr n π mismo: r a r b r c., o lo que es lo π..- Angulo entre dos planos. Sean los planos π : a b c d π ': a' b' c' d ', el ángulo entre ambos es el mismo que el ángulo entre sus vectores normales n n '. nn ' aa ' bb' cc' cos( ππ, ') cos( nn, ') n n' a b c a' b' c' Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 58

4 ..- Recta perpendicular común a dos rectas que se cruan Para calcular la recta perpendicular común a dos rectas que se cruan, seguiremos el siguiente método: Escribimos las rectas r s en paramétricas. Obtenemos de cada una de ellas un punto genérico (A B respectivamente), sus vectores directores dr ds. Hallamos las componentes del vector que une los puntos A B, AB, como éste AB dr vector es ortogonal a dr ds, los productos escalares son nulos, AB ds del sistema formado podemos despejar los dos parámetros. Sustituimos los valores hallados en las epresiones genéricas de A B, a tenemos estos puntos. Con un punto el vector, a tenemos la ecuación de la recta. Ejemplo 4: Obtener la perpendicular común a las rectas r : s : Para obtener la perpendicular común a dos rectas que se cruan, lo primero es escribir las rectas en forma paramética: Recta r: ˆ ˆ ˆ n (,,) i j k dr (,,) n (,,) Recta s: ˆ ˆ ˆ n (,,) i j k ds (,,) n (,,) Si Un punto de r es el P(,,) t Si Un punto de r es el Q(,,) λ A r; A( t,,) Obtenemos un punto genérico de cada una: 7 B s; B(, λ,) Hallamos las componentes del vector AB ; AB B A ( t, λ,) Y este vector tiene que ser perpendicular al vector director de r dr al vector director de s ds. dr AB (,,) ( t, λ,) t t ds AB (,,) ( t, λ,) λ λ Si sustituimos en las rectas r s, obtenemos los puntos: A(,,) B(,,) Ya tenemos dos puntos de la recta, como AB B A (,,), la recta perpendicular común a r s, es: r' t..- Simetrías...- Simétrico de un punto A respecto de una recta. Para hallar el simétrico de un punto respecto de una recta, seguiremos los pasos siguientes: Hallamos el plano perpendicular a la recta r, que pasa por el punto A. Hallamos el punto de intersección, M, entre la recta el plano. Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 59

5 Hallamos el punto simétrico A con la condición de que M sea el punto medio del segmento AA '. A A' M * Las coordenadas del punto medio de un segmento se calculan: Ejemplo 5: Calcular las coordenadas del punto simétrico del (,,7) respecto de la recta r: Calculamos el plano perpendicular a r que contiene al punto A(,,7). 4 Para ello hacemos el producto escalar del vector director de la recta dr(,,) por el vector perpendicular a la recta que pasa por le punto (-,-,-7) (,,) (,, 7) π : 8 Calculamos el punto de intersección de la recta r el plano π. t Para ello escribimos la recta r en forma paramétrica r : t la sustituimos en el plano π. 4 t t t 8 4t 8 6t t Y sustituendo en la ecuación paramétrica obtenemos el punto deseado. Punto de intersección de r π H (,,8) H es el punto medio entre A su simétrico A, por tanto: A A' H A' H A (6,-,6)-(,,7)(5,-5,9). Y el punto simétrico del (,,7) es el punto A ' (5, 5,9)...- Simétrico de un punto A respecto de un plano. Para hallar el simétrico de un punto respecto de un plano, seguiremos los pasos siguientes: Hallamos la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. Hallamos el punto de intersección, M, entre la recta el plano. Hallamos el punto simétrico A con la condición de que M sea el punto medio del segmento AA '...- Área de un paralelogramo. El área de un paralelogramo de vértices A,B,C,D, la calcularemos: Area S AB AD Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 6

6 Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M Área de un triángulo. El área de un triángulo de vértices A,B D, se calcula como la mitad del área del paralelogramo de vértices A,B,C D. T AB AD Area S.5.- Problemas.- Hallar la distancia del punto P al plano determinado por los puntos A(,,); B(,,); C(,,), siendo P en que la recta 4 4 : r corta al plano 4 : π.- Calcular la distancia entre las rectas 4 : r t t s 8 5 :.- Obtener las ecuaciones de los planos que son perpendiculares a la recta 6 : r distan unidades del punto P(-,,). Calcular el seno del ángulo formado por r el plano coordenado OXY. 4.- Obtener el área del triángulo cuos vértices son los puntos de intersección del plano 6 : π con los ejes coordenados. 5.- Calcular la distancia del punto P(,-,) a la recta : r 6.- Calcular las coordenadas del punto simétrico del (,,7) respecto de la recta dada por las ecuaciones Hallar el punto de la recta : r que equidista del punto A(,,) del origen de coordenadas. 8.- Consideramos los planos 5 : π 4 ' π Qué ángulo determinan ambos planos?. Hallar el plano que pasa por el origen de coordenadas es perpendicular a los dos planos. 9.- Hallar el punto de la recta t t t r : cua distancia al punto P(,,) sea 5.- Encontrar los puntos de : r que disten del plano : π.- Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta : r otro lado sobre la recta 5 : s. Calcula el área del cuadrado.

7 .- Hallar el plano de la familia m ( m ) que está situado a distancia del origen..- Eplicar como se obtiene la perpendicular común a dos rectas que se cruan. Obtener la perpendicular común a las rectas r : s : 4.- a) Determinar la ecuación de un plano π pasando por el punto A(-,-,) siendo v (,, ) un vector normal al mismo. b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta s que se obtiene al cortarse el plano π : con el plano π ': c) Determinar las ecuaciones paramétricas e la recta r que pasa por los puntos B(,,) C(,-,). d) Encontrar la posición relativa entre las rectas r s de los apartados anteriores. e) Hallar un punto D de la recta r que esté a la misma distancia de los puntos B C. 5.- Considera el triángulo que tiene por vértices los puntos A(,,), B(,,-) C(,-,) A) Raonar si es rectángulo. B) Calcular la recta r que pasa por B es perpendicular al lado AC C) Calcular la recta S que pasa por los puntos A C. d) D es el punto de corte de r s, calcular el módulo de BD. E) Calcular la longitud del lado AC. F) Calcular el producto vectorial de los vectores AC AB comprueba que su módulo es igual a h b, siendo h el módulo del vector BD b la longitud del lado AC (calculados anteriormente). 6.- Consideramos los puntos A(,,) B(,4,) la recta r:. a) Determinar un punto C de la recta que equidiste de los puntos A B b) Calcular el área del triángulo ABC.6.- Soluciones:.- Hallar la distancia del punto P al plano determinado por los puntos A(,,); 4 4 B(,,); C(,,), siendo P en que la recta r : corta al plano π : 4 Lo primero que vamos a hacer es calcular la ecuación del plano, para calcularla, necesitamos vectores directores un punto. Vamos a calcular los vectores AB, AC, AX, donde X es el punto(,,) del plano: AB (,,) AC (,, ) AX (,, ) Estos tres vectores han de ser coplanarios, para ello tienen que cumplir que su producto, mito sea cero. ( ) ( ) Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 6

8 Por tanto la ecuación del plano pedido es: Lo siguiente es calcular P. Para ello escribimos la ecuación de la recta r en forma paramétrica, la sustituimos en la ecuación del plano π λ r 4 λ π : 4 λ ( λ ) (4 λ) (4 λ) 4 4 4λ 4 λ 4 λ 4 8 λ 8 De donde obtenemos λ Si sustituimos λ en la ecuación paramétrica de la recta, obtenemos el punto pedido: P (,,5) La distancia de un punto a un plano se calcula de la siguiente manera: d ( P, π ) ap bp cp d n Como P(,,5) π :, sustituendo, obtenemos: ap bp cp d 9 d ( P, π ) n t.- Calcular la distancia entre las rectas r : s : 4 8 t Para calcular la distancia entre dos rectas, lo primero que ha que hacer es ver la posición relativa de ambas rectas. P (, ) Q(5,,8) r s dr (,,4) ds (,,) Vemos que sus vectores directores no son proporcionales, por tanto las rectas, o se cortan o se cruan. Si se cortan, la distancia entre ellas es, si se cruan la distancia se calcula utiliando la epresión: d ( r, s ) dr ds det( dr, ds, PQ) Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 6

9 dr Si el rango de ds es, los vectores son coplanarios las rectas se cortan, si el rango PQ dr de ds es, entonces los vectores no son coplanarios las rectas se cruan. PQ dr ds PQ 4 ( 9 8) ( 6 ) 7 8 9, Por tanto se cruan. 9 i j k Como se cruan, calculamos dr ds 4 i j k 9 det( dr, ds, PQ) 9 Y ahora calculamos la distancia: d ( r, s ) 9 9 dr ds.- Obtener las ecuaciones de los planos que son perpendiculares a la recta 6 r : distan unidades del punto P(-,,). Calcular el seno del ángulo formado por r el plano coordenado OXY. Para la ecuación del plano a una recta, necesitamos el vector director de la recta: i j k dr ( i j ) ( k j ) i j k j (,,) Sea u (,, ) un vector perpendicular a la recta r, un ha de planos perpendiculares a esta recta viene dado por: u dr (,, ) (,,) Por tanto el ha de planos es: K Si la distancia de P(-,,) al plano es. Tenemos que: De donde: ap bp cp d 4 k 5 K d ( P, π ) n 9 5 K 9 que al resolver obtenemos: K4 K -4 Por tanto las ecuaciones de los planos pedidos son: π : 4 π : 4 Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 64

10 Como el punto P no pertenece a la recta (porque no cumple su ecuación), tenemos dos planos que están a una distancia de unidades, uno por delante del punto otro por detrás. d P d Para calcular el seno formado por una recta un plano utiliamos la ecuación: ds nπ Sen( r, π ) Cos ( r, nπ ) dr n (,,) (,, λ) 9 λ λ λ Donde el vector n π (,, λ) es el vector normal del plano OXY (Z). Si cogemos como vector normal el (,,) ó (,,).obtenemos el mismo resultado, de forma general utiliamos el vector n π (,, λ). 4.- Obtener el área del triángulo cuos vértices son los puntos de intersección del plano π : 6 con los ejes coordenados. Para resolver este ejercicio de forma rápida escribiremos la ecuación del plano en forma segmentaria, a que esta ecuación nos da los puntos de corte con los respectivos ejes Por tanto los vértices del triángulo son m(,,), n(,6,) t(,,). Y ahora para calcular el área del triángulo utiliamos el módulo del producto vectorial. Sabemos que el área del paralelogramo formado por los vectores mn mt vale el módulo de su producto vectorial, por tanto el área del triángulo formado por ellos es la mitad. S mn mt (,6,8) Calcular la distancia del punto P(,-,) a la recta r : Para calcular la distancia de un punto a una recta, necesitamos el vector director de la recta un punto de ella. ˆ i ˆ j ˆ k dr ( i k 6j ) (k 4i j ) 5ˆ i ˆ k 7 ˆ j (5, 7, ) Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 65

11 Para obtener un punto, resolvemos el sistema dando a el valor, Z. 7 Por tanto un punto de la recta es A(7,-,) La distancia de un punto a una recta viene dada por: d ( P, r ) AP dr dr AP ( 7,.) (,,) (6, 7, ) Y ahora: i j k i j k j k AP dr 6 7 ( j 7k ) j 7k (,, 7) AP dr 5 d ( P, r ) dr Calcular las coordenadas del punto simétrico del (,,7) respecto de la recta dada 4 por las ecuaciones Calculamos el plano perpendicular a r que contiene al punto A(,,7). Para ello hacemos el producto escalar del vector director de la recta dr(,,) por el vector perpendicular a la recta que pasa por le punto (-,-,-7) (,,) (,, 7) π : 8 Calculamos el punto de intersección de la recta r el plano π. Para ello escribimos la recta r en forma paramétrica plano π. t r : t la sustituimos en el 4 t t t 8 4t 8 6 t t Y sustituendo en la ecuación paramétrica obtenemos el punto deseado. Punto de intersección de r π H (,,8) H es el punto medio entre A su simétrico A. A A' Para calcular el punto medio de un segmento utiliamos: H Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 66

12 A' H A (6,-,6)-(,,7)(5,-5,9). Por tanto el punto simétrico del (,,7) es el punto A ' (5, 5,9) 7.- Hallar el punto de la recta r : que equidista del punto A(,,) del origen de coordenadas. Lo primero es escribir la ecuación de la recta en forma paramétrica: t r : t t Un punto P, genérico de esta recta es: P ( t, t, t ) Tiene que ocurrir que OP PA OP ( t, t, t ) PA ( t, t, t ) ( t,4 t, t ) t 4 4t 8t 9 t 6t t t 6 4t 6t 4 t 4t 6t 4t 6t t De donde 8 t 8 t Por tanto el punto P de la recta que equidista del origen del punto A es: P (,,) 8.- Consideramos los planos π : 5 π ' 4 Qué ángulo determinan ambos planos?. Hallar el plano que pasa por el origen de coordenadas es perpendicular a los dos planos. Para ver el ángulo que determinan dos planos, lo hacemos usando sus vectores normales: n n' (,,) (,,) 6 6 π Cos ( π, π') α a b c a' b' c' Para que el plano sea perpendicular a ambos, su vector normal también lo tiene que ser. i j k n " n n ' 6 ˆ k De aquí que el vector n " (,,6) Entonces el plano que buscamos es el plano: 6k, como dice que pasa por el (,,) entonces k es el plano pedido. Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 67

13 t 9.- Hallar el punto de la recta r : t cua distancia al punto P(,,) sea 5 t Un punto genérico de la recta es el (t,-t,t) como la distancia de un punto a una recta se calcula: AP dr d ( P, r ) Lo primero es calcular el vector AP(-t,t-,-t) dr(,-,) dr i j k AP dr t t t ( 4 ˆ i ˆ) k como dr Entonces la distancia del punto a la recta es 5. Por tanto si calculamos en punto de intersección entre la recta r otra recta perpendicular que pase por P, tenemos el punto buscado. Sea Q el punto (t,-t,t), P(,,) entonces el vector PQ(t-,-t,t-), el producto escalar PQ dr porque ambos vectores son perpendiculares. PQ dr(t-,-t,t-) (,-,)t-t-4t- 6t-6 t Por tanto el punto de la recta que está a una distancia 5 del punto P es: Q : (,, ).- Encontrar los puntos de r : que disten del plano π : Lo primero es ver cual es la posición relativa de la recta el plano. Escribimos La matri M M* M M * Rang(M)Rang(M*), Por tanto recta plano son secantes. Tienen que eistir dos puntos de la recta a una distancia del plano, uno por encima otro por debajo. Escribimos la recta en forma paramétrica, para ello necesitamos el vector director un punto: Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 68

14 i j k dr ˆ i ˆ j ˆ k (,, ) Punto (si hacemos Z) A(,,) Por tanto t r : t t Un punto cualquiera de la recta es (-t,t,-t), pues calculamos la distancia de un punto a un plano la igualamos a. Y eso nos dará dos valores para t. π : ap bp cp d t t t 5t d ( P, π ) 5 t n 9 t t 5 Por tanto los puntos situados a una distancia del plano son (,,),, Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta r : otro lado 5 sobre la recta s :. Calcula el área del cuadrado. Lo primero que tenemos que hacer es ver la posición relativa de las rectas r s: Calculamos el vector director de la recta r: i j k dr 8ˆ i 4 ˆ j 8 ˆ k (8, 4, 8) Si comparamos dr ds vemos que dr 4 ds Por tanto las rectas r s son paralelas. Calculamos la distancia entre ellas, el área del cuadrado será esa distancia al cuadrado. Necesitamos un punto de s, A(,,-5) ds(,-,-) un punto de r, P(,,) por ser homogéneo el sistema. Calculamos el vector AP (,,5) i j k AP ds 5 7 ˆ i 4 ˆ j 5 ˆ k (7,4,5) AP ds 9 d ( r, s ) d ( P, s ) ds 9 Por tanto el área del cuadrado: A ( ) Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 69

15 .- Hallar el plano de la familia m ( m ) que está situado a distancia del origen. ap bp cp d ( m ) m d ( P, π ) ( m ) m n m m m m m De donde m Por tanto el plano de la familia es:.- Eplicar como se obtiene la perpendicular común a dos rectas que se cruan. Obtener la perpendicular común a las rectas r : s : Para obtener la perpendicular común a dos rectas que se cruan, lo primero es escribir las rectas en forma paramética: Recta r: ˆ i ˆ j ˆ k t n (,,) dr (,, ) Si Un punto de r es el P(,,) n (,,) Recta s: ˆ i ˆ j ˆ k n (,,) ds (,,) Si Un punto de r es Q(,,) λ n (,,) Obtenemos un punto genérico de cada una: A r ; A( t,,) B s ; B(, λ,) Hallamos las componentes del vector AB ; AB B A ( t, λ,) Y este vector tiene que ser perpendicular al vector director de r dr al vector director de s ds. dr AB (,,) ( t, λ,) t t ds AB (,,) ( t, λ,) λ λ Si sustituimos en las rectas r s, obtenemos los puntos: A(,,) B(,,), a tenemos dos puntos de la recta, como AB B A (,, ), la recta perpendicular es: r' t 4.- a) Determinar la ecuación de un plano π pasando por el punto A(-,-,) siendo v (,, ) un vector normal al mismo. Creamos un ha de planos paralelos de la forma: X-Y-ZK Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 7

16 Y calculamos que plano del ha pasa por ese punto, sustituendo el punto en el ha de planos paralelos. --(-)-k -4-K K- π : b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta s que se obtiene al cortarse el plano π : con el plano π ': Si sustituimos π' : en el plano π :, obtenemos la recta r : Que es la forma general de la ecuación de una recta, si operamos tenemos: t La forma paramétrica de r: t Si lo hacemos de la forma habitual; calculamos el vector director de r: ˆ i ˆ j ˆ k dr (,,) Y para calcular un punto,,, ; por tanto la recta r tiene por ecuaciones paramétricas: t r: t c) Determinar las ecuaciones paramétricas e la recta r que pasa por los puntos B(,,) C(,-,) Calculamos el vector BC C B (,,), con el vector un punto (,,) escribimos las paramétricas: r: t d) Encontrar la posición relativa entre las rectas r s de los apartados anteriores: t r: t s: t Rang ( dr, ds ) PQ Q P (,,) Rang ( dr, ds, PQ) Por tanto las rectas r s SE CRUZAN. C. e) Hallar un punto D de la recta r que esté a la misma distancia de los puntos B Un punto genérico de la recta r es el (-t, -t, ), calculamos los vectores BD CD : Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 7

17 BD ( t, t, ) Como están a la misma distancia, el modulo de los dos vectores serán BC ( t, t, ) iguales. BC BD 4 4t 8t t t 4 4t 8t t t 4 4t 8t t t 4 4t 8t t t t Por tanto el punto buscado es el (,,) 5.- Considera el triángulo que tiene por vértices los puntos A(,,), B(,,-) C(,-,) a) Raonar si es rectángulo: El triángulo es rectángulo si alguno de estas parejas de vectores es ortogonal: AB (,, ), AC (, 4,) BA (,,), BC (,,) CA (,4,), CB (,, ) AB AC (,, ) (, 4,) 4 BA BC (,,) (,,) 6 CA CB (,4,) (,, ) b) Calcular la recta r que pasa por B es perpendicular al lado AC. Calculamos las ecuaciones paramétricas de la recta AC. r : 4t, un punto genérico de la recta es el G (, 4t,). Si calculamos el vector que une el punto genérico el punto B: GB B G (,4t, ), este vector el vector de la recta son perpendiculares, por tanto: GB dr (,4t, ) (, 4,) 6 t 4 Por tanto el vector GB (,, ) t 4 Y la ecuación de la recta que pasa por B es perpendicular a AC, es: r : t c) Calcular la recta S que pasa por los puntos A C: s : 4λ a) D es el punto de corte de r s, calcular el módulo de BD Como ambas rectas están en paramétricas, igualamos las paramétricas para obtener el punto de corte entre ellas. 4λ λ ; t El punto de corte es el (,,) 4 t Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 7

18 BD D B (,,) (,, ) (,,) BD 9 b) Calcular la longitud del lado AC: La longitud del lado AC es el módulo del vector AC ; AC 6 4 c) Calcular el producto vectorial de los vectores AC AB comprueba que su módulo es igual a h b, siendo h el módulo del vector BD b la longitud del lado AC (calculados anteriormente) ˆ i ˆ j ˆ k AC AB 4 (,,) AB AC ; h b Consideramos los puntos A(,,) B(,4,) la recta r: a) Determinar un punto C de la recta que equidiste de los puntos A B t Escribimos r en forma paramétrica: r : t, un punto genérico de ella es el t G(t,t,t). Si calculamos los vectores AG BG, como los puntos A B están a la misma distancia, el módulo de estos vectores ha de ser el mismo. AG G A ( t, t, t ) (,,) ( t, t, t ) BG G B ( t, t, t ) (,4,) ( t, t, t ) AG BG ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t ( t ) t ( t ) ( t ) ( t ) t 4 4t t t 4t 4t t t 4 4t 4t 4t De donde: 6t t 6 6t t 5 t Por tanto el punto que está a la misma distancia de A B es el (-,,) b) Calcular el área del triángulo ABC El área del triángulo ABC se calcula como: S ABC AB AC ˆ i ˆ j ˆ k (,,9) Raúl Gonále Medina 8. Matemáticas Curso intensivo Julio-Septiembre de 8 Raúl G.M. 7