INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

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1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Uiversidad Nacioal de Colombia Docete Facultad de Matemáticas FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ Bogotá Diciembre

2 Resume Se preseta ua itroducció a las ecuacioes e diferecias Primero se eucia los coceptos de sucesió y series ecesarios para el desarrollo del tema Posteriormete se explica las ecuacioes e diferecias de primer orde siguiedo co las ecuacioes e diferecias de orde dos y orde N a cotiuació se muestra u cocepto básico de sistemas de ecuacioes lieales e diferecias y por ultimo u paralelo etre ecuacioes e diferecias y ecuacioes difereciales Abstract Itroductio to the Differece Equatios: A itroductio to the differeces equatios appears First ecessary successio ad series cocepts are euciated for the developmet of the topic Later first order differeces equatios are explaied ad follow the secod order ad N-order differeces equatios ext a basic otio of liear systems i differeces equatios is show; fially a brief compariso betwee differece equatios ad differetial equatios is preseted

3 Itroducció 4 Reseña histórica5 ECUACIONES EN DIFERENCIAS8 Sucesioes Aritméticas y Geométricas8 Ecuacioes e Diferecias 8 Ecuacioes e Diferecias lieales de primer orde co coeficietes costates Ecuacioes e diferecias y razoes comues o costates 4 Métodos de solució por Diferecias y Sumas 5 Diferecias 5 Diferecias de poliomios5 Sumas 7 4 Alguas propiedades de los operadores 8 5 Aplicació de la sumatoria 9 6 Diferecias de segudo orde y orde N ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINELAES DE ORDEN SUPERIOR Ecuacioes e diferecias lieales Solucioes geerales de Ecuacioes e Diferecias lieales homogéeas de segudo orde co coeficietes costates 5 Solucioes particulares de ecuacioes e diferecias lieales de segudo orde co coeficietes costates 7 Ecuacioes e diferecias lieales de tercer orde o superior 7 Sistemas lieales de ecuacioes e diferecias 8 Sistemas de ecuacioes lieales homogéeos 9 Sistemas o homogéeos ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES Aalogías etre el cálculo de diferecias y el cálculo diferecial La ecuació e diferecias como aproximació a la ecuació diferecial U modelo probabilístico sobre el apredizaje 6 4 Coclusioes 4 Bibliografía:4

4 Itroducció Las ecuacioes e diferecias y difereciales ordiarias so herramietas versátiles de aálisis So ua excelete represetació de u gra úmero de situacioes diámicas y su teoría asociada es suficietemete rica para sumiistrar elemetos para su compresió Múltiples problemas de sigificativa importacia e diversos campos del saber humao requiere para su estudio de la elaboració de u modelo matemático que los represete Estos modelos está costituidos pricipalmete por Ecuacioes Difereciales y Ecuacioes e Diferecias Esto se evidecia por el hecho que detro de las matemáticas aplicadas las Ecuacioes Difereciales juega u papel muy importate e las disciplias cietíficas E sus iicios aparece e problemas mecáicos y geométricos posteriormete su campo de aplicació se va extediedo a todas las ramas de la física y e los últimos años es comú ecotrarlas aplicadas a disciplias ta diversas como la biología la ecoomía la igeiería la sociología y la fisiología etre otras De más reciete aparició so las Ecuacioes e Diferecias las cuales ha adquirido ua importacia relevate co el creciete estudio y simulació de sistemas discretos e las diferetes disciplias que modela y estudia sistemas discretos como la igeiería y la ecoomía dado que este tipo de modelamieto es más ajustado a la realidad Por otra parte es ua área importate e otras carreras como Igeierías y Ecoomía lo cual os permite ver que tiee u exteso campo teórico como practico elemetal e el perfeccioamieto de dichas carreras co lo cual podemos observar que es de gra iterés el estudio de las Ecuacioes e Diferecias ya que seria de gra apoyo a estas el poder ecotrar artículos básicamete efocados a las Ecuacioes e Diferecias 4

5 Reseña histórica Desde hace por lo meos 5 años se resuelve problemas que da lugar a ecuacioes E los escritos de los atiguos babiloios y egipcios se ha descifrado tales problemas y la forma de resolverlos Alguas de las atiguas tablillas cotiee problemas de tipo algebraico y geométrico pero las solucioes o utiliza ocioes de la geometría U atiguo pergamio de los babiloios cotiee la solució de la ecuació: x - x 87 Tómese la mitad de que es el coeficiete de x y cuádrese Etoces súmese /4 a 87 para obteer 48/4 Ahora tómese la raíz cuadrada de 48/4 para obteer 59/ Al úmero obteido súmese la mitad de que es el coeficiete de x El resultado obteido es ua solució de la ecuació" Durate el desarrollo de la historia ecotramos ua primera fase que comprede el periodo de 7 a de C a 7 d de C se caracterizó por la iveció gradual de símbolos y la resolució de ecuacioes Detro de esta fase ecotramos u álgebra desarrollada por los griegos a de C llamada álgebra geométrica rica e métodos geométricos para resolver ecuacioes algebraicas La itroducció de la otació simbólica asociada a Viète 54-6 marca el iicio de ua ueva etapa e la cual Descartes cotribuye de forma importate al desarrollo de dicha otació E este mometo el álgebra se covierte e la ciecia de los cálculos simbólicos y de las ecuacioes Posteriormete Euler la defie como la teoría de los "cálculos co catidades de distitas clases" cálculos co úmeros racioales eteros fraccioes ordiarias raíces cuadradas y cúbicas progresioes y todo tipo de ecuacioes Para llegar al actual proceso de resolució de la ecuació ax b c ha pasado más de años Los egipcios os dejaro e sus papiros sobre todo e el de Rhid -65 a de C- y el de Moscú -85 a de C- multitud de problemas matemáticos resueltos La mayoría de ellos so de tipo aritmético y respodía a situacioes cocretas de la vida diaria; si embargo ecotramos alguos que podemos clasificar como algebraicos pues o se refiere a igú objeto cocreto E éstos de ua forma retórica obteía ua solució realizado operacioes co los datos de forma aáloga a como hoy resolvemos dichas ecuacioes 5

6 Las ecuacioes más utilizadas por los egipcios era de la forma: x ax b x ax bx dode a b y c era úmeros coocidos y x la icógita que ellos deomiaba aha o motó por motó era coocidos los úmeros eteros Ua ecuació lieal que aparece e el papiro de Rhid respode al problema siguiete: "U motó y u séptimo del mismo es igual a 4" E otació modera la ecuació sería: x / 7 x 4 La solució la obteía por u método que hoy coocemos co el ombre de "método de la falsa posició" o "regula falsi" Cosiste e tomar u valor cocreto para la icógita probamos co él y si se verifica la igualdad ya teemos la solució si o mediate cálculos obtedremos la solució exacta Geeralmete el cálculo de la solució correcta o era ta fácil como e este caso e implicaba umerosas operacioes co fraccioes uitarias cuyo uso domiaba los egipcios E cuato el simbolismo solamete e alguas ocasioes utilizaba el dibujo de u par de pieras adado e direcció de la escritura o ivertidas para represetar la suma y resta respectivamete Los babiloios el mayor úmero de documetos correspode al periodo 6 a de C a d de C casi o le prestaro ateció a las ecuacioes lieales quizás por cosiderarlas demasiado elemetales y trabajaro más los sistemas de ecuacioes lieales y las ecuacioes de segudo grado Los primeros documetos matemáticos que existe data del siglo III d de C so los Sulvasütras dode se recoge todos los coocimietos ecesarios para costruir los templos Los sistemas de ecuacioes lieales fuero ya resueltos por los babiloios los cuales llamaba a las icógitas co palabras tales como logitud achura área o volume si que tuviera relació co problemas de medida 6

7 U ejemplo tomado de ua tablilla babilóica platea la resolució de u sistema de ecuacioes e los siguietes térmios: /4achura logitud 7 maos logitud achura maos Para resolverlo comieza asigado el valor 5 a ua mao y observaba que la solució podía ser: achura logitud Para comprobarlo utilizaba u método parecido al de elimiació E uestra otació sería: y 4x 8 y x restado la seguda de la primera se obtiee x 8 es decir x 6 e y 4 Tambié resolvía sistemas de ecuacioes dode algua de ellas era cuadrática Los griegos tambié resolvía alguos sistemas de ecuacioes pero utiizado métodos geométricos Thymaridas 4 a de C había ecotrado ua fórmula para resolver u determiado sistema de ecuacioes co icógitas Diophate resuelve tambié problemas e los que aparecía sistemas de ecuacioes pero trasformádolos e ua ecuació lieal Diophate sólo aceptaba las solucioes positivas pues lo que buscaba era resolver problemas y o ecuacioes Utilizó ya u álgebra sicopada como hemos señalado ateriormete Si embargo uas de las dificultades que ecotramos e la resolució de ecuacioes por Diophate es que carece de u método geeral y utiliza e cada problema métodos a veces excesivamete igeiosos Las ecuacioes e diferecias y difereciales ordiarias so herramietas versátiles de aálisis So ua excelete represetació de u gra úmero de situacioes diámicas y su teoría asociada es suficietemete rica para sumiistrar elemetos para su compresió 7

8 ECUACIONES EN DIFERENCIAS Sucesioes Aritméticas y Geométricas Defiició : Ua fució U que esta defiida e el domiio de todos los eteros o egativos se llama sucesió y se deota por { U } Y la ifiidad de valores de U se ordea e la forma U U U Cada uo de los valores que forma la sucesió se llama térmio de la sucesió Dado que la variable o es sio u úmero que represeta el orde de los térmios se puede decir que ua sucesió es u acomodo lieal de ua ifiidad de úmeros ordeados por cierta regla Las sucesioes más comues so las aritméticas y las geométricas Defiició : Ua sucesió aritmética esta compuesta de térmios que se obtiee sumado sucesivamete ua costate al primer termio La costate se llama diferecia comú Defiició : Ua sucesió geométrica costa de térmios que se obtiee multiplicado el primer térmio sucesivamete por ua costate que se llama razó comú Por cosecuecia para evitar casos excepcioales se permite que ua diferecia comú sea cero pero se supoe que toda razó comú es diferete de cero Ecuacioes e Diferecias Defiició 4: Sea A A y B fucioes coocidas que uca se hace cero e cierto domiio de la variable etoces A U A U B se llama ecuació e diferecias de primer orde lieal de U Defiició 5: Ua solució de ua Ecuació e Diferecias es ua fució que satisface la ecuació ó es ua fució que satisface ua ecuació dada para cualquier valor de la variable perteeciete a u domiio e el que esta defiida la fució Se hace otar que dada ua ecuació e diferecias ua solució defiida e esta forma o ecesariamete es úica El hecho que ua solució cotega ua costate arbitraria sigifica que hay ua catidad ifiita de 8

9 solucioes Auque este hecho parece extraño e u problema práctico hay alguas codicioes adicioales que debe satisfacerse juto co las Ecuacioes e Diferecias y así resulta que mediate dichas codicioes se seleccioa ua sola solució de etre ua ifiitada de ellas Defiició 6: Ua ecuació que defie el valor de ua fució e el valor iicial de la variable se llama codició iicial de la Ecuació e Diferecias de primer orde El valor de ua fució defiido por medio de ua codició iicial se llama valor iicial Defiició 7: Si ua solució de la Ecuació e Diferecias dada codicioes de uicidad cotiee costates arbitrarias y satisface codicioes iiciales ajustado apropiadamete dichas costates se llama solució geeral de la Ecuació e Diferecias Si se asiga valores particulares a las costates arbitrarias de ua solució geeral la solució obteida se llama solució particular Por lo cual e las Ecuacioes e Diferecias debemos teer e cueta problemas de existecia y uicidad de las solucioes bajo las codicioes iiciales dadas e u problema práctico de progresioes geométricas basta co obteer ua solució que satisfaga ua codició iicial dada Por el cotrario cuado au método que empiece co el valor iicial e itroduzca valores coocidos e la ecuació e forma repetida para ecotrar la solució sucesivamete se le llama método de iteració o iterativo Este tipo de métodos se utiliza a meudo para resolver ecuacioes uméricas Si se cumple las codicioes siguietes i El valor iicial U es dado ii Dados valores arbitrarios de la variable x U x y U x es determiado de Maera úica mediate la ecuació e diferecias Defiició 8: Pricipio de iducció matemática i El valor U de U x e x es úico ii Si el valor U para x esta determiado de maera úica etoces el valor de U para x tambié esta determiado de maera úica De esta maera para las ecuacioes e diferecias que satisfaga la codició ii la existecia y uicidad de las solucioes bajo las 9

10 codicioes iiciales dadas queda probadas mediate pricipio de iducció matemática Ecuacioes e Diferecias lieales de primer orde co coeficietes costates Ecuacioes tales que esté defiidas e cierto domiio de ua variable y que relacioe ua fució icógita de la variable co la fució de la variable que difiere e de la primera por ejemplo U yu se llama Ecuacioes e Diferecias de primer orde E geeral ua ecuació que relacioe ua fució icógita U co U U U N se llama Ecuació e Diferecia o Ecuació e Diferecias fiita de orde N A meos que se diga específicamete otra cosa se supodrá que y U varía e el cojuto de los úmeros eteros y el de los reales respectivamete Ejemplo: Si teemos la ecuació e diferecias defia como sigue: U U au y remplazado por e la ecuació etoces teemos U U au etoces teemos ua ecuació e diferecias co a defia como ua costate Defiició 9: Si e particular e la ecuació e diferecias lieal de primer orde A U A U B la fució B es idéticamete cero y A A a fucioes coocidas que uca se hace cero e cierto domiio de la variable Etoces U au se llama ecuació e diferecias homogéea co coeficietes costates Teorema : Sucesió geométrica Sea a ua costate distita de cero la ecuació e diferecias U au tiee como solució la familia U Ca para cualquier valor de parámetro C

11 Demostració: se sustituye por e la ecuació y se tiee U Ca las ecuacioes y implica que U U Ca Ca a Ca remplazado de a U Por lo tato la ecuació es ua solució de la ecuació Si se hace e la ecuació U C Eligiedo C adecuadamete se satisface la codició iicial Obviamete la ecuació cumple la codició de uicidad Por cosiguiete la ecuació es ua solució geeral de la de la ecuació Teorema : Sucesió aritmética Sea U U b 4 tiee como solució la familia U C b 5 Demostració: A partir de U U b U U b U b se sustituye por e la ecuació 5 y se tiee U c b las ecuacioes 5 y 6 implica que U U C b C b b 6 Por lo tato la ecuació 5 es ua solució de la ecuació 4 Si se hace e la ecuació 5 U C Nota: No es posible imagiar por su aturaleza que u problema de progresió geométrica tuviera dos solucioes Si bie se obtuvo ciertamete ua solució úica de ua progresió geométrica utilizado u método iterativo se cosidera el procedimieto geeral para resolver ua Ecuació e Diferecias mediate este método

12 Eligiedo C adecuadamete se satisface la codició iicial Obviamete la ecuació 4 cumple la codició de uicidad Por cosiguiete la ecuació 5 es ua solució geeral de la de la ecuació 4 Defiició : Si e particular e la ecuació e diferecias lieal de primer orde A U A U B se tiee que las fucioes A A so costates se le llama de coeficiete costate Puesto que se supoe que A o se hace cero se puede dividir ambos miembros de la ecuació por A Si se hace A B A y R A A etoces U A U R 7 se cosidera la forma geeral de la ecuació e diferecias de primer orde lieales Teorema : Sea la ecuació 7 para los A Demostració: Si teemos etoces e 7 U AU B U AU B A U A B U AU B A U A A B B A U A A B lo cual sugiere ua solució geeral de la forma U A U A A A A El coeficiete de b es ua sucesió geométrica y por lo tato A U A U B A si A U U B si A Si A esta cocuerda co la ecuació 5 si U se escribe como C U x C xb

13 Si A se escribe e la forma x B B U A U A A B Si hacemos U C etoces A B U CA A A Ecotrado así la solució geeral de la ecuació 7 co ua costate arbitraria C Defiició : Si C etoces U se reduce a la fució costate B Este se llama valor de equilibrio de U y se deota por U A ; B U A Por cosiguiete la solució geeral se escribe etoces de la forma U CA U Ejemplo : U U 5 E este caso se sugiere que U K K como el segudo miembro de la ecuació Etoces U U { K K } { K K } K K K comparado el coeficiete de y el termio costate de esta expresió co los correspodietes de 5 se tiee K K K 5 De dode se obtiee K y K Por lo tato U es solució particular Ua solució geeral es U C Ejemplo : U U Puesto que α a se supoe que U K Etoces U U K K K Por lo tato K esto es geeral es K y U C U Ua solució

14 Ecuacioes e diferecias y razoes comues o costates Teorema 4: Sea U A U 8 para los A tales que o se hace para igú valor de Demostració: Si se busca la solució sucesivamete por el método de iteració partiedo de U se tiee U U A U U A U A A U U A U A A A Normalmete se adopta el símbolo para represetar u producto de A y se defie térmios sucesivos de ua sucesió { } para i m m i A A m A m A i A i Etoces U U U U U U A A A A partir de estas expresioes se ifiere ua solució geeral de la ecuació 8 U C A C U Esta se geeraliza e U C α A C U α α α para ua sucesió que empiece desde α 4

15 Métodos de solució por Diferecias y Sumas Diferecias Defiició : Dada ua fució U y ua costate h talque h perteezca al domiio de dicha fució deomiaremos primera diferecia de U a aquella fució cuyo valor e viee dado por U U h U desigado así a esta fució por U y su valor particular e lo simbolizaremos por U El símbolo es llamado operador diferecia y colocado ates de la fució idica que esta se ha trasformado e la fució diferecia El umero h recibe el ombre de itervalo de diferecia E uestro caso h etoces la ecuació seria: U U U La primera diferecia correspodiete a la fució U es: U ósea La diferecia correspodiete a u valor costate C esta defiida por: U C C C etoces C La diferecia correspodiete a ua fució a esta dada por: U a a a a a por lo que se tiee que a a a Ejemplo : Si U U { } Ya que U Además U U 5 U 7 U 9 K Etoces U 5 U 7 5 U 9 7 K La grafica de es ua recta La diferecia se llama pediete de la recta que es precisamete el coeficiete de Diferecias de poliomios 5

16 6 Defiició : El calculo e diferecias de u poliomio se reduce a calcular la diferecia de Si embargo la diferecia o resulta expresada co ua formula muy secilla Ejemplo : Ua fució que es fudametal para calcular la diferecia y suma de poliomio es la fució factorial defiida como!! M Ejemplo : Para poder calcular la diferecia de la ecuació etoces teemos para :!!!!!!!!!!! Por lo tato K

17 Ejemplo 4: La fució defiida por! Se llama coeficiete biomial De la ecuació!!! Por lo tato Sumas Defiició 4: Sea U y u dos fucioes talque U u etoces u se llama diferecia de U Recíprocamete U se llama ua suma idefiida de u Así la solució geeral de U u se deota por u Etoces si U u teemos que u U C dode C es ua costate arbitraria Ejemplo 5: 4 4 esto implica que 4 C 4 Las operacioes para calcular la diferecia y obteer ua suma de ciertas fució se represeta escribiedo los símbolos y respectivamete ates de dicha fució E este setido y se llama operadores Si se suma la diferecia U se obtiee U Esta expresió se escribe e la forma U y se llama producto de los operadores y El producto se defie de maera semejate El producto de dos operadores sigifica que se realiza dos operacioes sucesivas Nota: si se deota ua solució particular de la ecuació e diferecias co la propia U la solució geeral de la ecuació e diferecias es U C Pero si se permite que la solució tome valores o eteros etoces C debe ser ua fució arbitraria co periodo 7

18 Auque tato como so el producto de y o so operadores iguales es decir o represeta la misma operació Si se sustituye la ecuació e el primer miembro de la seguda ecuació para elimiar u etoces resulta U U C 4 Puesto que por defiició u es ua solució de U u etoces u u 5 Como u es arbitraria se puede remplazar co U Etoces de las ecuacioes 4 y 5 U U C Por cosiguiete e geeral U U 4 Alguas propiedades de los operadores Teorema 5 : Ley comutativa respecto a las costates Si C es ua costate la diferecia de la fució CU es igual al producto de C por la diferecia de U ósea: Demostració: [ CU ] [ CU ] C U CU CU C U [ U ] C U Ejemplo 6: Teorema 6: Ley distributiva La diferecia de la suma de dos fucioes es igual a la suma de sus diferecias es decir si U y U so dos fucioes se tedra: [ U U ] U U 8

19 Demostració: [ U U ] [ U U ] [ U U ] [ U U ] [ U U ] U U Colorario: Dadas fucioes U U U ; KU y costates arbitrarias C C C; KC se tedrá [ C U C U K C U ] C U C U K C U para todo valor etero positivo 5 Aplicació de la sumatoria Defiició 5: Suma de series Si e la ecuació U C α R que empiece desde C U α α α para ua sucesió α si remplazamos R co u se obtiee U U α u α Se puede cosiderar que esta formula dice que la suma de la serie del segudo miembro esta represetada co las sumas de u del primer miembro debido a que si u U C etoces u u α U U α lo cual implica que α u u u α Hagamos y α m dode m y so eteros o egativos Etoces la ecuació aterior se covierte e u u u m m m El segudo miembro de la ecuació se deota por [ ] suma defiida de u de m a u m y se llama Solucioes geerales de ecuacioes e diferecias de primer orde lieales El problema de resolver ua ecuació e diferecias de primer orde lieal se puede reducir a u problema de sumatoria Por simplicidad se cosidera ua ecuació e diferecias co coeficietes costates U au R a 6 9

20 Ua solució particular de la ecuació homogéea U au que resulta de la ecuació 6 haciedo que R sea cero es a Sea ahora U a V y obtégase ua ecuació e diferecias para V El primer miembro de la ecuació 6 resulta ser { V V } U au a V a a V a dividiedo ambos miembros de la ecuació 6 por a se tiee V a R Por cosiguiete V { a R } C Si se multiplica esta expresió por a se tiee R U Ca a 7 a que es la solució geeral de la ecuació 6 El primer termio es precisamete la solució geeral de U au E el caso que el coeficiete o es costate basta reemplazar a a y el primer termio co U C A C U respectivamete A A y la ecuació Ejemplo: Resolver U au b a Sustitúyase b por R e la ecuació 7 Etoces U Ca Ca a a b a b a a Ca a Ca b b a 6 Diferecias de segudo orde y orde N Defiició 6: A partir de la fució a U se defie la fució U y si a su vez se puede defiir su diferecia [ U ] Esta se llama diferecia de segudo orde de U y se escribe U represeta el cuadrado del operador diferecia De maera semejate se puede

21 por medio de [ U ] N defiir N U por ejemplo si U { } para cualquier umero atural N 4 5 K N De la defiició aterior es obvio que es u operador lieal Esto es N N N { au bv } a U b V Ahora bie dado que U U U U U { U U U } { U U U } U U U U y asi sucesivamete Ua tabla dode se elista los valores de U U U K se llama tabla de diferecias Se acostumbra colocar el valor U a etre los regloes Ua y Ua 4 5 U U U U Tabla Diferecias de Ya sabemos como expresar u poliomio U de grado N e térmios de fucioes factoriales Ahora se demuestra que los coeficietes se N represeta utilizado U U U Sea x U A A A A U A U A N U N! A y calculamos sucesivamete las diferecias U A A A NA M N A N N N N A N A N N A N N N N N

22 se sustituye e las formas ateriores puesto que N se tiee N U A U A U! A U! A U N! AN De aquí se determia de imediato A A AN Si U es u poliomio e la variable etoces N N U U U U U U 8!! N! Y esta ecuació se llama formula de iterpolació de Newto Si se emplea coeficietes biomiales se escribe e la forma N U U U U U U 9 N Si se usa ua tabla de diferecias la ecuació 8 sirve para represetar u poliomio e térmios de fucioes factoriales Ejemplo: represetar 5 e térmios de fucioes factoriales N U - 4 U U 6 U x Tabla Tabla divisió sitética U 4 6 6!! 4 Dada ua fució utilizado la formula de Newto se puede costruir u poliomio que adquiera los mismos valores que tiee la fució cuado Se puede cosiderar al poliomio como ua aproximado de la fució e u puto que o sea etero E este setido las ecuacioes 8 o 9 se les llama alguas veces formula de iterpolació de Newto

23 ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINELAES DE ORDEN SUPERIOR Ecuacioes e diferecias lieales Defiició : La ecuació A U N A U N A U AN U se llama ecuació lieal e diferecias de ua fució icógita U N Defiició : Si tato A como A N so fucioes que uca se hace cero se dice que la ecuació es de N-ésimo orde o ua ecuació de orde N R se llama térmio o homogéeo y si es la costate es la ecuació se llama homogéea Si todas las fucioes A A AN AN R so costates etoces se dice que la ecuació es de coeficietes costates Ejemplo: U U U Esta se vuelve a escribir como U u y se puede ecotrar ua solució efectuado sumatoria repetidamete Puesto que U { U } si se hace U u la ecuació e diferecias se covierte e u esto es la ecuació se separa e dos ecuacioes u implica que u C Si se remplaza u co C e la primera ecuació U u se tiee U C Por lo tato U C C C La ecuació aterior es solució geeral de la ecuació U u verificar Cosidérese ahora la ecuació e diferecias dada remplazado R co ua fució S e el segudo miembro de A U N N A U N AN U S supógase que U y U so solucioes de las ecuacioes y respectivamete Sea U CU CU C y C so costates R

24 Etoces A U N A U N AN U A { CU N CU N } A { CU N CU N } AN { CU CU } C{ A U N A U N AN U } C { A U N A U N A U N} las expresioes que sigue etre llaves a C y C so las ecuacioes y igualadas a R y S respectivamete Por cosiguiete U es ua solució de la ecuació e diferecias A U N N A U N AN U CR CS Defiició : Si U es ua solució geeral cotiee N costates arbitrarias y puede satisfacer ua codició iicial dada Si U es ua solució particular U cotiee tambié N costates arbitrarias y puede satisfacer ua codició iicial ya que U es la suma de U y ua fució totalmete determiada Por lo tato U es ua solució geeral de la ecuació Si U es tambié ua solució geeral co mayor razó U lo es i Si U y U so respectivamete solucioes de las ecuacioes e diferecias lieales y cuyos coeficietes so iguales etoces U CU CU es ua solució de la ecuació lieal e diferecias cuyos coeficietes so iguales a los de las ecuacioes ateriores y cuyo termio o homogéeo es { C R CS } dode R y S so los térmios o homogéeos de las ecuacioes y respectivamete E el caso especial de que algua de las fucioes U y U sea ua solució geeral etoces U tambié es solució geeral de la ecuació Si se elige S y C C esta proposició implica lo siguiete: ii Ua solució geeral de la ecuació lieal e diferecias es la suma de ua solució particular de la propia ecuació y ua solució geeral de la ecuació lieal e diferecias 4

25 homogéea obteida haciedo igual a el segudo miembro de Por lo tato el problema de resolver la ecuació se ha separado e dos problemas Se llamara solució homogéea de la ecuació a ua solució geeral de la ecuació e diferecias lieal homogéea obteida haciedo el segudo miembro de igual a cero Cuado se resuelve ua ecuació e diferecias lieal homogéea es importate la siguiete proposició la cual es cosecuecia de i e el caso e que R S iii Si dos fucioes U y U so solucioes de ua ecuació e diferecias lieal homogéea etoces U CU CU es tambié solució de la misma ecuació para cualquier par de costates C y C Aplicado repetidamete esta proposició se puede geeralizar de tal forma que se cumple para el caso e que el úmero de solucioes es más de dos Solucioes geerales de Ecuacioes e Diferecias lieales homogéeas de segudo orde co coeficietes costates Defiició 4: La siguiete se llama Ecuació e diferecias lieal homogéea de segudo orde co coeficietes costates U au bu b 4 supógase la ecuació 4 posee ua solució de la forma U e e 5 Sustituyedo 5 e 4 se tiee e ae be Dividiedo ambos lados de la ecuació por e se tiee la ecuació e ae b 6 que e debe satisfacer De forma iversa si e satisface 6 la ecuació 5 es ciertamete ua solució de 4 Defiició 5: La ecuació 6 se llama ecuació característica de la ecuació 4 y las raíces de 5 se llama raíces características La ecuació 6 es cuadrática y e geeral tiee e y e Como es bie coocido estas raíces está dadas por la siguiete formula 5

26 e a a 4b e a a 4b Empleado estas raíces e y e se puede resolver el problema Sea C y C costates arbitrarias Hágase U C e si e e 7 Ce C e U C si e e Etoces U es ua solució geeral de la ecuació 4 Se demostrara este resultado Puesto que las raíces puede ser úmeros complejos U puede teer forma compleja Demostració: basta probar que U es solució de 4 y Se puede impoer arbitrariamete ua codició iicial Hemos visto ya que e y solamete os falta demostrar que e el caso e e Si e etoces U U e e 8 e so solucioes de 4 así que para demostrar e e es solució de 4 U e e Por lo tato U au bu e e ae b e ae Por lo tato e es ua solució de la ecuació 4 De esta maera se sabe ahora que e y e e la ecuació 7 y e y e e la ecuació 8 so solucioes de 4 De acuerdo co iii que establece la característica de ua ecuació e diferecias lieal homogéea queda probado Ahora se prueba Si se sustituye por y e la ecuació 7 resulta U C C U Ce Ce Si se hace U α y U β etoces α C C β Ce Ce Puesto que e e resolviedo estas ecuacioes se tiee β eα αe β C C e e e e Por lo tato dados α y β arbitrariamete si se determia C y C de las ecuacioes ateriores se cumple que U C C α U C e C e β Deomiadas raíces múltiples 6

27 esto es se satisface ciertamete la codició iicial De esta maera se ha demostrado que la ecuació 7 satisface E el caso e el que la raíz es múltiple se puede seguir el mismo procedimieto Verificar Solucioes particulares de ecuacioes e diferecias lieales de segudo orde co coeficietes costates Defiició 6: Ua solució geeral de la ecuació o homogéea U au b R b 9 es como se establece e ii la suma de ua solució geeral de la correspodiete ecuació homogéea ua solució homogéea y ua solució particular de la ecuació 9 La ecuació característica y las raíces características de 4 so tambié llamadas así co respecto a la ecuació 9 Para ecotrar ua solució particular de 9 el método de los coeficietes idetermiados tambié es muy apropiado y útil Por lo que se refiere a la forma supuesta de ua solució particular tambié es valida ua regla semejate a la que se cumple para as ecuacioes de primer orde Sea e y e las raíces características de la ecuació 9 y P N y Q N poliomio e de grado N e este caso si R α PN se puede ecotrar ua solució particular U de 9 haciedo U U U α Q N α Q α Q N N si si si α e α e α e y α e e e o α e e Si las costates α so úmeros complejos la clasificació aterior icluye el caso e que R es el producto de u poliomio e por ua suma de fucioes trigoometriítas Si R β seϕ γ cosϕ r PN se puede hacer U seϕ cosϕ r QN y así sucesivamete segú la clasificació dada ateriormete Pero icluso si R es de la forma aterior a veces es coveiete cosiderarla como la parte real de ua fució de valor complejo y usar el teorema de De Moivre Ecuacioes e diferecias lieales de tercer orde o superior 7

28 Defiició 7: Los métodos de solució ya mecioados tambié se puede aplicar a ecuacioes e diferecias lieales de orde tres o mayor Puesto que la ecuació característica de este caso es ua ecuació algebraica de grado N el umero de raíces es N Segú sea e ua raíz simple p ua de multiplicidad defíase ua fució mediate Ce ó C C C C e cada ua de las cuales correspode a u térmio de la ecuació 7 y 8 respectivamete Si se hace la suma de dichas fucioes se tiee ua fució que cotiee N costates arbitrarias Auque se omite la demostració se puede probar que esa fució es ua solució geeral de la ecuació homogéea como la del caso de segudo orde Si ua raíz compleja es de multiplicidad su cojugada compleja tambié es raíz de multiplicidad Por lo tato e este caso basta remplazar los i coeficietes C e de e la ecuació co la expresió de la formula U Cr cos θ C' r se θ Pero e muchos casos a diferecia del caso de segudo orde resulta muy laborioso resolver las ecuacioes características Para ecotrar ua solució particular si el térmio o homogéeo de la ecuació es α P m y si α coicide co ua raíz e de multiplicidad se puede hacer U α Q Sistemas lieales de ecuacioes e diferecias Defiició 8: Las ecuacioes e diferecias tratadas hasta ahora cosiste e ua sola ecuació e ua fució icógita U cojuto de N ecuacioes e diferecias de N fucioes icógitas se llama sistema de ecuacioes e diferecias simultáeas Para resolver el sistema se trata de elimiar N fucioes de las ecuacioes para formar ua ecuació e diferecias e ua sola fució Ejemplo: U V V 4U La primera ecuació se escribe como U V De esta y la seguda ecuació se tiee U 4U Si luego se remplaza por ejemplo la seguda ecuació del sistema co la ecuació e diferecias de U aterior se obtiee el sistema m 8

29 U V U 4U Siguiedo el mismo procedimieto de este uevo sistema se obtiee la seguda ecuació del sistema origial Por lo tato se puede elegir cualquiera de los dos sistemas La seguda ecuació del uevo sistema es la ecuació e diferecias lieal de segudo orde cuyas raíces características so ± Por cosiguiete ua solució geeral de la ecuació es U C C E seguida se obtiee V U C C de la primera ecuació Dados los valores iiciales U y V se tiee U C C y V C C De estas ecuacioes se determia C y C Además dado que U se determia por V la codició de uicidad para U se cumple Por cosiguiete V resulta determiar de maera úica de la primera ecuació del sistema De esta maera dicha pareja de fucioe es ua solució geeral del sistema Sistemas de ecuacioes lieales homogéeos Primeramete se cosidera ua solució geeral del sistema homogéeo U au bv V cu dv Supógase que U Ce V C' e e 4 Dode al meos ua de las costates C y C ' o es sustituyedo estas expresioes e y dividiedo por e se tiee e a C bc' cc e d c' 5 Elimiado C y C' de este sistema se obtiee e a e d b c 6 Recíprocamete si se satisface 6 etoces 5 tiee ua solució tal que o ambas C y C' so cero De este hecho se ve que si e satisface 6 etoces la pareja U V es ua solució del sistema La ecuació 6 se llama ecuació característica y sus raíces se llama raíces características Si se escribe la ecuació 6 e forma de determiate e a b c e d 7 9

30 la correspodecia etre 6 y el sistema se ve más fácilmete Además obsérvese que si el termio costate ad bc de 6 es existe solamete ua solució o ula Ua vez ecotradas las raíces características la razó de los coeficietes C y C' e 4 se determia de 5 utilizado la primera o la seguda ecuació Se supoe que b y c o so ambas cero Si las raíces características e y e o so iguales usado los coeficietes determiados e esta forma se puede hacer ' ' U C e Ce V Ce Ce 8 Si las raíces características e y e so iguales e este caso la ecuació tiee raíces múltiples se hace ' ' C C e V C C e 9 U Si embargo se debe hacer otar que C y C ' o so ecesariamete proporcioales Para determiar los coeficietes se debe sustituir 9 e el sistema Ejemplo: U U V V U V Las raíces de la ecuació característica e so e i y ' ' e i de 5 C ic y C ic Por lo tato U C i C i V ic i ic i para expresar estas fucioes e forma real se escribe o o ± i cos45 ± ise45 Etoces U V o o { C cos45 C' se45 } o o { C'cos45 Cse45 } Este resultado se puede obteer tambié como sigue Puesto que U satisface la ecuació de segudo orde cuya ecuació característica es igual a la dada ateriormete

31 { } 45 ' cos45 se C C U o o de la primera ecuació del sistema { } { } 45 ' cos ' 45 cos45 se C C se C C U U V o o o o Sistemas o homogéeos Defiició 9: Si u sistema lieal es o homogéeo etoces ua solució geeral del sistema es la suma de ua solució particular del mismo y ua solució geeral del correspodiete sistema homogéeo Para ecotrar ua solució particular se puede emplear el método de los coeficietes idetermiados Ejemplo: 4 U V V U Dado que las raíces características so distitas de se puede hacer ' ' V U sustituyedo estas expresioes e el sistema se tiee 4 4 ' ' ' ' comparado los coeficietes de las potecias de resulta 4 4 ' ' ' ' ' cuya solució es ' ' Por lo tato ua solucio geeral es C C V C C U

32 ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES Aalogías etre el cálculo de diferecias y el cálculo diferecial Al defiir la derivada de ua fució como limite de cociete de diferecias se deduce iteresates aalogías etre el cálculo de diferecias fiitas y el cálculo diferecial Defiició : Dada ua fució y se deomia derivada de dicha fució a ua ueva fució Dy cuyo valor e x es y x h y x Dy x h lim lim x x y x h D es el operador de difereciació que aplicado [ a ua fució da lugar a la y x ] derivada de dicha fució El valor de es la pediete de la recta h que ue los putos de la represetació grafica de y correspodietes a uas abcisas x y x h ; el valor de Dyx es la pediete de la tagete geométrica e x Por ejemplo dado que Etoces teemos x xh h Dx xh h h lim h h lim x h x las sucesivas difereciacioes de ua fució se idica co potecias sucesivas del operador D ; así la seguda derivada de y se represeta por D y y proviee de D Dy la tercera derivada se idica por D y etc Cosideremos ahora la operació iversa a la difereciació Si ua fució Y es tal que DY y se dice que Y es la fució primitiva de y Así el operador iverso de difereciació es D y escribiremos Y D y o Y y la deomiació para Y de itegral idefiida de la fució y Obsérvese que hay u umero ifiito de itegrales idefiida de ua fució y puesto que DY y y tambié D Y C y siedo C ua costate cualquiera

33 Calculo e diferecias Calculo diferecial y x y x h y x y x Dy x lim h h y y Cy C y 4 C y C y C y C y 5 si y es u poliomio de grado y es costate y las diferecias de orde superior so ulas 6 x x 7 u v Eu v v u 8 u v u u v v vev 9 si Y y y y C siedo C ua fució periódica D y D D y K D Cy CDy 4 D C y C y CDy C Dy 5 Si y es u poliomio de grado D y es costate y las derivadas de orde superior so ulas 6 Dx x 7 D u v udv vdu u vdu udv 8 D v v 9 si DY y y Y C siedo C ua fució periódica Tabla Resultados del cálculo diferecial y aalogías Correspodietes al cálculo de diferecias La ecuació e diferecias como aproximació a la ecuació diferecial Dada la estrecha relació existete etre el operador e diferecias fiitas y el operador derivada D o es extraño ecotrar muchas coexioes etre las ecuacioes e diferecias y las ecuacioes difereciales Cosideraremos la ecuació diferecial lieal de primer orde co coeficietes costates

34 Sea y ua fució defiida para valores reales de x e u itervalo a x b tal que satisfaga ua ecuació diferecial Etoces dy x Dy x Ay x B a x b dx siedo A y B costates arbitrarias y además A Supogamos que el valor de y para x a sea dado es decir que debemos hallar ua fució y que satisfaga a la ecuació diferecial co codició iicial y a y dode y es ua costate dada Para lograr ua aproximació a esta ecuació diferecial a través de ua ecuació e diferecias será preciso u cojuto discreto de valores de x para los que pueda defiirse la ecuació e diferecias Por lo tato escogemos u umero etero positivo cualquiera y dividimos el itervalo [ a b] e partes iguales cada ua de logitud b a h siedo los putos de subdivisió x a x a h x a h K x a h b Simplifiquemos la otació haciedo y y x y x h y además Dy x lim h h parece bastate razoable sustituir la ecuació diferecial por la ecuació e diferecias y h Ay B K o bie y Ah y Bh K La codició iicial idica que el valor y es dado 4

35 La ecuació e diferecias es ua ecuació lieal de primer orde co coeficietes costates que puede resolverse fácilmete aplicado la fució de valor de equilibrio etoces teemos y por tato y Bh Ah B A y B B Ah y A A K Si partiedo de la ecuació e diferecias hacemos que h y x x h x es evidete que dicha ecuació se covierte e la ecuació diferecial Será por tato de iterés averiguar si la solució de la ecuació e diferecias tiede a ua solució de la ecuació diferecial al impoer los mismos límites Demostració y x lim y lim y y Ah escribiedo y B lim A B lim A B B A A Ah B A xx B Ah h Ah e obteemos A xx lim e e defiimos a e como el siguiete limite e lim e e e A al pasar el limite haciedo que h y siedo A costate el producto Ah e tedera tambié a Por tato lim A xx A xx e e e 5

36 etoces Y x lim y y B e A A x x B A Puede demostrarse que esta fució y es efectivamete ua solució de la ecuació diferecial calculado su derivada y probado que la igualdad se satisface para todo valor de x compredido e el itervalo a x b Verificar E particular para B teemos la ecuació diferecial dy x Dy x Ay x dx es decir que el tipo istatáeo de cambio de la fució y respecto a x es proporcioal al valor de la fució y Etoces y Ah y K de solució y y Ah bajo las codicioes restrictivas ya descritas la solució correspodiete a la ecuació diferecial viee dada por la fució expoecial y x y e A xx siedo y el valor dado para y cuado x x Si y toma solamete valores positivos se dice que y sigue u crecimieto expoecial si A > o que sigue u decrecimieto expoecial cuado A< cuado x crece a partir del valor iicial x x El crecimieto expoecial viee a ser por tato el aálogo e forma cotiua del crecimieto e progresió geométrica que es discreto U modelo probabilístico sobre el apredizaje Supogamos que deseamos estudiar como varia el comportamieto de u sujeto sometido a uas codicioes dadas de experimetació Imagiemos para ello ua serie de sucesos que empieza co la percepció de u estimulo al que sigue la realizació de ua respuesta y acaba co la aparició de u hecho circustacial extero 6

37 El comportamieto de u idividuo se mide mediate la probabilidad p de que de ua respuesta determiada durate u itervalo de tiempo especificado ua vez que la secuecia de experimetos se ha iiciado El líeas geerales p idica el ivel de disposició del sujeto para dar ua respuesta; su valor crece y decrece segú que los factores circustaciales favorezca o se opoga a la repetició de aquella Si imagiamos u experimeto e el que se somete repetidamete a u sujeto a esta serie de sucesos podemos dividir dicho experimeto e varias etapas siedo cada ua de las cuales ua prueba e la que el sujeto recorre la serie completa La actuació del sujeto puede cosiderarse como ua fució del úmero de la prueba lo que os permite defiir p como la probabilidad de obteer ua respuesta dada la prueba úmero El úmero p se cosiderara como el valor iicial que idica la disposició del sujeto a emitir la respuesta esperada e el mometo e que se iicia por primera vez el experimeto A partir de p se defie la fució de p para el domiio de valores de K Por ser p ua fució de probabilidad tedrá que ser p K siedo los valores extremos y los de certeza absoluta co respecto a que se de o o la respuesta Supoemos e primer lugar que p depede solamete de p y o de los valores ateriores a p E otras palabras la actuació del sujeto e la prueba que se cosidera depediete de lo acotecido e la prueba lo que o es sio decir que el modelo que acabamos de expoer es maroviao o que goza de la propiedad de Marov Siguiedo a Bush y Mosteller supodremos para simplificar que la depedecia etre p y p es lieal es decir que al represetar gráficamete p a partir de p resultara ua líea recta La forma explicita de esta relació lieal será la ecuació p a mp K 4 siedo m el coeficiete agular o pediete de la recta esto es la catidad e que varia p por uidad de icremeto p y la ordeada e el orige o sea el valor de p cuado p Esta relació lieal podemos escribirla e forma deomiada de pérdidas y gaacias Defiimos u parámetro b así m a b 7

38 co ello la relació 4 puede escribirse de la forma p p a p bp K 5 Si la probabilidad de que el sujeto actué e forma determiada e la prueba umero es p co p se idicara e icremeto máximo posible que puede teer lugar partiedo de p y p se desigara el decremeto máximo posible que puede sufrir p al efectuarse la prueba Ello es cosecuecia de que el valor de p ha de quedar compredido ete y La ecuació 5 puede iterpretarse diciedo que la variació e la probabilidad de obteer respuesta p p p es proporcioal al icremeto o gaacia máxima posible y al decremeto o perdida máxima posible Las costates de proporcioalidad so respectivamete a y b midiédose por tato co el parámetro a aquellas circustacias que icita a que se de la respuesta premio y co b aquellas otras que desaimas al sujeto para que o de la respuesta castigo Los parámetros a y b preseta uas limitacioes origiadas por el hecho de que p y p queda comprometidos etre y Cuado p se tedrá que p a por lo que a mietras que si p será p b por lo que b tedrá que estar comprometido etre y lo que idica que b estas so las codicioes ecesarias que ha de satisfacer a y b para que p quede comprometido etre y Cuado a la ecuació describe ua situació e la que o se da compesació o premio alguo cuado se produce la respuesta mietras que cuado b sigifica que o se somete al sujeto a igú castigo si da la respuesta Si a b la ecuació idica que la compesació y el castigo so iguales Bush y Mosteller el cambio progresivo que se da e la probabilidad de obteer ua respuesta e u experimeto como el del corredor de Graham Gage o la caja de Sier e los que se hace aparecer las mismas circustacias cada vez que se obtiee la respuesta esperada cosideremos: Ejemplo: Si a 4 y b la ecuació 5 se covierte e p p 4 p p o sea 8

39 p 5 p 4 K 6 Supoiedo que el valor iicial p podemos calcular sucesivamete p p K Para resolver la ecuació 6 y obteer co ello p para u valor cualquiera utilizaremos el valor de equilibrio co A 5 y B 4 co lo que B 4 p 8 A 5 por lo que obteemos co valor iicial p p o bie p K Esta solució expoe la forma e que la probabilidad de obteer la respuesta varia a medida que se sucede las pruebas Dado que < a < y p < p la sucesió { p } será moótoa creciete y de limite p 8 Por tato e pruebas repetidas e las que la proporció etre compesacioes y castigos se establezca e 4 a las probabilidades p y p de que se de y o se de respuesta tiede a los valores limites p y p que guarda etre si la misma proporció de 4 a Volviedo al caso geeral observamos que la ecuació 5 puede escribirse de la forma explicita siguiete p a b p a K 7 remplazado a b A y a B teemos B a p A a b siempre que a y b o sea ambos ulos a la vez Se obtiee por tato la solució p p a b p si p a a a b a b a b co si a b K 8 Teiedo e cueta las limitacioes a y b se observa que la costate A a b queda compredida etre - y valores extremos que adopta A solamete e el caso e que a y b sea ambos iguales a o a E el caso e que a b será A co lo que { p } será ua sucesió oscilate fiita etre los valores p y p Pero e los demás 9

40 casos la sucesió { p } será covergete de limite de limite < p cuado a b o p para los demás valores a y b Si es < a b < resultara < A y la sucesió { } p > p moótoa creciete de limite p será moótoa decreciete de limite p si p si p < p y costate igual a < < p será ua p si p p Si < a b < tedremos que sucesió de limite p El caso particular e que a b da lugar a ua sucesió costate e la que cada elemeto es p A y { } Cosideremos dos casos mas primero a se supoe que o se ofrece compesació algua cuado se produce respuesta La ecuació e diferecias 5 se covierte e p b p 9 de solució p b p K que describe el decrecimieto cotiuo que sufre la probabilidad de obteer respuesta a partir de la probabilidad de obteer a partir de la probabilidad iicial p Represetado gráficamete p como fució de se obtiee la curva de extició experimetal E el caso dos a b se da por igual compesació y castigo al sujeto cada vez que da la respuesta Dejado aparte los casos extremos e que a b y a b se tiee que cuado a b la catidad a b cuado y aplicado la relació 8 se obtiee que p p que es igual a 5 Esto es a medida que aumeta el úmero de pruebas la respuesta tiede a aparecer e la mitad de las mismas El equilibrio etre compesació y castigo da lugar a largo plazo a u comportamieto ideciso del sujeto que que por igual da respuesta o se abstiee de darla 4

41 4 Coclusioes El estudio de las ecuacioes e diferecias cotribuye a que el estudiate aborde co meos dificultad los sistemas discretos Además estos sistemas tiee la vetaja de ser modelos mas ajustados a la realidad Auque a ivel Matemático o se le ha dado gra importacia a el estudio de los sistemas discretos e otras profesioes como Igeiería y Ecoomía etre otras se hace ecesario su estudio Los sistemas cotiuos so ua alterativa para la solució de los problemas prácticos que o tiee respuesta e sistemas discretos la ivestigació que se puede hacer directamete e ecuacioes e diferecias por ejemplo puede permitir ecotrar uevas solucioes comúmete represetadas e modelos cotiuos 4

42 Bibliografía: Taahashi Taehito Ecuacioes e diferecias co aplicacioes México: grupo editorial iberoamericaa Goldberg Samuel Ecuacioes e diferecias fiitas Barceloa: Marcombo SA 964 Deis G Zill Ecuacioes difereciales co aplicacioes Grupo editorial iberoamericaa Keeth Bogart Matemática discretas Varoa Malumbres Jua Luis Métodos clásicos de resolució de ecuacioes e diferecias ordiarias Uiversidad de la Rioja Mahía Ramó Formulació y solució de ecuacioes lieales e diferecias co coeficietes costates e el cotexto del aálisis Juio Neuma Carlos Erique Ecuacioes e Diferecias Septiembre 4 4