INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ua ecuació diferecial es ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes co respecto de ua ó mas variables idepedietes. Clasificació de las ecuacioes difereciales Clasificació segú su tipo: Ecuació diferecial ordiaria(edo): es ua ecuació diferecial que sólo cotiee derivadas ordiarias de ua variable depediete co respecto a ua sola variable idepediete. d y Ejemplos: + 5 y= x e x d y, + cosy = x + y Ecuació diferecial e derivadas parciales: es ua ecuació diferecial que sólo cotiee las derivadas parciales de ua ó más variables depedietes, respecto de dos ó más variables idepedietes. u u Ejemplos: + x = u e x, u + se y= xy, x y x u u + x = y + z x d z Clasificació segú el orde: El orde de ua ecuació diferecial (ordiaria o e derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orde e la ecuació. Segudo orde d y + cosy primero orde 3 d y = x + y, es ua ecuació diferecial ordiaria de segudo orde Nota: Toda ecuació diferecial de ordiaria de orde e ua sola variable se puede expresar como: F(x, y, y,..., y () ) = 0, (*) dode F es ua fució de valor real de + variables: x, y, y,..., y (), e la que y () d = y. Bajo ciertas codicioes la ecuació (*) tambié se puede expresar: d y = f(x, y, y,..., y (-1) ) (**) d La ecuació: y = f(x, y, y,..., y (-1) ) es la forma ormal de la ecuació (*) 1

2 d Clasificació segú su liealidad: se dice que ua ecuació diferecial ordiaria de orde es lieal si: F(x, y, y,..., y () ) = 0, si F es lieal e y, y,..., y (-1), es decir, a (x) y d 1 y d y + + a 1(x) + a 0(x) y = g(x) + a -1(x) -1 Ejemplo Idicar la(s) ecuació(es) diferecial(es) lieal(es): i) (1-y) y + y = cosx iii) (1-x)y + x y =e x d ii) (3-x) y d + y d = x iv) 3 y + y = 0 3 SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA Ua solució de la ecuació: F(x, y, y,..., y () d ) = 0 ó y = f(x, y, y,..., y (-1) ), e u itervalo I es ua fució y = ϕ(x) defiida e el itervalo I, tal que exista ϕ, ϕ,...,ϕ () e el itervalo I, y que verifique: ϕ () (x)= f(x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (-1) (x)), x I 1 c x Ejemplo: Aalizar si y = e, es ua solució de la ecuació: x x y + y - l(xy) = 0

3 SOLUCIÓN EXPLÍCITAS E IMPLICITAS Cosideremos ua ecuació diferecial ordiaria(edo) de orde : F(x, y, y,..., y () ) = 0, dode x I Ua solució explícita de la EDO es ua fució y = ϕ(x) que es veces cotiuamete difereciable que satisface la EDO, es decir, F(x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ () (x))= 0, x I Ua solució implícita de la EDO es ua relació: G(x, y) = 0, x I, de modo que cuado derivemos implícitamete dicha relació, obtedremos la EDO. Ejemplo x y Aalizar si y(x) tal que + = c, es ua solució de la ecuació: y = - x y CLASIFICACION DE LA SOLUCIÓN DE UNA EDO Cosideremos ua ecuació diferecial ordiaria(edo) de orde : F(x, y, y,..., y () ) = 0, dode x I La solució geeral de ua ecuació diferecial es ua expresió que, depede de costates arbitrarias, cotiee a todas ó casi todas las solucioes de dicha ecuació. La solució particular de ua ecuació diferecial es ua expresió que se obtiee de la solució geeral a dar valores particulares a las costates. La solució sigular de ua ecuació diferecial es ua expresió que o se puede obteer de la solució geeral. Ejemplo1 Dada la ecuació diferecial: y + y = 0. La solució geeral es: y = a sex + b cosx, dode a, b costates. La solució particular es: y = 3 sex + cosx, so las 3

4 Ejemplo La ecuació diferecial: y = x y 1/, tiee como: i) solució geeral: y = x + ; ( k) 4 x ii) solució particular: y = iii) solució sigular a: y = 0. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Dada la EDO de primer orde: P(x,y) y = f(x, y) y = - P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 Q(x,y) Se puede presetar los casos: a) EDO de variables separables Ua EDO es separable si es de la forma: y = h(x) g(y) ó P(x) dx + Q(y)dy = 0. P x dx + Q y dy = c es la Si: P(x) dx + Q(y) dy = 0, etoces, ( ) ( ) solució geeral. Ejemplo: Resolver x 3 dx + (e y + y - 1) dy = 0 4

5 a) EDO reductibles a ecuacioes de variables separadas Existe dos casos: i) De la forma: f 1(x)g 1(y) dx + f (y) g (x) dy = 0, dividiedo ambos miembros por f (x) g 1 (y), e itegrado: f1( x) dx f ( x) g( y) + dy = g ( y) 1 C 1 Ejemplo Resolver: (1 - x ) dy + se(y) dx = 0 ii) De la forma: y = f( a x + b y + c), dode a,b,c so costates. Haciedo el cambio z = a x + b y + c, se obtiee ua ecuació de d z variables separadas: bf ( z) + a Ejemplo Resolver: y =(y - x) 1/3 + 1 = dx + c a) EDO homogéeas Se dice que la fució h(x,y) es homogéea de grado m si: h(tx,ty) = t m h(x,y) Se dice que ua EDO: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, es homogéea si P(x,y) y Q(x,y) so fucioes homogéeas del mismo grado. Toda EDO homogéea, puede trasformarse a ua EDO de variables separable, mediate el cambio de variables z(x) = x y Ejemplo: Hallar la solució geeral de: (x + xy) dx + x y dy = 0 5

6 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Si para la ecuació diferecial: P dx + Q dy = 0, existe ua F(x,y) tal que F F = P; = Q x y, etoces, ecuació diferecial se deomia ecuació diferecial exacta. La solució de esta ecuació viee dada, implícitamete, por la expresió: f(x; y) = C Criterio para la diferecial exacta Sea cotiuas P(x,y) y Q(x,y), co derivadas parciales cotiuas e ua regió rectagular R={(x,y)/ a < x < b, c < y < d }. La E.D. : P dx + Q dy = 0, es exacta si y solo si. P Q = y x Método del factor itegrate A veces ocurre que la EDO: P dx + Q dy = 0, o es exacta, pero al multiplicar por ua fució μ (x,y) la ecuació resultate: (μ P) dx + (μ Q) dy = 0 es ua ecuació diferecial exacta. E este caso, μ(x,y) se llama factor itegrate de la ecuació diferecial. 6

7 Casos especiales de factores itegrates: Si (P y Q x )/ Q, es ua fució de x solamete, etoces u factor de la ecuació diferecial es: Py Qx μ( x) = e Q Si (Q x P y )/ P, es ua fució de y solamete, etoces u factor de la ecuació diferecial es: Qx Py dy μ( y) = e P Ejemplo: Resolver: (x + y + x ) dx + x y dy = 0 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LINEALES DE PRIMER ORDEN Ua ecuació diferecial lieal de primer orde es ua ecuació de la forma: y + P(x) y =Q(x); dode P y Q so fucioes cotiuas. Propiedad La ecuació diferecial: y + P(x) y =Q(x) se puede trasformar e ua ecuació de variable separable multiplicado a ambos lados de la ecuació por el factor de itegració e P(x)dx. La ecuació diferecial: y + P(x) y =Q(x), tiee como solució geeral a: y = e P(x)dx. P(x)dx. { e Q(x)dx + c } 7

8 dy Ejemplo: Resolver: = x (- y) dx ECUACION DE BERNOULLI Es ua ecuació de la forma: dy + yp(x)= y Q(x), 0, 1 dx Si realizamos el cambio. z = y 1, la E.D: de Beroulli se Trasforma e ua E.D. lieal PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Co frecuecia os iteresa resolver ua EDO sujetas a codicioes complemetarias, las cuales so las codicioes que se impoe a la fució icógita y = y(x) y a sus derivadas. E algú itervalo I que cotega a x 0, el problema: d Resolver: y = f(x, y, y,..., y (-1) ) Sujeto a: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,, y (-1) (x 0 ) = y (-1)...(1) dode y 0,y 1,,y (-1) so costates reales especificadas.,se llama PROBLEMA DE VALORES INICIALES, coocido tambié como el problema de valor iicial de -ésimo orde. Los valores dados de la fució descoocida y(x) y de sus primeras (-1) derivadas e u solo puto x 0 : y(x 0 )= y 0,y (x 0 )=y 1,,y (-1) (x 0 )= y (-1) se llama las codicioes iiciales. 8

9 INTERPRETACION GEOMETRICA DE VALORES INICIALES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN d y a) P.V.I: = f(x, y) y(x 0 )= y 0 d y b) P.V.I: = f(x, y) y(x 0 )= y 0, y (x 0 )= y 1 (x 0,y 0) Se busca ua curva solució e el itervalo I que cotega a x 0 tal que la curva solució pase por el puto (x 0,y 0 ) Se busca ua curva solució e el itervalo I que cotega a x 0 tal que la curva solució pase por el puto (x 0,y 0 ) y la pediete e ese puto sea y 1. Ejemplo: Resolver: i) secy dx x dy= 0, co y(π)= 0 ii) y = se x y, co y(0)= 0.5 9

10 EXISTENCIA Y UNICIDAD Dado el P.V.I: y (x) = f (x, y), y (x 0 ) = y 0 (1) Al teer este problema suge dos pregutas: i) tedrá solució? ii) la solució será úica? EXISTENCIA: Para garatizar la existecia se impoe la cotiuidad de f UNICIDAD Para garatizar la uicidad de la solució, se impoe la cotiuidad de f y la codició de Lipschitz. TEOREMA (de existecia y uicidad ) Si la fució f(x, y) es cotiua e el rectágulo: R = {(x, y)/ x-x 0 a, y-y 0 b} y satisface la codició de Lipschitz e R,es decir: f(x,y 1 ) - f(x,y ) K y 1 y, para todo (x,y 1 ), (x,y ) R, dode N es ua costate. Etoces, existe ua y solo ua solució y = ϕ(x), de la ecuació (1) defiida e el itervalo [x 0 - h, x 0 + h], dode h <mi (a, M b, K 1 ) ; M = max f(x,y). (x,y) R COROLARIO f Si la fució f, so cotiuas e: R = {(x, y)/ x-x 0 a, y-y 0 b } y Etoces, existe ua y solo ua solució y = ϕ(x) de la ecuació (1), b 1 defiida e el itervalo [x 0 - h, x 0 + h], dode h <mi (a,, ) ; M K M = max f(x,y) ; K es ua cota de (x,y) R f y e el rectágulo R. 10