COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Transcripción

1 COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS "Toda cosa grade, majestuosa y bella e este mudo, ace y se forja e el iterior del hombre". Gibrá Jalil Gibrá. Uidad : PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE. Propósitos: Explorar diversos problemas que ivolucra procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto al cocepto de límite.. U cuadrado de lado se divide e tres rectágulos iguales y se sombrea uo de ellos (paso uo). Uo de los rectágulos o sombreados se divide e otros tres rectágulos iguales y se sombrea uo de ellos (paso ). Este proceso se cotiúa idefiidamete. El área así obteida a qué valor tederá?. U cuadrado de lado se divide a la mitad y se pita de egro ua de las dos partes, posteriormete, la mitad o pitada se divide a la mitad y ua mitad se pita de egro. Si se repite este proceso idefiidamete: a) Calcula el área de la zoa sombreada e el primer paso del proceso, a. b) Calcula el área total sombreada para varios de los siguietes pasos del proceso: a, a, a, c) Ecuetra el térmio geeral de la sucesió a. d) Traza ua gráfica e u plao cartesiao. e) Cuál será el área total pitada de egro? Escribe el resultado como u límite.. Tu maestro de matemáticas se hizo el propósito de ahorrar. Para lo cual pesó e u sistema mediate el cual se le hiciera cada vez más fácil hacerlo. El sistema es el siguiete: la primera quicea guardar mil pesos, e la seguda la mitad (quiietos pesos), e la tercera la tercera parte de mil, etcétera. a) Supoiedo que él o sus descedietes siguiera ahorrado tedrá mucho diero después de 00 semaas? b). Si el proceso fuera ifiito el moto que se puede ahorrar estará acotado? c) Completa la tabla procurado escribir e cada paso los resultados idicado las operacioes si efectuarlas y tambié efectuádolas. d) Ecuetra e el paso la expresió geeral que represete el proceso. e) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el ahorro total obteido. f) Cuado se va haciedo más y más grade el resultado del ahorro total va aproximado a algú valor? g) Cuádo, el resultado del ahorro total a qué valor tiede? Justifica tu respuesta. Semaa Catidad ahorrada e esa semaa: a Catidad total ahorrada: S

2 00,. U cubo de u cetímetro de arista se dividirá e cubos más pequeños. Si es el úmero de partes iguales e los que se dividirá cada arista, c el úmero míimo de cortes cuado se divide el cubo e partes iguales, a el úmero total de cubos resultate y v el volume de cada cubo, completa la tabla siguiete: c a v 8 cm 0 00 cm Corte a) Co base e la tabla, cuál es el volume de uo de los cubos cuado se ha divido la arista e 0 partes iguales? b) Si este proceso cotiua, para qué valor de el volume de uo de los cubos puede ser meor que ? c) Ecuetra qué pasa co: c, a y v cuado tiede a ifiito. Expresa lo aterior co la otació adecuada.. El puto C divide al segmeto AB = e dos partes iguales; el puto C divide al segmeto AC e dos partes tambié iguales: el puto C divide, a su vez, al segmeto C C e dos partes iguales; el puto C hace lo propio co el segmeto C C y así sucesivamete. A que tiede la logitud AC cuado tiede a ifiito? A cotiuació te mostramos gráficamete cómo se comporta la sucesió AC Primer paso A = 0 B = C Segudo paso A = 0 C C B = Tercer paso C A = 0 C C B =

3 a) Completa la tabla siguiete: Paso Logitud de AC b) Cuádo tiede a ifiito, a qué valor tiede la sucesió AC?. Las dimesioes del rectágulo ABCD so de por. El rectágulo siguiete, PQRS, tiee dimesioes ½ x. De igual modo, cada rectágulo iterior tiee la mitad de las dimesioes que el rectágulo precedete. Si esta sucesió de rectágulos cotiúa hasta el ifiito, cuál es la suma de las áreas de todos los rectágulos? 7. Calcula la suma ifiita siguiete Uidad : LA DERIVADA ESTUDIO DE LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO. Apredizaje: Explicar el sigificado de la pediete de ua fució lieal. Elabora ua tabla, dibuja la gráfica y costruye ua expresió algebraica asociada al estudio de problemas. Idetifica que ua fució lieal tiee variació costate. Fucioes lieales. E los siguietes problemas realiza las actividades siguietes. a) Completa los valores de la tabla (variable idepediete vs variable depediete). Si la variable idepediete se icremeta Qué sucede co el icremeto de la variable depediete? b) Obté ua fórmula etre las variables ivolucradas (de la forma y = mx + b). c) Co la fórmula obteida calcula valores de la variable idepediete, diferetes a los valores de la tabla. d) Dibuja la gráfica que correspode a la fució que obtuviste. e) Calcula la razó de cambio (o rapidez de cambio) etre las variables ivolucradas, (expresa las uidades) etre diferetes pares de valores de la variable idepediete. PROBLEMAS. U automóvil viaja por ua carretera recta. El automóvil viaja co ua velocidad costate y recorre 80 Kilometros, e horas. Iicia su recorrido a Kilometros de u lugar de partida (de ua Coloia muy importate Iztacalco ).

4 t ( Tiempo) 0 d ( Distacia). A los residetes de Pueblo Quieto, se les cobra ua cuota aual, más u cargo por cada metro cúbico de agua cosumida. A ua familia que usó 80 metros cúbicos de agua se les cobró $,00.00 y otra que empleó 780 metros cúbicos se le cobró $, Deduce el costo por del cosumo de agua e fució de los metros cúbicos y co base e ella, realiza lo que se te pidió. c (Cosumo e m ) P ( Pago). La temperatura e ºF e fució de la temperatura ºC esta represetada por ua fució lieal. Se sabe que ºF y 0ºC represeta la temperatura a la que hierve el agua. De igual maera, ºF y 0ºC represeta el puto de cogelació del agua. Completa la tabla siguiete. ºF ºC. E cuál de las tablas siguietes, la relació es lieal? por qué? a) x - 0 b) x f(x) 8 f(x) 0 - c) x 0 f(x) 0 0 d) x 0 8 f(x) 7 7

5 . Cuado u sólido se somete a esfuerzos pequeños (fuerza de tesió o de compresió), la deformació uitaria que resulta (cambio fraccioario de logitud) es proporcioal a la tesió. La elasticidad del matrial se represeta por la costate E, llamada módulo de elasticidad, siedo Esfuerzo E = Deformació uitaria E la gráfica siguiete se muestra la curva esfuerzo deformació uitaria para el hueso. Estima el módulo de elasticidad del hueso. Deformació uitaria Problemas de optimizació. E los problemas siguietes, ecuetra u modelo algebraico o bie u registro umérico, e el cual puedas dar u valor aproximado e dode se ecuetra el máximo o el míimo, e los casos que el modelo algebraico sea u poliomio de segudo grado, debes de dar el máximo o el míimo de maera exacta y explicar por qué lo es.. Ecuetra dos úmeros positivos cuya suma sea 0 y cuyo producto sea lo más grade posible.. Qué u úmero positivo más su recíproco de la suma míima?. Hallar el úmero que excede a su cuadrado e la máxima catidad.. La suma de tres úmeros positivos es 0. El primero más el doble del segudo más el triple del tercero suma. Halla los úmeros que maximiza el producto de los tres úmeros.. Se tiee 0 cm de material para hacer ua caja co base cuadrada y la parte superior abierta, ecuetra el volume máximo posible de la caja.. Ua caja co base cuadrada y parte superior abierta debe teer u volume de 000 cm. Ecuetra las simesioes de la caja que miimice la catidad de material usado. 7. U grajero tiee 70 metros de cerca, desea ecerrar u área rectagular y dividirla e cuatro corrales, colocado cercas paralelas a uo de los lados del rectágulo Cuál es el área total máxima posible de los cuatro corrales? 8. Ua empresa fabricate de alimetos para perros ecuetra que sus utilidades está dadas como fució de x, el precio por kilo de alimeto para perros, por P x = x + x a) Traza ua gráfica de dicha fució. b) Qué precio debe cobrarse para obteer la máxima utilidad? Cuál es la utilidad a ese precio? c) Para qué precios es positiva la fució P?

6 GUÍA PARA EL PRIMER EXAMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. 9. Ecuetra el mayor valor posible de 𝑥 + 𝑦 si 𝑥 e 𝑦 so las logitudes de los lados de u triágulo rectágulo, cuya hipoteusa tiee uidades de logitud.. Cuál es el área del mayor rectágulo que tiee dos vértices e el eje x y dos vértices sobre la parábola 𝑦 = 𝑥?. U vaso cilídrico de secció trasversal circular ha de coteer 00 cm de material. Qué dimesioes debe de teer para que cotega la mayor catidad posible de líquido? Razoes de Cambio Poliomios de segudo y tercer grado... Si 𝑓 es ua fució y 𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎 u puto e ella, qué represeta las expresioes siguietes? 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑎) y lim 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎. U globo de cm de radio se está iflado por lo que su radio va aumetado. Determia la razó de cambio promedio del volume del globo (supoiedo que es ua esfera, co volume 𝑉 = 𝜋𝑟 ) co respecto a su radio 𝑟. a) Cuado aumeta de a cm. b) Su razó de cambio istatáeo a los cm. ) La gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) se muestra abajo. Cuál es el mayor de los siguietes pares? 𝑦 a) Rapidez promedio de cambio: etre 𝑥 = y 𝑥 = o etre 𝑥 = y 𝑥 =. b) 𝑓() o 𝑓(). c) La pediete de la recta tagete e 𝑥 = o 𝑥 =. 𝑥 ) Idica e ua copia de la figura aterior, cómo se puede represetar lo siguiete: a) 𝑓() b) 𝑓 𝑓() c) () d)la razó de cambio istatáea e 𝑥 = ) Cada ua de las fucioes de la tabla siguiete es creciete, pero cada ua aumeta de forma diferete cuál de las gráficas se ajusta mejor a cada fució? a) b) c) 𝑡 𝑔(𝑡) 9 8 ℎ(𝑡) 𝑘(𝑡)

7 ) E t miutos ua reacció química ha producido las catidades de sustacia A(t) que se muestra e la tabla siguiete: t e miutos A t e moles (Datos tomados de Some Mathematical Models i Biology) a) Determia la razó media de la reacció e el itervalo de t = 0 a t = 0. b) Grafica los datos de la tabla e u plao, dibuja ua curva que pase por ellos y estima la razó de cambio istatáea de la reacció e t =. 7) Deduce la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f dada por f x = x x +, e el puto e dode x =. 8) Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiee ua masa de + t + gramos después de t horas. a) Cuáto creció durate el itervalo t.0? b) Cuál fue su crecimieto medio durate el itervalo t.0? c) Cuál fue su razó de crecimieto istatáeo cuado t =? 9) Se laza ua pelota co ua velocidad iicial de 0 m/s, su altura e metros después de t segudos se expresa como s t = 0t.9t. a) Ecuetra la velocidad promedio para el periodo que se iicia e t = y dura i) 0. s. ii) 0. s, iii) 0.0 s, iv) 0.0 s b) Ecuetra la velocidad istatáea cuado t =. ) Usa ua gráfica para determiar las ecuacioes de todas las rectas que pase por el orige y sea tagetes a la parábola f x = x x + Traza las rectas e la gráfica. ) Se laza ua pelota que sigue la trayectoria descrita por y = x 0.0x. a) Represeta la gráfica de la trayectoria b) Ecuetra la distacia total que recorre la pelota c) Para qué valor de x alcaza la pelota su altura máxima? d) Ecuetra la ecuació que expresa la razó de cambio istatáeo de la altura de la pelota respecto al cambio horizotal. Evalua la fució e x = 0,,, 0. e) Cuál es la razó de cambio istatáeo de la altura cuado la pelota alcaza su altura máxima? ) Se laza ua pelota hacia arriba co ua velocidad iicial de 0 m/s. Cuado sale de la mao se ecuetra a metro sobre el suelo: a) Ecuetra la altura y, de la pelota, e el mometo t. b) Cuál es la altura a la que llega la pelota?