DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES RELACION DE DOS CARACTERES Relación entre variables cualitativas

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1 08/11/01 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES RELACION DE DOS CARACTERES Relación entre variables cualitativas CARACTERES INDEPENDIENTES Respuesta a un tratamiento No Sí Total (marginales por filas) No Obesidad Sí Total (por columnas) (total muestra) P( No respuesta)= 30/90= 0,33 P( No respuesta/no obeso)= 0/60= 0,33 P (No respuesta/obeso)= 10/30= 0,33 La proporción de un carácter se mantiene en todas las categorías del otro (las probabilidades condicionas coinciden con la general). CARACTERES DEPENDIENTES? Respuesta a un tratamiento No Sí Total (marginales por filas) No Obesidad Sí Total (por columnas) (total muestra) P( No Respuesta)= 50/90= 0,56 P( No Respuesta/No Obeso)=40/60= 0,66 P (No Respuesta/Obeso)= 10/30= 0,33 Las proporciones no se mantienen constantes luego existe asociación Las proporciones no se mantienen constantes, luego existe asociación entre ambos caracteres o son independientes?. 1

2 08/11/01 Test Estadístico utilizado entre variables cualitativas Test ji-cuadrado o chi-cuadrado de Pearson (). H 0 % x =% y. H 1 % x % y. Debemos decidir si existe evidencia significativa de que los porcentajes de cada categoría en cada variable son iguales (aceptamos H 0 ). Si rechazamos H 0 entonces aceptamos H 1 Calculamos el valor Pearson = E i -T i /T i donde E i es el valor de frecuencias experimentales (observadas) y T i el valor Teórico (esperado) en cada celda. A partir de este valor, buscamos los valores de probabilidad tabulados de la tabla chicuadrado ( exp),es decir, los valores p asociados al valor del chi-cuadrado y se decide si se rechaza H o. Tablas de Frecuencias Observadas=Experimentales Esperadas =Teóricas x 1 x x 1 x Donde y 1 a b ny 1 y 1 a b ny 1 x i = Categoría Variable 1 y c d ny y c d ny y i = Categoría Variable nx 1 nx N nx 1 nx N n i = nº de casos marginales N= Muestra Total a=número de casos de la categoría x 1 de la variable 1 y con la categoría y 1 de la. b=número de casos de la categoría x de la variable 1 y con la categoría y 1 de la. Pearson = E i -T i /T i = ((a-a ) /a ) + ((b-b ) /b ) + ((c-c ) /c ) + ((d-d ) /d ) Miramos en la tabla Li< exp <Ls y obtenemos la p asociada o error tipo I.

3 08/11/01 Distribución Chi Cuadrado. g = Grados de Libertad. p = Probabilidad de encontrar un valor mayor o igual que el chi cuadrado tabulado g/p 0,001 0,005 0,005 0,01 0,05 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 1 10,874 9,1404 7,8794 6,6349 5,039 3,8415,7055,07 1,644 1,333 1,074 0,8735 0,7083 0,5707 0, , ,987 10,5965 9,104 7,3778 5,9915 4,605 3,794 3,189,776,4079,0996 1,836 1,5970 1, ,660 14,30 1, ,3449 9,3484 7,8147 6,514 5,3170 4,6416 4,1083 3,6649 3,831,946,6430, ,466 16,438 14,860 13,767 11,1433 9,4877 7,7794 6,7449 5,9886 5,3853 4,8784 4,4377 4,0446 3,6871 3, , , , ,0863 1,835 11,0705 9,363 8,115 7,893 6,657 6,0644 5,5731 5,1319 4,778 4,3515 6,4575 0,491 18, , ,4494 1, ,6446 9,4461 8,5581 7,8408 7,311 6,6948 6,108 5,765 5, ,313,040 0,777 18, ,018 14,0671 1, ,7479 9,803 9,0371 8,3834 7,8061 7,83 6,8000 6, ,139 3,774 1,9549 0,090 17, , ,3616 1,071 11, ,189 9,545 8,9094 8,3505 7,835 7, ,8767 5,465 3,5893 1, ,08 16, , ,880 1,41 11, , ,0060 9,4136 8,863 8, ,5879 7,1119 5,1881 3,093 0,483 18, ,987 14, ,440 1, , , ,473 9,89 9, ,635 8,791 6,7569 4,750 1,900 19,675 17,750 15, , ,7007 1,8987 1, ,598 10, , ,909 30,318 8,997 6,170 3,3367 1,061 18, , ,810 14, , ,661 1, , , ,574 31,8830 9,8193 7,688 4,7356,360 19, ,00 16, , , , ,6356 1,9717 1, ,139 33,46 31,3194 9,141 6,1189 3,6848 1, ,406 18, , ,1 15,409 14, , , , ,9494 3, ,5780 7,4884 4,9958,3071 0, , ,451 17,317 16, ,733 15, , ,518 36, ,671 31,9999 8,8453 6,96 3,5418 1,7931 0, , , , , ,045 15, , ,946 35, , ,1910 7,5871 4,7690,9770 1,6146 0, , , ,844 17, , , ,40 37, ,805 31,564 8,8693 5,9894 4,1555,7595 1,6049 0, , , , , , , ,581 36,1908 3,853 30,1435 7, ,389 3,9004,7178 1,6891 0, , , , ,314 4, , , , ,4104 8,410 6,4976 5,0375 3,877,7745 1,865 0,9514 0,17 19, , , , ,93 35,4789 3,6706 9,6151 7,660 6,1711 4,9348 3,8578,8876 1,9915 1,1470 0,337 48,676 45,041 4, ,894 36, ,945 30,8133 8,84 7,3015 6,0393 4,9390 3,9473 3,0307,1663 1, ,776 46,631 44, , , ,175 3,0069 9,979 8,488 7,1413 6,0184 5,0055 4,0689 3,185, , , ,5584 4, , , ,196 31,135 9,5533 8,41 7,0960 6,065 5,1064 4,037 3, , , ,980 44, , ,655 34,3816 3,85 30,675 9,3388 8,1719 7,1183 6,1430 5,18 4, , ,891 48,898 45, ,931 38, ,563 33,495 31, ,4346 9,463 8,1730 7,1789 6,395 5, ,4751 5,15 49, ,968 43, , ,741 34,5736 3, ,584 30,3193 9,66 8,141 7,569 6, , , , ,78 44, ,337 37, , ,066 3,605 31, ,791 9,486 8,740 7, , ,966 5, , ,73 4, , , , ,7109 3,461 31, ,85 9,908 8,3361 Distribución Chi Cuadrado. g = Grados de Libertad. p = Probabilidad de encontrar un valor mayor o igual que el chi cuadrado tabulado g/p 0,001 0,005 0,005 0,01 0,05 0,05 0,1 1 10,874 9,1404 7,8794 6,6349 5,039 3,8415, , ,987 10,5965 9,104 7,3778 5,9915 4, ,660 14,30 1, ,3449 9,3484 7,8147 6, ,466 16,438 14,860 13,767 11,1433 9,4877 7, , , , ,0863 1,835 11,0705 9,363 6,4575 0,491 18, , ,4494 1, , ,313,040 0,777 18, ,018 14,0671 1, ,139 3,774 1,9549 0,090 17, , , ,8767 5,465 3,5893 1, ,08 16, , ,5879 7,1119 5,1881 3,093 0,483 18, ,987 3

4 08/11/01 EJEMPLO CHI CUADRADO DE PEARSON Tabla de frecuencias experimentales Respuesta a un tratamiento No Sí Total (marginales por filas) No Obesidad Sí Total (por columnas) (total muestra) Se construye la tabla de frecuencias teóricas ( Hipotesis nula). Respuesta a un tratamientot t No Sí Total (marginales por filas) No 33,3 6,7 60 Obesidad Sí 16,7 13, Total color pelo Total muestra 90 60x50/90 = 33,3 60x40/90 = 6,7 30x50/90 = 16,7 30x40/90 = 13,33 EJEMPLO CHI CUADRADO DE PEARSON DIFERENCIAS ENTRE AMBAS DISTRIBUCIONES?. Se calcula el valor del estadístico Chi-Cuadrado de Pearson exp.= (40-33,3) /33,3 + (0-6,7) / 6,7 + (10-16,7) / 16,7+ (0-13,3) / 13,3= 9,1 COMPARACION FRENTE A LEY TEORICA: Grados de libertad=(número de filas 1)x(número de columnas-1). g/p 0,001 0,005 0,005 0,01 0,05 0,05 0,1 1 10,874 9,1404 7,8794 6,6349 5,039 3,8415, , ,987 10,5965 9,104 7,3778 5,9915 4, ,660 14,30 1, ,3449 9,3484 7,8147 6,514 teor. = 3,84 (p<0,05) < Diferencias estadísticamente significativas con p<0.05 teor.= 6,63 (p<0,01) < Diferencias estadísticamente significativas con p<0.01 teor. = 10,83 (p<0,001) > No se encuentran diferencias estadísticamente significativas con p< Por lo tanto la significación estadística de nuestro test estadístico está entre 0.001<p<0.01 4

5 08/11/01 Test Exacto de Fisher El contraste de homogeneidad mediante la prueba Chi-Cuadrado entre dos variables cualitativas (o también llamado contraste de independencia entre dos variables cualitativas) se basa en la comparación de las frecuencias obtenidas con las frecuencias esperadas. La prueba exacta de Fisher está basada en la distribución exacta de los datos y no en aproximaciones asintóticas, y presupone que los marginales de la tabla de contingencia están fijos. Cuando en un 0% de las casillas el valor esperado no es superior a 5, el estadístico anterior no es válido y generalmente se utiliza la prueba exacta de Fisher. Habitualmente, la prueba exacta de Fisher es más conservadora que la prueba Chi-Cuadrado. La prueba exacta de Fisher se aplica a variables dicotómicas Test Exacto de Fisher Para calcular el estadístico de contraste, se construye en primer lugar la tabla de contingencia de dimensiones x con las frecuencias absolutas observadas, con la notación siguiente: A B + - A continuación, se construyen todas las tablas de contingencia x posibles con celdas a, b, c, d, siendo + a b f 1 0 < a < mín{c1, f1}, b = f1 a, c = c1 a y d = f c. - c d f A partir de dichas tablas se calcula: c 1 c n f1! f! c1! c Donde X! indica el factorial de X que n! a'! b'! c'! d se calcula como x (x-1) (x-) 1, por ejemplo, 5!= =10. p El p-valor unilateral-izquierda es = a ' a' a el p-valor unilateral-derecha es = a' a y el p-valor bilateral resultante es: p a p ' a! '! 5

6 08/11/01 Ejemplo: A partir de la tabla F1 F C C Calcular el valor p correspondiente al Test de Fisher: F1 F 1º Calculamos la tabla para a=0 C C entonces 5!37!0!! 0, !0!5!0!17! 4!01!! 16!1! F1 F C ºº Calculamos la tabla para a=1 C !37!0!! 41!!4! 19! 18! entonces p a 1' 0,170 F1 F 3º Calculamos la tabla para a= C1 3 5 C entonces p a ' 0,3440 5!37!0!! 4!!3! 18! 19! 4º Calculamos la tabla para a=3 5!37!0!! 4!3!! 17!0! Entonces p a 3 ' Para a=4 p a4 =0,153 Para a=5 p a5 =0, El valor p bilateral es El valor p unil-izq.es: El valor p unil-der.es: p a a' a a' a F1 F C1 3 5 C ,3096 0,153 0,018 0,0310 Los valores de P para cada a a Pa , ,0310 0,170 0,3440 0,3096 0,153 0,9818 0,153 0,018 0,1435 6

7 08/11/01 Coeficiente de contingencia Una forma de cuantificar el grado de asociación entre dos variables es calcular los coeficientes de asociación, particularmente aprenderemos el coeficiente de contingencia. Es unvalor que se encuentra entre cero y uno,donde d la cercanía a cero indica independencia entre las variables. Matemáticamente el coeficiente de contingencia se define por : C N Donde k es la cantidad de celdas de la tabla de contingencia y ( Ei Ti ) Ti E i = frecuencia experimental observada en la celda i, T i = frecuencia teórica esperada en la celda i,si es que las variables fueran independientes. Ejemplo: En el caso de los fumadores en la tabla siguiente Mujeres Hombres Fumadores 65 (58) 80 (87) No Fumadores 35 (4) 70 (63) Los valores que aparecen sin paréntesis son las frecuencias absolutas experimentales (observadas) y los que aparecen con paréntesis son las frecuencias absolutas teóricas (esperadas), según estos valores el coeficiente de contingencia es: C ya que 3,35 0,115 3,35 50 (65 58) 58 (35 4) 4 (80 87) 87 (70 63) 63 3,35 Este valor del coeficiente de contingencia refleja que el grado de asociación entre las variables es mínimo, es decir que fumar no depende del sexo de los individuos. 7

8 08/11/01 Prueba Test de Mc Nemar Prueba no paramétrica para dos variables dicotómicas relacionadas. Contrasta los cambios en las respuestas utilizando la distribución de chi-cuadrado. Es útil para detectar cambios en las respuestas debidas a la intervención experimental en los diseños del tipo "antes-después opara comparar dos tipos de tratamiento. En una tabla de contingencia: A B a b - c d Matemáticamente el Estadístico de Mc Nemar se define por : ( b c 1) MN b c Nota: Para el valor p, se utiliza la Tabla de con 1 grado de libertad Ejemplo 1 Se ejecutó la intervención educativa Salud bucal para modificar los conocimientos sobre higiene bucal en alumnos de tercer grado durante el primer semestre de La tabla muestra los resultados obtenidos en conocimientos generales: Despues Inadecuado Adecuado Antes Inadecuado Adecuado 0 7 MN ( b c 1) b c (10 0 1) MN 85 10,83 p 0,001 8

9 08/11/01 Ejemplo En la tabla se muestra el Grado de variación de las respuestas subjetivas de dolor en el raquis entre test previo y test posterior a una intervención en grupos experimentales de primaria y secundaria GRUPOS EXPERIMENTALES CONTRASTE DE ASOCIACIÓN DE RESPUESTAS TEST PREVIO No dolor Si dolor TOTALES TEST No dolor POSTERIOR Si dolor Totales MN ( b c 1) b c ( 0 5 1) , 5 MN 3, 3,84 p 0,05 Ejemplo En la tabla se muestra el Grado de variación de las respuestas subjetivas de dolor en el raquis entre test previo y test posterior a una intervención en grupos experimentales de Bachillerato GRUPOS EXPERIMENTALES CONTRASTE DE ASOCIACIÓN DE RESPUESTAS TEST PREVIO No dolor Si dolor TOTALES TEST No dolor POSTERIOR Si dolor Totales ( b c 1) ( 10 1) 49 MN 4,08 b c 10 1 MN 4,08 3,84 p 0,05 9

10 08/11/01 Tabla de Pruebas según tipos de variables. n Grande (suficiente) Menos de 0% de celdas con frecuencia esperada < 5 n pequeña (necesidad de correción) Más de un 0% de celdas con frecuencia esperada < 5 ó algún valor 0 Muestras independientes: Variable 1 Variable n Grande n pequeña Cualita. ( cat.) Cualita. ( cat.) de Pearson Test de Fisher Cualita. ( ó más cat) Cualita. ( ó más cat) de Pearson Correción de Yates Muestras pareadas: Tablas de x- Test del Chicuadrado de Mc Nemar 10