Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA. Ingenierías RH-Amb-Ag TEORÍA

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Natalia Paz Domínguez
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1 Uiversidad Nacioal del Litoral Facultad de Igeiería Ciecias Hídricas ESTADÍSTICA Igeierías RH-Amb-Ag TEORÍA Mg. Susaa Valesberg Profesor Titular

2 INFERENCIA ESTADÍSTICA TEST DE HIPÓTESIS

3 INTRODUCCIÓN Geeralmete los problemas a los que os efretamos profesioalmete ecesita de la formulació de u procedimieto de decisió. Estos procedimietos se basa e los datos que se recolecta relacioados al problema permite llegar a ua coclusió.

4 E geeral el profesioal postula o cojetura algo relacioado a u problema. Esa cojetura se puede epresar e forma de ua hipótesis, a sea relacioada a u parámetro o a u modelo teórico.

5 Etoces se va a defiir alguos coceptos que os permite desarrollar el procedimieto:

6 Qué es ua Hipótesis estadística? Qué es ua Prueba de hipótesis? Cuáles so los riesgos que se corre e la toma de decisioes?

7 Hipótesis estadística Es ua afirmació que se hace co respecto al valor de uo o más parámetros. So Hipótesis paramétricas.

8 La hipótesis puede referirse a la forma o tipo de la distribució o modelo estadístico de ua variable aleatoria. So las Hipótesis No paramétricas

9 Prueba de Hipótesis Es el procedimieto basado e lo que propoe la muestra e la teoría de probabilidad para determiar si la hipótesis plateada es ua afirmació razoable. Este procedimieto implica verificar la veracidad de la hipótesis plateada.

10 Hipótesis Hipótesis ula H 0 es la suposició bajo verificació o prueba. Si se deseara probar que la cocetració media de cierta sustacia tóica e u cuerpo de agua debido al volcado de efluetes idustriales es de 1 ppm. La hipótesis ula sería: H 0 : μ = 1

11 Hipótesis alterativa H 1 es la coclusió a la que se llegaría si la hipótesis ula fuera rechazada. E el ejemplo aterior, las posibles hipótesis alterativas sería: H 1 : μ 1 (Prueba a dos colas o bilateral) H 1 : μ < 1 (Prueba a ua cola o uilateral por izquierda) H 1 : μ > 1 (Prueba a ua cola o uilateral por derecha)

12 Regioes de Aceptació Rechazo Depediedo del parámetro a probar, de la distribució del estimador a utilizar de la forma de las hipótesis plateadas se defiirá estas regioes:

14 Riesgos e la toma de decisioes Cuado se usa u estadístico o característica de muestra para tomar decisioes acerca de u parámetro, eiste el riesgo de llegar a ua coclusió icorrecta. Se puede presetar dos tipos de errores: Error de tipo I ocurre si la hipótesis ula es rechazada cuado es verdadera Error de tipo II se preseta si la hipótesis ula es aceptada cuado es falsa

15 La probabilidad de cometer u error de tipo I, se cooce como ivel de sigificació α. Geeralmete, quie va a llevar a cabo la prueba de hipótesis cotrola el error tipo I, determiado el ivel de riesgo que estaría dispuesto a permitir e térmios de rechazar la hipótesis ula cuado es verdadera. La probabilidad de cometer u error de tipo II es β

17 Error tipo II para dos H 1 propuestas

18 Potecia de ua prueba estadística La potecia de ua prueba estadística es la probabilidad de rechazar la hipótesis ula H 0 cuado es falsa es decir la hipótesis alterativa es la verdadera. Esto es tomar ua decisió correcta. Es 1-β

19 La decisió de rechazar o o la hipótesis ula e favor de la alterativa deberá basarse e la iformació que da la muestra, a través de algua medida asociada a ella, que se deomia estadístico de cotraste de la prueba.

20 Estadístico de la prueba Es el valor de la distribució muestral del estadístico calculado a partir de la iformació de la muestra, que se utiliza para determiar si se rechaza o o la hipótesis ula. Por ejemplo e las pruebas de hipótesis para la media μ, cuado se cooce σ, el estadístico de prueba es: z

21 Regla de decisió Ua regla de decisió establece las codicioes e las que se rechaza o o la hipótesis ula.

22 Si por ejemplo fuera las siguietes hipótesis H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ < θ 0 θ 0 Regió de rechazo Valor crítico El valor crítico es el puto de divisió etre la regió e la que se rechaza la hipótesis ula la regió e la que o se rechaza

23 Toma de decisió Se calcula el estadístico de prueba, se compara co el valor crítico del mismo estadístico se toma la decisió: rechazar o o la hipótesis ula.

24 Valor p e las pruebas de hipótesis E los últimos años, co el adveimieto de los programas estadísticos ampliamete dispoibles, se ha desarrollado u plateo de la prueba de hipótesis que ha adquirido ua aceptació cada vez maor, que ivolucra el cocepto de valor p.

25 El valor p es la probabilidad de obteer u estadístico de prueba igual o más eacto que el resultado obteido a partir de los datos de la muestra, dado que la hipótesis ula es verdadera. Al valor p se lo cooce como ivel de sigificació observado, que es el míimo ivel al cual H 0 puede ser rechazada. Si el valor p es meor que α, o ha evidecia para aceptar H 0. Si el valor p es maor o igual que α, o ha evidecia para rechazar H 0

26 Cálculo del tamaño de muestra E u procedimieto de toma de decisioes, como e el caso de la prueba de hipótesis, podemos determiar el tamaño de la muestra ecesario para u ivel de sigificació, α, especificado ua potecia de prueba, 1 β, deseada.

27 Teiedo e cueta el estadístico de prueba, por ejemplo z para el caso a u test referido a la media poblacioal cuado calculamos : z z z z z z z z z ula hipotesis la a que cosideramos z X dode de z c c

28 Determiació de β del tamaño muestral Co el mismo procedimieto que e el caso bilateral, podemos calcular la probabilidad de cometer u error tipo II. Tambié podemos determiar el tamaño de muestra, co α β fijos.

29 α β predetermiados Supógase ua prueba uilateral por izquierda correspodiete al parámetro μ

31 H 0 se rechazará si: c 0 Z Se aceptará H 0 siedo falsa co ua probabilidad β sólo si: c 1 Z 1

32 Tamaño de muestra para α β fijos z z 0 1

33 Zoas de aceptació rechazo para distitos tipos de hipótesis

34 Pasos para probar ua hipótesis 1) Epresar la hipótesis ula. ) Epresar la hipótesis alterativa. 3) Especificar el ivel de sigificació, (). 4) Determiar el tamaño de la muestra. 5) Establecer los valores críticos que divide las regioes de rechazo de o rechazo. 6) Seleccioar la prueba estadística segú la distribució por muestreo del estadístico que se elige para llevar adelate la prueba referida al parámetro.

35 7) Calcular el valor muestral de la prueba estadística a partir de los datos. 8) Determiar si la prueba estadística ha caído e la regió de rechazo o e la de aceptació. 9) Tomar la decisió epresarla e térmios del problema.

36 Prueba para la media poblacioal Desvío estádar coocido El estadístico de prueba es z 0

37 Prueba para la media poblacioal Desvío estádar descoocido 1. Muestras grades (>30) El estadístico de prueba es z 0 S

38 . Muestras pequeñas (<30) El estadístico de prueba es t o bie t 1 S S' 1

39 Prueba para la proporció poblacioal El estadístico de prueba es z p 0 0( 1 0 )

40 Prueba para la variaza poblacioal El estadístico de prueba es S ( 1) S ' o bie 0 0

41 PRUEBAS DE HIPÓTESIS RESPECTO A DOS PARÁMETROS Prueba respecto a las medias de dos poblacioes ormales, desvíos poblacioales coocidos. Las hipótesis a platear podría ser: H 0 : μ 1 = μ H 1 : μ 1 μ H 0 : μ 1 < μ H 1 : μ 1 μ H 0 : μ 1 > μ H 1 : μ 1 μ

42 El estadístico a utilizar es la diferecia de medias muestrales. Z

43 Prueba respecto a las medias de dos poblacioes ormales, desvíos poblacioales descoocidos 1. Muestras grades El estadístico a utilizar es Z S S

44 . Muestras pequeñas Primero debe verificarse si las variazas que o se cooce puede cosiderarse iguales. E este caso previo a la prueba de medias se debe realizar el test de igualdad de variazas.

45 Variazas descoocidas pero iguales ' 1 ' 1 W S S S ~ 1 1 W t S bie o S S S W

46 Variazas descoocidas distitas v S S t ' ' 1 1 ' 1 1 ' ' ' S S S S v

47 Prueba para la diferecia etre dos proporcioes p p p co p p p p z ˆ ˆ ; 1 1 1

48 Prueba para la igualdad de variazas F ; Sˆ' Sˆ'

49 Prueba respecto a las medias de dos poblacioes co MUESTRAS DEPENDIENTES Depedecia sigifica que está emparejadas e el setido que cada observació e ua se asocia co algua observació e la otra. Ya que el ivel de la medició puede variar de muestra a muestra es posible que las dos observacioes o sea idepedietes, por el cotrario que esté relacioadas.

50 Por ejemplo: si se tiee dos istrumetos para medir precipitació, se quiere saber si so o o equivaletes los resultados de ambos, problema mu comú e el caso de comparació de datos. Si dos muestras so depedietes deberá teer el mismo úmero de elemetos.

51 d ˆ d N D; Sd 1 d t 1 d D S d 1

52 RELACIÓN ENTRE INTERVALOS DE CONFIANZA Y TEST DE HIPÓTESIS Como hemos visto, los itervalos de cofiaza se utiliza para estimar parámetros, mietras que los test de hipótesis, para tomar decisioes co respecto a valor/es de parámetros. Si embargo eiste ua relació mu estrecha etre la prueba de hipótesis sobre u parámetro θ el itervalo de cofiaza para θ. A meudo, los itervalos de cofiaza los test de hipótesis se puede usar e forma idistita. Supogamos la prueba H 0 : μ = μ 0 cotra H 1 : μ μ 0 a u ivel de sigificació α. Esto es equivalete a calcular u itervalo de cofiaza de (1 α)% para μ rechazar H 0 si μ 0 o está detro del itervalo de cofiaza.

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