Capítulo 1: El número real - Desigualdades e inecuaciones

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Inmaculada Morales Aguilar
hace 7 años
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1 Capítulo : El número real - Desigualdades e inecuaciones. Resuelve los sistemas de inecuaciones y representa en el eje real dichas soluciones. a) > 8 ) ( b) > > ) ( c) > 6 5. Encuentra el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones. Epresa dicha solución en forma de intervalo, si es posible y representa en el eje real dichas soluciones. a) 5 5 < b) c). Dados los siguientes conjuntos: < = 7 / R A =. R / B = 6 / R C Encuentra y representa en el eje real el conjunto solución de: a) b)

2 c) C. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser verdadero eplica la propiedad utilizada y en caso de ser falso, proporciona un contraejemplo. a) 0 < < < b) = R

3 Respuestas a los ejercicios propuestos:. a) S = ( ;) b)s = ; c) S = φ. 5 a) S = ; b) S = ( ; 0) U [ ; ) c) S = ; U ; 5. a) S = ( ;0) b) S = ( ; ] U [ ; ) c) S = [ ; ]. a) Falso. Considera = b) Falso: = 0 < < >.Considera por ejemplo = -

4 . a) Ejercicios resueltos. Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las desigualdades, llamando S y S a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución del sistema es la intersección de las soluciones S y S. Resolvemos la primera inecuación > < < < < < < Es decir, S = { R / < } = ( ; ) Resolvemos la segunda inecuación ( ) Es decir, S = { R / < } = ( ;) Luego el conjunto solución del sistema es: S = S S = { R / < } = ( ; ) La representación gráfica en el eje real es: b) Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las desigualdades, llamando S y S a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución del sistema es la intersección de las soluciones S y S Resolvemos la primera inecuación 5 5 8

5 Es decir, S = { R / } = [ ;] Resolvemos la segunda inecuación 6 > > 6 > 0 > 5 Es decir, S = { R / > 5} = ( 5; ) Luego el conjunto solución del sistema es: S = S S = φ. b) Para encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación debemos primero restar a ambos miembros y luego sacamos común denominador en el primer miembro Al tener una inecuación fraccionaria mayor o igual a cero debemos pedir que el numerador y denominador tengan el mismo signo o que el numerador sea cero. Así tendremos dos sistemas de inecuaciones que se autoecluyen. 0 () 0 () (I) ó (II) > 0 () < 0 () Luego si S es el conjunto de soluciones será la unión de cada una de las soluciones S = S I S II y como S I = S S y S II = S S Se trata entonces de unir las soluciones de los dos sistemas de ecuaciones: La solución del sistema I es > 0 = R / = ; S I Es decir, { } [ ) La solución del sistema II es < 0 = R / < 0 = ;0 Es decir S II { } ( ) Luego el conjunto solución es S = = ( ;0) [ ; ) La representación gráfica es: S I S II

6 . Para poder realizar las operaciones pedidas debemos encontrar cada uno de los conjuntos A, B y C 7 A= R / < Resolvemos la inecuación 7 < 7 < 0 7 < 0 7 < 0 Como el numerador es positivo, la única opción solución posible es: < 0 Es decir, la solución es S A = { R / < 0} = ( ;0) entonces A = ( ;0) B= R / Resolvemos la inecuación con valor absoluto: aplicando las propiedades del valor absoluto obtenemos ó ó ó Es decir, S = ( ; ] [ ; ) entonces B = ( ; ] [ ; ) B

7 C= R / 6 Resolvemos la inecuación, aplicando las propiedades del valor absoluto tenemos: Es decir, S = [ ; ] entonces C = [ ; ] C Buscamos ahora los conjuntos pedidos: a) A B = ( ;0).. b) A B = ( ; ] [ ; ) c) C = [ ; ]. a) Es falso. Puedes considerar por ejemplo el caso en que = 0 < < sin embargo b) Es falso, = > c) Por ejemplo si consideramos el caso en que = tenemos ( ) = =

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