OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

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1 Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE y Dereco Tema : Fucioes reales de variable real Profesora: María Martel Escobar Objetivos Específicos Coocer las fucioes elemetales y sus propiedades. Asimilar los coceptos fudametales del cálculo diferecial y sus aplicacioes a problemas de ecoomía. Adquirir destreza e el cálculo de límites, derivació e itegració de fucioes de ua variable. INDICE DE CONTENIDOS. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Defiició. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Ua fució es ua correspodecia etre dos cojutos que asiga a cada elemeto del primer cojuto uo y sólo uo del segudo cojuto.. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES. f : A B y f( : variable idepediete, y : variable depediete. Cuado AB,, ablamos de fució real de variable real. 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Domiio Es el cojuto de putos e los que tiee setido su epresió matemática. f : A B, y f(. Dom( f A Ejemplo : Obteer el domiio de las fucioes, a f(. b f(. c f(. Solució : a Domf (. b Domf (. c Domf ( [,. Gráfica: Curva del plao dada por los putos ( f, (.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Mootoía Ua fució f es creciete (estrictamete si, y Dom(f, co < y, se verifica que f( f(y (f( < f(y. Ua fució f es decreciete (estrictamete si, y Dom(f, co < y, se verifica que f( f(y (f( > f(y. Ejemplo : g(y f( g( f(y f g y estrictamete creciete g( < g(y estrictamete decreciete f( > f(y 5 Tema

2 Curso -3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Acotació Ua fució f está acotada superiormete si eiste u úmero real M tal que para Dom(f se verifica que f( M. Ua fució f está acotada iferiormete si eiste u úmero real m tal que para Dom(f se verifica que f( m. Ua fució f está acotada si lo está superior e iferiormete. Ejemplo : M f acotada superiormete f( M. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Coveidad y cocavidad Ua fució f es covea cuado el segmeto que ue dos putos dados de su gráfica queda por ecima de la gráfica (forma de. Ua fució f es cócava cuado el segmeto que ue dos putos dados de su gráfica queda por debajo de la gráfica (forma de. El puto dode ua fució pasa de cócava a covea o viceversa se llama puto de ifleió. Ejemplo : Cócava f m f acotada m f( M acotada iferiormete f( m 6 Covea Puto de ifleió 7. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Óptimos o etremos Óptimos o etremos globales o absolutos: U puto * es u máimo global o absoluto de ua fució f f( * f(, Dom( f. U puto * es u míimo global o absoluto de ua fució f f( * f(, Dom( f. El valor de f( * es el valor máimo (o míimo de f e Dom( f. Óptimos o etremos locales o relativos: U puto es u máimo local o relativo de ua fució f f( f(, e u etoro de (e los alrededores de. U puto es u míimo local o relativo de ua fució f f( f(, e u etoro de (e los alrededores de.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Óptimos o etremos Ejemplo: 3 Míimos locales:, 3 Máimos locales: -,, Míimo global: Máimo global: 8 9. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Operacioes co fucioes Dadas f : A, g : A, y f(. y g(. Suma: f( g(. Producto: f( g(. f( Cociete:, g (. g ( Composició: f : AB, g : B C se defie gf : AC ( g f( g( f(.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Fució iversa Ua fució f( tiee iversa, si eiste y f A B f B A :, :, - ( f f(, A. Bisectriz y= f ( tal que: Las gráficas de f( y f ( so simétricas respecto a la recta y=. y Ejemplo: Hallar la fució resultate de compoer las siguietes fucioes. a f( y g(. Se tiee que ( f g( ( y ( g f(. b f( y g(. Se tiee que ( f g( y ( g f(. Tema

3 Curso -3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Fució iversa Ejemplo: Cálculo de la fució iversa Hallar la fució iversa de las siguietes fucioes. a y f( 3 5. y 5 5 y f y f (, luego (. b y f (. y y f y f (, luego (. c y f(. y ( y- y y ( - y y y (, luego (. y y f y f. Fució poliómica:. Grado, o lieal: y=f( = a+b, a,b (rectas.. Grado o cuadrática: y f( a bc, abc,, co a (parábolas. 3. E geeral, grado : y P ( a a... aa. P (. Fució racioal: y f(, P( y Q( poliómicas co Q(. Q ( r 3. Fució potecial: y.. r, poliómica o racioal.. r, radical.. Fució epoecial: y f( a, a.. Epoecial atural: y f( e. 5. Fució logarítmica: y = f( = log a, a >, a.. Logaritmo eperiao: y = f( = l. 3.. Fució poliómica de grado, ó lieal: f( = a+b, a,b. Se utiliza para represetar feómeos que varía (aumeta o dismiuye de forma costate a lo largo del domiio. Ejemplo previo (Modelo lieal de equilibrio Cuado los precios varía de forma costate a partir de las catidades ofertadas y demadadas de u bie dado e el mercado, obteemos fucioes lieales de la oferta y la demada. El precio de equilibrio es el puto e el que ambas fucioes se corta. E esta situació, Obteer el precio de equilibrio asumiedo las siguietes codicioes: La demada semaal de u producto es de 5 uidades cuado el precio es de uidades moetarias por uidad, y de uidades cuado el precio es de 5. El precio del productor (oferta a de cubrir uos costes fijos de uidades y se icremeta e uidades por cada uidad adicioal que se produzca. Solució: La ecuació de demada es la recta p aq b, que pasa por los putos (5, y (,5. Sustituyedo, queda: 5 ab, a, b 5 p q5. 5 ab. La ecuació de oferta es la recta p aq b, que pasa por el puto (,. Sustituyedo, queda: a b b p aq. Además, por cada uidad adicioal el precio aumeta e dos uidades: a a p q. Por tato, el puto de equilibrio del mercado vedrá dado por: p q q 5 y p (5,. p q 5 5 Gráficamete: E geeral: f( = a+b, a,b. p 5 oferta p q p a p q q Dom(f=. Gráfica: recta del plao. f y a: pediete de la recta a. a> recta creciete. a< recta decreciete. b: ordeada e el orige (puto de corte co el eje OY. p* b a> b a< q p p a p q5 q q* demada q Qué ocurre e los casos a=, b=? Represetar gráficamete. Qué epresió correspode a ua recta vertical? Qué ocurre si se tiee dos rectas y=a+b e y=a +d co a=a? 6 7 Tema 3

4 Curso -3.. Fució cuadrática: f( = a +b+c, a,b,c, a. Se utiliza para represetar feómeos que eperimeta u crecimieto asta llegar a u máimo y luego decrece (o al revés asta llegar a u míimo, y co comportamietos simétricos alrededor del máimo (o míimo Ejemplo previo (Precio alojamieto e turismo rural U estudio a aalizado el precio, p, (e de los alojamietos de turismo rural e la isla de La Palma obteiedo que se ecuetra relacioado co la temperatura media de su etoro a través de la fució cuadrática, p t 5 t, dode es t la temperatura. 8 a Represetar gráficamete la fució p. b Determiar cuál es la temperatura media que maimiza el precio. Cuál es el mayor precio que se podría alcazar? c Comparar los precios para las temperaturas de y 3 grados. E geeral: fució cuadrática : f( a b c, co a. Gráfica: parábola. Dom( f =. a, es cócava co máimo global e b/ a. a, es cóvea co míimo global e b/ a. b/ a, es el eje de simetría de la parábola. a> a< 8 9 Putos de corte co los ejes: Eje vertical: y c. b b ac Eje orizotal: y a bc. a b ac u puto de corte (tagecia co OX. b ac dos putos de corte co OX. b ac o ay putos de corte co OX. Ejemplos: co a>: Ejemplo previo (Precio alojamieto e turismo rural. Solució: p t 5 t, t, temperatura y p, precio. 8 a El coeficiete de t es egativo por lo que se trata de ua parábola cócava. Los putos de corte so (, y (,. El vértice: (,5. b La temperatura que maimiza el precio es de º. El precio máimo es de 5 c Al ser ua fució simétrica co respecto al eje, los precios cuado la temperatura se icremeta o se reduce ua misma catidad so los mismos. Aplicació (Fució de igresos. Dada ua fució de demada lieal, p f( q baq, a, b La fució de igresos será: Iq ( ( baqq bqaq, parábola cócava. Ejemplo: Dada la fució de demada p = -q, calcular el ivel de producció que maimiza los igresos, represetar la fució de igresos e idicar dóde se alcaza el igreso máimo. Solució: Iq qq q q ( (. Putos de corte: (, y (5,. Máimo e: q b/ a 5 I( u.m..3. Fució poliómica de grado : y P( a a... aa. Dom(f=. Gráfica: Putos de corte co los ejes: Co OY : y a (, a. Co OX : y a a... a a solucioes reales:,,... (,,(,,... Sigo del poliomio: Basta calcular los putos de corte co OX y evaluar e los itervalos que defie, teiedo e cueta: multiplicidad impar secate, cambio de sigo, multiplicidad par tagete, o ay cambio de sigo. Ejemplo: P ( ( ( 5. Las solucioes so:, doble (si cambio de sigo;,, simples (co cambio. f( f( f( 3 Tema

5 Curso -3. Fució racioal: P ( y f(, P( y Q( poliómicas co Q(. Q ( Ejemplo previo (Curvas Isocuatas: Segú el modelo de producció de Cobb Douglas, ua represetació de las combiacioes de capital (K y trabajo (L ecesarias para producir ua uidad de producto podría veir dada por la fució: E geeral, fució racioal: P ( y f(, P( y Q( poliómicas co Q(. Q ( Dom (f = -{ co Q( = }. Caso particular: Dom (f = -{}. f(. Gráfica: Hipérbola equilátera. K. L a Qué catidad de capital abría que ivertir si se dispusiera de ua uidad de trabajo? b Qué pasaría si se redujera las uidades de trabajo? Y si se aumetara? 5 3. Fució potecial:. Si r, se trata de fucioes poliómicas o racioales.. Si r, r = p/q Dom (f: depede de los valores de p y de q. Casos particulares: f( r y f(. p/ q q p (. y f f(. Fució epoecial: y f( a, a. Ejemplo previo (Iterés compuesto Supogamos que teemos e el baco u capital de u milló de. Determiar el capital que tedremos detro de años bajo los dos supuestos que se describe a cotiuació: ael capital crece e u 5% de iterés aual. bel capital se reduce por comisioes e u 5% aual. t 3 C(t (milloes a (.5.5 (.5. (.5.6 ( (.5 (.5 t =C(+i t b ( (.95.9 ( ( (.95 (.95 t =C(-i t a b 6 7 E geeral, fució epoecial: Dom (f = ; f( >, f( =. Gráfica: parte positiva de OY. y f( a, a.. Caso particular: fució epoecial atural y = f( = e. e lim Creciete si a>, decreciete si <a<. y = f( = a, a> y = f( = a, <a< El modelo epoecial: y = f( =C e k, ( C y k so costates. y f( e y f( e 8 9 Tema 5

6 Curso Fució logarítmica: y = f( = log a, a >, a. y = log a a y = Fució logarítmica: Gráficas: f(=l f(=e Es la iversa de la fució epoecial. Dom (f = +. Gráfica: a la dereca de OX. f(=l f(=. Creciete si a>. Decreciete si <a<. 5. Caso particular: a = e y = f( =log e = log = l = L, fució logaritmo eperiao. 3 3 Propiedades de los logaritmos: l l e l e l e l ( y l l y l l l y y l l Ejemplos l a Hallar la solució de la ecuació e. b Simplificar l7 l9. 3 l7 l9 l3 l3 3l3 l3 l3. ( y c Escribir e térmios de l,l y y l z la epresió 3 l. z ( 3 3 l y 3 l( y lz 3 l l y lz le l l y l z. z 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Límites y cotiuidad Ejemplo (idea ituitiva: l( Sea y f(, co Dom f( (, (,, lim f(? f( f( FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Límites y cotiuidad El límite de ua fució permite estudiar el comportamieto de la misma e los alrededores de u puto a. El limite de ua fució f cuado tiede a a es L, lim f ( L, a cuado las imágees de putos próimos a a está próimas a L, es decir: si está e u etoro de a f( está e u etoro de L. El límite de ua fució es úico. Límites laterales: la aproimació al puto puede ser por la dereca o por la izquierda. Límite por la dereca, lim f(, si os acercamos al puto por valores a mayores. Límite por la izquierda, lim f(, si os acercamos al puto por valores a meores. Como el límite es úico, el límite eiste si y sólo si eiste los límites laterales y so iguales: 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Límites y cotiuidad Límite e el ifiito: lim f( L, si para valores elevados y positivos (egativos de, sus imágees mediate f se acerca a L. Ejemplo (idea ituitiva: y f(, Dom f(, lim f(? y y lim lim 35 Tema 6

7 Curso -3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta secate a la curva y= f( es:. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta secate a la curva y= f( es: f y a b f( f( f y a b f( f( f f f( - f( a f( - f( a 3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta secate a la curva y= f( es:. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: La derivada y la pediete de la curva La derivada y la pediete de la curva Sea f: A, A, A cojuto abierto (itervalo abierto o uió de itervalos abiertos. La pediete de la recta tagete alacurvay= f( es: f f f( f( y a b f f y a b f( - f( a f( - f( a f lim ( '(. 5. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Defiició y otació Derivada de ua fució e u puto. f: A, A, A cojuto abierto, es derivable e si y sólo si eiste y f( - f( es fiito lim. E caso afirmativo, dico límite se llama derivada de la fució e,y se epresa co cualquiera de las otacioes siguietes: df f( - f( f '( y'( lim. d d y f( f( (O tambié: lim lim. f es derivable e su domiio si lo es e cada puto del mismo, a la fució y =f (, se le llama fució derivada de f. 6. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Iterpretació Iterpretacioes de la derivada: Sea f derivable e, Geométricamete: f ( es la pediete de la recta tagete a y = f( e el puto (,f(, de ecuació: y f( f'( ( Matemáticamete: La derivabilidad de ua fució da ua idea de la suavidad del trazado de la curva. Físicamete: f ( mide la velocidad (letitud o rapidez de variació de la fució respecto a la variació de (la variació de y respecto a. f ( se suele llamar la fució margial y f ( represeta la tasa de variació o razó de cambio de y respecto a e. 7 Tema 8

8 Curso -3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Cotiuidad y derivabilidad. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivadas de fucioes elemetales Si f( es derivable e f( es cotiua e. Cosecuecias: Si f( o es cotiua e f( o es derivable e. Resume: derivable o derivable ( pico o derivable (o cotiua f( c f '(, f f ( '(, f( a f '( a l a, f( e f '( e, f( l f '(. Ejemplos: f( f '(. f( f '(. 3 f( f '(. 3 f( f '( f( f '(. 6 f( f '(. 5 7 f( f '( f( f '(. 9 f( f '( f( 3 f '( 3 l3. l f( f '(. Hallar la ecuació de la recta tagete a f( e el puto = DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Reglas de cálculo de derivadas. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Aplicació Si f y g fucioes derivables, etoces, las siguietes fucioes lo so, co: ( f g'( f '( g'(. ( cf'( cf '(. ( f g'( f '( g( f( g'(. f f'( g ( f( g '( '( (siempre que g(. g ( g( 3 Ejemplos: 3 f( 5 e f '( 5 e. 3 f( 3 7 l f '(. e e e 3 f( f '(. 3 3 e e f( f '( e e 5 Ejemplo: Aálisis margial Fució de Coste Coste margial Coste medio Coste medio margial C f( q dc dq C C q dc dq Fució de Igresos Igreso margial Fució Beeficios Beeficios margiales I = g(q di dq B = I -C db dq Ejercicio: Hallar las fucioes margiales de las siguietes fucioes: q q Cq ( 3e. Iq q q ( DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Regla de la cadea Dada la composició de fucioes: f g f( g( f( g f ( Si f y g so derivables g f es derivable, co, ( g f( g( f( f(.. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivadas de fucioes compuestas Si y = f( es derivable, las siguietes fucioes lo so, co: g ( f( g'( f( f'(. f( f( g ( e g'( e f'(. f( f( g ( a g'( a l af '(. f '( g ( l f ( g'(. f( Ejemplos: y e y' e. 3 y y' 3( ( y l( y' Tema 9

9 Curso -3. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Regla de la cadea (cotiuació Otra otació: Si y g( u, u f(, se tiee: yu du d du d Ejemplo y u u u d du (u5 (6 ((3 5 (6. d du d Dadas 5 y 3. Hallar. Si = u = u = f(, por tato, quedaría: Ejemplo du d du d u u 5 Dadas y 6. Hallar para. y e u d u u f ( 5. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivada de la fució iversa Si y f( es derivable e, co f '(, y eiste su iversa, f, d d f es derivable e y, co: ( f '( y, o tambié,, ( dode, y f(. d f '( yy Ejemplo. Dada la ecuació de demada, p 3 q, a Obteer la tasa de cambio de p respecto a q. dp a q. dq q b Obteer la tasa de cambio de q respecto a p, para p. dp dq b Si p 3 q q. Como. dq dp qq pp 55. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS: Derivadas sucesivas 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES Si y=f( es derivable e su domiio, y la derivada, y =f (, tambié lo es, su derivada se deomia fució derivada seguda, y se deota: df ( ( f ''( f ''( y''. d d Si y =f (, tambié es derivable, su derivada se deomia fució derivada tercera, y se deota: 3 3 df ( ( f '''( f '''( y'''. 3 3 d d E geeral, si y=f( es veces derivable, se deomia derivada -ésima de f o derivada de orde de f a la fució que resultar de derivar veces la fució f (, se deota por: ( ( df ( f ( y. d d Se estudia las siguietes características de las fucioes aciedo uso del cálculo de derivadas. Mootoía (crecimieto y decrecimieto. Etremos u óptimos (máimos y míimos locales o relativos. Posibilidad de que sea etremos globales o absolutos. Cocavidad y coveidad. Putos de ifleió ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Ejemplo previo: E la siguiete figura aparece la gráfica de ua fució f, y las rectas tagetes e, y. Qué sigo tiee f '(, f '( y f '(? 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Sea f :(a,b, derivable e (a,b. Se tiee: i Si f '( f es creciete e ( a, b. ii Si f '( f es decreciete e ( a, b. Cosecuecia: Si f :(a,b, derivable co derivada cotiua e (a,b, tiee u máimo o míimo local (etremo u óptimo local o relativo e * ( a, b f( *. Los putos que aula la primera derivada de ua fució se llama putos críticos (recta tagete orizotal. Los etremos locales de ua fució está etre los putos críticos. No todos los putos críticos so etremos locales (putos de ifleió Tema

10 Curso ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Ejemplo : No todos los putos críticos so etremos locales. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Mootoía y etremos locales Ejemplo : Hallar los itervalos de crecimieto, decrecimieto y los 3 etremos locales de f( Solució: Putos críticos: =; =. 6 Ejemplo 3: Ídem co f(. Solució: Putos críticos: = -; = ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Cocavidad y coveidad Ejemplo previo f( cócava f( covea 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Cocavidad y coveidad Sea f :(a,b, derivable dos veces e (a,b. Se tiee: i Si f ''( f es covea e ( a, b (forma de. ii Si f ''( f es cócava e ( a, b (forma de. Cosecuecia: Si f :(a,b, derivable dos veces co derivadas cotiua e (a,b, tiee u puto de ifleió e * ( a, b f ''( *. a b c d f (a>f (b>f (c>f (d f ( es decreciete (f (< a b c d f (a<f (b<f (c<f (d f ( es creciete (f (> Los putos de ifleió de ua fució está etre los putos que aula la seguda derivada. No todos los putos que aula la seguda derivada so putos de ifleió ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Cocavidad y coveidad Ejemplo : No todos los putos que aula la seguda derivada so putos de ifleió. f( e. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Clasificació de putos críticos Sea f :(a,b, derivable dos veces e (a,b y sea * (a,b u puto crítico de f. Se tiee: isi f ''( * * es u míimo local de f( f es covea e u etoro de *. iisi f ''( * * es u máimo local de f( f es cócava e u etoro de *. Criterio geeral: Sea f :(a,b, veces derivable e (a,b y sea * (a,b tal que, f( * f( * f ( * f ( * y f ( *, etoces: i Si es par y f ( * * es míimo local. ii Si es par y f ( * * es máimo local. iii Si es impar * es puto de ifleió. No todos los putos de ifleió so putos críticos, pero si lo so, la primera derivada que o aula es de orde impar Tema

11 Curso ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES Ejemplos Calcular los putos críticos y clasificarlos. Estudiar crecimieto y decrecimieto, cocavidad y coveidad y adjutar las gráficas. a f(. a b f 5 b ( 3. f 3 c ( c ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Aplicació : Resolució de problemas de optimizació e ua variable.. Se platea la fució a optimizar (fució objetivo.. Se obtiee los óptimos o etremos locales de la fució dode ésta sea derivable, para ello: Se obtiee los putos críticos y se clasifica (mootoía y sigo de la seguda derivada o criterio geeral. Se calcula el valor de la fució e los etremos locales. 3. Se calcula el valor de la fució e los putos e los o sea derivable (por ejemplo, e los etremos de u itervalo cerrado, e putos de discotiuidad o e picos, y se compara co el valor obteido e los etremos locales.. Se estudia, mediate límites, si la fució está o o acotada (es decir, si su valor o tiede a. 5. Se establece coclusioes sobre la eistecia de óptimos o etremos globales segú lo obteido e los pasos ateriores ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Ejemplo : Hallar los óptimos de las fucioes siguietes. 3 a f( 9 35, e. Sólo ay óptimos locales, que o so globales porque la fució o está acotada ( lim f(. 3 b f( 9 35, e [,6]. 3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Ejemplo : Ídem co: a f(, e. Sólo ay óptimos locales, que o so globales porque la fució o está acotada ( lim f(. b f(, e [,3]. Los óptimos locales o so globales, pero la fució tiee óptimos globales e los etremos del itervalo. El míimo local es global, y el máimo global está e los etremos del itervalo ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Problemas de optimizació Ejemplo 3: Obteer los etremos de la fució de beeficios: ( q3 5, q 5, q5 Bq (, 5 q. 3 B(=6.3. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: La itegral idefiida F( es ua primitiva de f(, si se verifica que F (=f(. Ejemplo F k f f ( 3 es fució primitiva de ( 6, ya que F ( (. Ejemplo : Hallar la primitiva de f( =6+ que pasa por el puto (,. F k k F ( 3 ( 3. B(3=5 B(5= B(= El cojuto de todas las primitivas de f( se llama itegral idefiida, y se escribe: f( d F( k, k para F'( f(. Propiedades: Sea fg, : I,. f( d f( ( f( g( d f( d g( d 7 Tema