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1 Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: El cocepto de límite Correo electróico: Zeó de Elea (90 A.C) plateó la siguiete paradoja, la cual modificamos tratado de mateer su setido. Si ua pulga atómica debe viajar de 0 a, dado saltos de la maera que se describe a cotiuació, uca llegará

2 E el siguiete salto E cada salto la pulga atómica está obligada a recorrer la mitad del recorrido que le falta. Así su primer salto es de ua logitud de, faltádole por recorrer. Por lo cual su próimo salto será de sólo, faltádole sólo por recorrer. Así su próimo salto será de sólo y el siguiete de 6. A medida que se acerca a, es obligada a saltar sólo la mitad del recorrido que le falta. Sus próimos saltos será de,,etc. La regla geeral es que el salto -esimo es de sólo, faltádole 3 6 por recorrer. La situació e el salto es la siguiete: Podrá llegar de esta maera la pulga atómica a su destio?. La respuesta es: o pero cada vez estará mas cerca y dado suficietes saltos se podrá acercar tato como quiera. Es claro que para todo úmero etero positivo la distacia recorrida es meor que (la distacia total), pero a medida que la pulga cotiua saltado

3 (cuado tiede a ifiito), la distacia del objetivo (el fial del camio) que es, es cada vez meor. Se dice e este caso, que el límite de cuado tiede a ifiito ( aumeta idefiidamete) es y el límite de (la distacia por recorrer) cuado tiede a ifiito es 0. Como se ve, el límite de la epresió es., cuado ( tiede a ifiito) Los límites se puede calcular siguiedo ciertas reglas del cálculo de límites que los matemáticos ha probado que so ciertas, pero que e este estudio las asumiremos como reglas plausibles, ya que parece aturales. Por ejemplo: Aceptado que 0, ya que cuado tiede a ifiito, etoces y por lo tato 0, obtedríamos: 0 Ates de calcular el límite (cuado desaparece la palabra ), hemos simplificado el umerador y el deomiador etre. Luego hemos sustituido 0. La teoría de límites, e la cual se basa el cálculo diferecial e itegral, te parecerá e pricipio compleja. Poco a poco se te irá haciedo familiares muchos resultados y comezarás a recoocer su efectividad. Pero cuidado, muchas cosas que te puede parecer evidetes o lo so tato y te las damos como verdades y reglas para evitarte dolores de cabeza. Hay que aplicar tales reglas co cuidado, de lo cotrario podrías llegar a coclusioes sorpredetemete falsas. Aquí o pretedemos volverte u eperto e maejo de los teoremas sobre límites i e el cálculo de los mismos, sio mas bié ayudarte a que tegas tu propia idea del cocepto de límite y sus particularidades.

4 Te mostraremos como la teoría de límites te podría ayudar a calcular co cierta presició la raiz cuadrada de. Defiició: Ua sucesió de úmeros es u cojuto ifiito de ellos, dode se habla del primero, el segudo, el tercero y así sucesivamete. Los térmios de la sucesió se deomia,,..., 3 Geeralmete los térmios de la sucesió so descritos por ua regla, digamos como ejemplo. De dode obtedríamos,, 3 9, 6, etc 3 Calculo de. La raiz cuadrada del úmero, es u úmero co la propiedad. Como y, cocluimos que cocluimos que,. Como (,5), 5. Aú mas, como (,), 96,, cocluimos que,, 5. La sucesió defiida por, (la primera aproimació a ) y luego por la formula iterativa (que se aplicará ua y otra vez) sucesivamete a partir de,, la sucesió de úmeros : os producirá (,),96,6. Si calculamos (,6), 00005,,, teemos que,, 6, mas si embargo, casi que hemos calculado. El tercer térmio de la sucesió segú la formula iterativa será (,6), ,6,57 Si calculamos (,), 00000, Vemos que la sucesió está tediedo a la raiz cuadrada de. Detrás de la razó de ello está la teoría de límites y sus reglas. Veamos.

5 Si la sucesió defiida por la iteració () decir si, tiede a u límite L, es L, aplicado límites a ambos lados de (), tedríamos: L tedremos: L L. Por lo tato, pasado L a multiplicar a L, L L. Por lo tato L y por ello L. Es decir, que el límite de la sucesió es precisamete. Es por ello, que a medida que calculemos u uevo estaremos mas cerca de. El siguiete, es decir (,) 3 3 (,),356 Ahora (,356), Este es sorpredetemete el úmero que os dio ua calculadora CASIO FX- cuado calculamos co ella directamete. La similitud o es ta sorpredete porque las calculadoras utiliza algoritmos iterativos como el aterior que se basa e el método deomiado Newto-Rasom. Lo maravilloso es que el límite como tal uca se alcazará, mas si embargo, podremos acercaros por este método tato a la verdadera como querramos.