Paso 2: Elegir un estadístico de contraste. Como queremos hacer un contraste de hipótesis para la media, el estadístico de contraste adecuado es:

Transcripción

1 Hoja 6: Cotraste de hipótesis 1. U laboratorio farmacéutico ha elaborado u fármaco e forma de comprimidos cuyo peso sigue ua distribució Normal co ua desviació típica de 0.12 mg. Se sabe que ua dosis de comprimido cuyo peso medio sea superior a 0.6 mg, produce efectos muy perjudiciales. Por este motivo, el hospital comprueba el peso medio de ua partida de 150 comprimidos, que resulta ser de 0.64 mg. Hacer u cotraste de hipótesis co u ivel de sigificació del 0.05 para averiguar si es posible admiistrar la medicació al efermo si riesgo. Sol.: Sí, hay riesgo de admiistrar la mediació al efermo. Solució Teemos que la desviació típica poblacioal es σ 0.12 mg, 150 es el tamaño de la muestra y x 0.64 es la media muestral. Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : µ 0.6 µ 0 es decir o hay riesgo de admiistrar la medicació, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ > 0.6 sí hay riesgo. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: Z X µ 0 σ/ N0, 1. 1 Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. Se trata de u cotraste uilateral co u ivel de sigificació α La regió crítica es z α, +. El valor crítico para este cotraste es z α y se determia de tal forma que P Z z α 1 α Mirado e la tabla de la Normal, obteemos que z α 1.64, de modo que la regió crítica es 1.64, +. Paso 4: Iformació muestral. Sustituyedo los datos e 1 obteemos el siguiete valor del estadístico: z / Paso 5: Decisió. Se tiee que , +, es decir que el valor del estadístico de cotraste perteece a la regió crítica. Por tato, la hipótesis H 0 se rechaza y se acepta la hipótesis alterativa H 1 µ > 0.6. E cosecuecia, se puede afirmar que co el ivel de sigificació del 5 % que hay riesgo sumiistrado ese fármaco. 2. La edad de la població que vive e residecias de mayores de cierta provicia sigue ua distribució Normal de media y desviació típica descoocidas. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 50, y se obtiee ua media muestral de 69 años y ua desviació típica muestral de 7.3 años. Se puede asegurar que la edad media de la població que vive e residecias de mayores de esa provicia es meor que 70 años co u ivel de sigificació del 5 %? Sol.: No se puede asegurar. Solució Teemos 50 es el tamaño de la muestra, x 69 años, la media muestral y s 7.3 años la desviació típica de la muestra. Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : µ 70, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ < 70. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: T X µ0 /, que sigue u T-studet co -149 grados de libertad. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. Se trata de u cotraste uilateral co u ivel de sigificació α La regió crítica es, t α. El valor crítico para este cotraste es t α y se determia de tal forma que P T t α 1 α Mirado e la tabla de la T-studet para 50 grados de libertad, obteemos que t α , de modo que la regió crítica es, Paso 4: Iformació muestral. Para ello recordemos que: E uestro caso, teemos que calcular primero la cuasidesviació típica. Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

2 Hoja 6: Cotraste de hipótesis s 1, de dode s t x µ 0 / Paso 5: Decisió. Se tiee que /, , es decir que el valor del estadístico de cotraste o perteece a la regió crítica, perteece a la regió de aceptació. Por tato, la hipótesis H 0 µ 70 o se puede rechazar y e cosecuecia o podemos asegurar que la edad sea meor que 70 años. 3. El peso medio de las mujeres de 30 a 40 años es de 53 Kg co ua desviació típica de 5 Kg. U estudio realizado e 16 mujeres de tales edades que sigue ua dieta vegetariaa da u peso medio de 51 Kg. Supoiedo que la població sigue ua distribució Normal, se puede afirmar co u ivel de sigificació del 1 % que la dieta modifica el peso? Sol.: No se puede afirmar. Solució Teemos que la desviació típica poblacioal es σ 5 Kg, 16 es el tamaño de la muestra y x 51 Kg. Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : µ 53 la dieta o modifica el peso, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ 53. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: Z X µ 0 σ/ N0, 1. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es, z α/2 z α/2, +. El valor crítico es z α/2 es tal que P Z z α/2 1 α/ Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. E uestro caso, teemos z x µ 0 σ/ / Paso 5: Decisió. Se tiee que 1.6 /, , +, es decir o perteece a la regió crítica. Por tato, a partir de los datos o se puede rechazar H 0 µ 53 y o se puede deducir de esa muestra co el ivel de sigificació del 1 %, que la dieta modifique el peso. 4. La elimiació por oria de aldosteroa está valorada e idividuos ormales e 12 mg/24h por térmio medio. E 50 idividuos co isuficiecia cardíaca se observó ua elimiació media de aldosteroa de 13 mg/24h y ua desviació típica muestral de 2.5 mg/24h. Para las siguietes valoracioes, usar el ivel de sigificació α 0.1. a So compatibles estos resultados co los de los idividuos ormales? b La isuficiecia cardíaca aumeta la elimiació de aldosteroa por oria? Sol.: a: No; b: Sí aumeta. Solució Teemos que la desviació típica muestral es s 2.5 mg/24 h, 50 es el tamaño de la muestra y x 13 mg/24 h. Apartado a: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Para ver si los datos obteidos e la muestra cotradice los valores establecidos, cosideramos como hipótesis ula H 0 : µ 12, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ 12. Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

3 Hoja 6: Cotraste de hipótesis Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: T X µ0 / sigue ua T-studet co 49 grados de libertad. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació de α 0.1. La regió crítica es, t α/2 t α/2, +. El valor crítico es t α/2 es tal que P T t α/2 1 α/ Usado la tabla de la T-studet co 50 grados de libertad, obteemos que t α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. E uestro caso, teemos que calcular primero la cuasidesviació típica, a partir de la desviació típica muestral: s 1, t x µ 0 / / Paso 5: Decisió. Se tiee que 2.80, , +, es decir perteece a la regió crítica. Por tato, se rechaza H 0 µ 12 y se acepta la hipótesis H 1 µ 12. Luego co el ivel de sigificació del 10 % se puede decir que la elimiació de aldosteroa por oria e las persoas co isuficiecia cardíaca o es la de las persoas ormales. Apartado b: Para ver si la isuficiecia cardíaca aumeta la elimiació de aldosteroa, cosideramos como hipótesis ula H 0 : µ 12 o aumeta, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ > 12. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste es el mismo que e el apartado aterior. El cotraste es u cotraste uilateral co u ivel de sigificació α La regió crítica es t α, +. El valor crítico es t α es tal que P T t α 1 α Usado la tabla de la T-studet, obteemos que t α y la regió crítica es , +. Se tiee que , +, es decir perteece a la regió crítica, luego se rechaza la hipótesis ula H 0 µ 12 y se acepta la hipótesis alterativa H 1 µ > 12, es decir, podemos afirmar co u 10 % de error, que la isuficiecia cardiaca aumeta la elimiació de aldosteroa por la oria. 5. E ua ciudad, dode la proporció de fumadores co edad compredida etre 18 y 20 años es del 30 %, el ayutamieto ha realizado ua campaña cotra el cosumo de tabaco. Dos meses después de termiar dicha campaña, se ha realizado ua ecuesta a 400 persoas de estas edades elegidas al azar, y se ha ecotrado etre ellas a 100 fumadores. a Podemos afirmar co u ivel de sigificació α 0.05, que esta campaña ha modificado la proporció de fumadores? b Comprobar la eficacia de la campaña: co el ivel de sigificació del 5 % se puede afirmar que la proporció de fumadores ha dismiuido? Sol.: a Sí; b Sí. Solució Teemos que la proporció de la muestra es ˆp y 400 es el tamaño de la muestra. Apartado a: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Para comprobar si hay modificació, establecemos como hipótesis ula H 0 : p 0.30 p 0, y como hipótesis alterativa, H 1 : p Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. proporció, el estadístico de cotraste adecuado es: Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la Z ˆP p 0 p 01 p 0 N0, 1. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es, z α/2 z α/2, +. El valor crítico es z α/2 es tal que P Z z α/2 Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

4 Hoja 6: Cotraste de hipótesis 1 α/ Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. E uestro caso, teemos z ˆp p 0 p 01 p / Paso 5: Decisió. Se tiee que , , +, es decir que perteece a la regió crítica, así que rechazamos la hipótesis ula H 0 p 0.3 y aceptamos la hipótesis H 1 p 0.3, es decir, se admite que la proporció de fumadores ha variado co u error del 5 %. Apartado b: E segudo lugar, si se quiere comprobar la eficacia de la campaña, se establece como hipótesis ula H 0 : p 0.30 frete a H 1 : p < El cotraste es u cotraste uilateral co u ivel de sigificació α La regió crítica es, z α siedo z α tal que P Z z α 1 α De la tabla de la Normal, se deduce que el valor crítico para este cotraste es z α 1.65 y la regió crítica es, Como el valor calculado e el apartado aterior , 1.65 perteece a la regió crítica, se rechaza H 0 p 0.30 y se acepta H 1 p < Luego se puede afirmar que co ese ivel de sigificació la campaña ha sido eficaz, ya que la proporció de fumadores ha sido meor. 6. El 40 % de los escolares de u país suele perder al meos u día de clase a causa de gripes y catarros. Si embargo, u estudio sobre 1000 escolares revela que e el último curso hubo 450 e tales circustacias. Las autoridades defiede que el porcetaje del 40 % para toda la població de escolares se ha mateido. Cotrastar co u ivel de sigificació del 5 % la hipótesis defedida por las autoridades saitarias, frete a que el porcetaje ha aumetado, como parece idicar los datos, explicado a qué coclusió se llega. Sol.: No es cierta la afirmació de las autoridades saitarias co u ivel se sigificació del 5 %. Solució Teemos que la proporció de la muestra es ˆp y 1000 es el tamaño de la muestra Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : p 0.40 p 0, y como hipótesis alterativa, H 1 : p Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. proporció, el estadístico de cotraste adecuado es: Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la Z ˆP p 0 p 01 p 0 N0, 1. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es, z α/2 z α/2, +. El valor crítico es z α/2 es tal que P Z z α/2 1 α/ Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. E uestro caso, teemos z ˆp p 0 p 01 p Paso 5: Decisió. Se tiee que , , + perteece a la regió crítica. Por tato se rechaza H 0 p 0.40 y se acepta H 1 p 0.40 co lo que se puede afirmar que co ese ivel de sigificació o es cierta la afirmació de las autoridades saitarias de que para toda la població el porcetaje de escolares se ha mateido. Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

5 Hoja 6: Cotraste de hipótesis 7. Muchos autores afirma que los pacietes co depresió tiee ua fució cortical por debajo de lo ormal debido a u riego saguíeo cerebral por debajo de lo ormal. A dos muestras de idividuos, uos co depresió y otros ormales, se les midió u ídice que idica el flujo saguíeo e la materia gris dado e mg/100 g/mi obteiédose Datos muestra\ Grupo Depresivos Normales Media Desviació típica Tamaño muestral Aceptado que las desviacioes típicas poblacioes coicide co las desviacioes típicas muestrales y que las poblacioes sigue ua distribució Normal, co u ivel de sigificació del 5 %, hay evidecia sigificativa a favor de la afirmació de los autores arriba mecioada? Es decir si hay evidecia estadística que los pacietes co depresió tiee u flujo saguíeo e la materia gris por debajo de lo ormal. Sol.: Sí Solució Se trata de cotraste de hipótesis para la diferecia de medias. Sea X 1 y X 2 las variables aleatorias que describe el ídice e el flujo saguíeo e la materia gris e los pacietes depresivos y ormales respectivamete. Sabemos que X 1 Nµ 1, σ 1 y X 2 Nµ 2, σ 2, co σ y σ Las medias muestrales y los tamaños de la muestra so x 1 47, x y 1 19, 2 22, respectivamete. Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : µ 1 µ 2 0 µ 0, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ 1 µ 2 < 0. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la diferecia de las medias, co desviacioes típicas poblacioes coocidas, el estadístico de cotraste adecuado es: Z X 1 X 2 µ 0 N0, 1. σ σ2 2 2 Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste uilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es, z α. El valor crítico es z α es tal que P Z z α 1 α Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α 1.65 y la regió crítica es, Paso 4: Iformació muestral. E uestro caso, teemos z x 1 x 2 µ 0 σ σ Paso 5: Decisió. Se tiee que , 1.64, es decir perteece a la regió crítica. Por tato, se rechaza H 0 µ 1 µ 2 0 y se acepta hipótesis alterativa, H 1 µ 1 µ 2 < 0. Se puede afirmar que co u ivel de sigificació del 5 % hay evidecia estadística que los pacietes co depresió tiee u flujo saguíeo e la materia gris por debajo de lo ormal. 8. Supogamos que el ídice de masa corporal de los iños españoles de 10 años sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 2 kg/m 2. Se cosidera que u iño padece sobrepeso si su ídice de masa corporal supera los 25 Kg/m 2. Se toma ua muestra de 60 iños de 10 años de diversas ciudades españolas, obteiedo ua media muestral de 26 kg/m 2. a Calcular u itervalo de cofiaza al 97 % para la media del ídice de masa corporal. b Hacer u cotraste de hipótesis co u ivel de sigificació del 5 % para determiar si los iños españoles padece sobrepeso. Sol.: a: , ; b: Sí, padece sobrepeso. Solució Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

6 Hoja 6: Cotraste de hipótesis Apartado a: Sabemos que σ 2, 60, x 26 y 1 α 0.97, luego α 0.03 y α/ Como la variable aleatoria que describe el ídice de masa corporal sigue ua distribució Normal y σ es coocido, el itervalo de cofiaza para la media viee dado por I x z α/2 σ, x + z α/2 σ, dode z α/2 es tal que P Z z α/2 1 α/ Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α/ Por tato, I , , Apartado b: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : µ 25 µ 0 es decir o padece sobrepeso, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ > 25 sí padece sobrepeso. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: Z X µ 0 σ/ N0, 1. 2 Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. Se trata de u cotraste uilateral co u ivel de sigificació α La regió crítica es z α, +. El valor crítico para este cotraste es z α y se determia de tal forma que P Z z α 1 α Mirado e la tabla de la Normal, obteemos que z α 1.64, de modo que la regió crítica es 1.64, +. Paso 4: Iformació muestral. Sustituyedo los datos e 2 obteemos el siguiete valor del estadístico: z / Paso 5: Decisió. Se tiee que , +, es decir que el valor del estadístico de cotraste perteece a la regió crítica. Por tato, la hipótesis H 0 se rechaza y se acepta la hipótesis alterativa H 1 µ > 25. E cosecuecia, se puede afirmar que co ese ivel de sigificació los iños españoles padece sobrepeso. 9. Se sabe que la reta aual de los idividuos de ua localidad sigue ua distribució de media y desviació típica descoocidos. Se ha observado la reta aual de 51 idividuos de esa localidad elegidos al azar y se ha obteido u valor medio de 1.6 milloes y ua desviació típica muestral de 0.24 milloes. a Obteer u itervalo de cofiaza al 90 % para la reta aual media. b Las autoridades afirma que la reta aual de la localidad tiee ua reta media de 1.45 milloes. Podemos asegurar que esta afirmació es cierta co u ivel de sigificació del 10 %? Sol.: a: , ; b: No Solució Apartado a: Sabemos que 51, x 1.6, s 0.24 y 1 α 0.90, luego α 0.1 y α/ Como 30 y la desviació típica poblacioal o se cooce, el itervalo de cofiaza para la media viee dado por I x t α/2, x + t α/2, dode t α/2 es tal que P T t α/2 1 α/ co T X µ 0 / que sigue la distribució t de Studet co grados de libertad. Usado la table de t de Studet, obteemos que t α/ Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

7 Hoja 6: Cotraste de hipótesis Por otra parte, la cuasidesviació típica viee dada por s 1 s Luego, I , , Apartado b: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Si la afirmació de las autoridades es cierta o o, cosideramos como hipótesis ula H 0 : µ 1.45 µ 0 la reta aual de la localidad tiee ua reta media de 1.45, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: T X µ0 / sigue ua distribució t de Studet co 1 50 grados de libertad. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació α 0.1. La regió crítica es, t α/2 t α/2, +. El valor crítico es t α/2 es tal que P T t α/2 1 α/ Usado la tabla de la t de Studet co 50 grados de libertad, obteemos que t α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. Sabemos que Por tato, t x µ 0 / Paso 5: Decisió. Se tiee que , , +, es decir perteece a la regió de rechazo, y o perteece a la regió de aceptació. Por tato, la hipótesis H 0 µ 1.45 se rechaza y se acepta H 1 y e cosecuecia o podemos asegurar co u 10 % de ivel de sigificació que la reta media aual de esta localidad es de 1.45 milloes. 10. La vida útil de ua marca de eumáticos está ormalmete distribuida co media y desviació típica descoocidas. E ua muestra de 26 eumáticos se obtiee ua media de Km y ua desviació típica muestral de 3000 Km. a Obteer u itervalo de cofiaza al 95 % de la media de la vida útil de este tipo de eumático. b La marca afirma que la vida útil media del eumático es Km. Podemos asegurarque esta afirmació es cierta co u ivel de sigificació del 5 %? Sol.: a: , ; b: Sí Solució Teemos que la desviació típica muestral es s 3000 Km, 26 es el tamaño de la muestra y x Km y que la població sigue ua distribució Normal. Apartado a: El ivel de cofiaza es 1 α 0.95, de dode el ivel de sigificació α 0.05 y α/ Como la desviació típica es descoocida, teemos que usar la variable t-studet, co grados de libertad. Más cocretamete, el itervalo de cofiaza para la media viee dado µ x t α/2, x + t α/2 dode t α/2 se busca e la tabla de t de Studet de 25 grados de libertad tal que P T t α/2 1 α/ , siedo T t 25 : P T t α/ t α/ Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

8 Hoja 6: Cotraste de hipótesis Por otra parte, para determiar el itervalo de cofiaza hace falta calcular la media de la muestra, la cuasidesviació típica muestral, o mejor dicho el cociete. Usamos la siguiete relació etre la desviació típica muestral, s y cuasidesviació típica mustral: s 1 Fialmete, el itervalo de cofiaza es s I , , , Apartado b: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Para ver si los datos obteidos e la muestra cotradice los valores establecidos, cosideramos como hipótesis ula H 0 : µ µ 0, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es T X µ0 / que sigue ua distribució de t de Studet co 25 grados de libertad. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es, t α/2 t α/2, +. El valor crítico es t α/2 es tal que P T t α/2 1 α/ , que ya hemos calculado e el apartado aterior: t α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. Hemos visto e el apartado aterior que 600, luego t x µ 0 / Paso 5: Decisió. Se tiee que 0 /, , +, es decir o perteece a la regió crítica. Por tato, o podemos rechazar H 0 µ 4500, es decir aceptamos H 0 y cocluimos que esta afirmació es cierta co u ivel de sigificació del 5 %. 11. Ua empresa farmacéutica ha elaborado uos comprimidos para combatir el asma. Se sabe que la variable aleatoria X que deota el peso e mg de los comprimidos para combatir el asma sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 2 mg. Se toma ua muestra de 9 comprimidos, obteiédose los siguietes pesos e mg: 502, 492, 501, 496, 503, 492, 505, 488 y 503. a Calcular u itervalo de cofiaza al 99 % para el peso medio de los comprimidos. b Hacer u cotraste de hipótesis co u ivel de sigificació del 3 % para averiguar si el peso medio de los comprimidos es iferior a los 500 mg. Sol.: a: , ; b: el peso medio es iferior a 500 Solució Apartado a: Sabemos que σ 2, 9, 1 α 0.99, luego α 0.01 y α/ y la media muestral viee dada por x Como la variable aleatoria que describe el peso e mg de los comprimidos para combatir el asma sigue ua distribució Normal y σ es coocido, el itervalo de cofiaza para la media viee dado por I x z α/2 σ, x + z α/2 σ, Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

9 Hoja 6: Cotraste de hipótesis dode z α/2 es tal que P Z z α/2 1 α/ Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α/ Por tato, I , , Apartado b: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : µ 500 µ 0 el peso medio de los comprimidos es superior a 500, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ < 500 el peso es iferior. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es: Z X µ 0 σ/ N0, 1. 3 Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. Se trata de u cotraste uilateral co u ivel de sigificació α La regió crítica es, z α. El valor crítico para este cotraste es z α y se determia de tal forma que P Z z α 1 α Mirado e la tabla de la Normal, obteemos que z α 1.88, de modo que la regió crítica es, Paso 4: Iformació muestral. Sustituyedo los datos e 3 obteemos el siguiete valor del estadístico: z 2/ 3. 9 Paso 5: Decisió. Se tiee que 3, 1.88, es decir que el valor del estadístico de cotraste perteece a la regió crítica. Por tato, la hipótesis H 0 se rechaza y se acepta la hipótesis alterativa H 1 µ < 500. E cosecuecia, se puede afirmar que co ese ivel de sigificació, el peso medio de los comprimidos es iferior a Ua muestra aleatoria de 16 cigarrillos de ua cierta marca tiee u coteido medio de icotia de 1.6 mg y ua desviació típica muestral de 0.7 mg. Supoiedo que la variable aleatoria X correspodiete al coteido de icotia de u cigarrillo sigue ua distribució Normal: a Obteer u itervalo de cofiaza al 99 % para coteido medio de icotia por cigarrillo de esa marca. b La marca afirma que el coteido medio de icotia por cigarrillo es de 1.3mg. Podemos asegurar que esta afirmació es cierta co u ivel de sigificació del 1 %? Sol.: a: , ; b: Sí Solució Teemos que la desviació típica muestral es s 0.7, 16 es el tamaño de la muestra, x 1.6 y que la població sigue ua distribució Normal. Apartado a: El ivel de cofiaza es 1 α 0.99, de dode el ivel de sigificació α 0.01 y α/ Como la desviació típica es descoocida, teemos que usar la variable t-studet, co grados de libertad. Más cocretamete, el itervalo de cofiaza para la media viee dado µ x t α/2, x + t α/2 dode t α/2 se busca e la tabla de t de Studet de 15 grados de libertad tal que P T t α/2 1 α/ , siedo T t 15 : P T t α/ t α/ Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

10 Hoja 6: Cotraste de hipótesis Por otra parte, para determiar el itervalo de cofiaza hace falta calcular la media de la muestra, la cuasidesviació típica muestral, o mejor dicho el cociete. Usamos la siguiete relació etre la desviació típica muestral, s y cuasidesviació típica mustral: s 1 Fialmete, el itervalo de cofiaza es s I , , Apartado b: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Para ver si los datos obteidos e la muestra cotradice los valores establecidos, cosideramos como hipótesis ula H 0 : µ 1.3 µ 0, y como hipótesis alterativa, H 1 : µ 1.3. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la media, el estadístico de cotraste adecuado es T X µ0 / que sigue ua distribució de t de Studet co 15 grados de libertad. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste bilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es, t α/2 t α/2, +. El valor crítico es t α/2 es tal que P T t α/2 1 α/ , que ya hemos calculado e el apartado aterior: t α/ y la regió crítica es, , +. Paso 4: Iformació muestral. Hemos visto e el apartado aterior que , luego t x µ 0 / Paso 5: Decisió. Se tiee que /, , +, es decir o perteece a la regió crítica. Por tato, o podemos rechazar H 0 µ 1.3, es decir aceptamos H 0 y cocluimos que esta afirmació es cierta co u ivel de sigificació del 1 %. 13. Ua empresa aseguradora realiza u estudio sobre la actividad física de sus clietes, realizado para ellos u cuestioario telefóico. a Al realizar u cuestioario telefóico a 300 de sus clietes, obtiee que 60 de ellos realiza algú tipo de actividad física de maera regular. Estimar mediate u itervalo de cofiaza al 98 % la proporció de clietes de la aseguradora que realiza actividad física de maera regular. b Supogamos ahora que la empresa co el propósito de ahorrar diero realiza ua campaña publicitaria a sus clietes durate varios meses. Se sabe que ates de la campaña la proporció de persoas que realiza actividad física de maera regular es de 0.2. Tras dicha campaña se realiza de uevo ua ecuesta telefóica a 500 de sus clietes y se obtiee que 150 de ellos realiza actividad física de maera regular. Se puede asegurar co u ivel de sigificació de 4 % que la campaña ha mejorado la proporció de clietes de la empresa que realiza la actividad física? Sol.: a: , ; b: Sí Solució Apartado a: El tamaño de muestra es 300 y la proporció muestral ˆp es igual al úmero de elemetos que preseta la respuesta positiva dividido por, es decir ˆp El ivel de cofiaza es 1 α 0.98, de dode 300 α 0.02, α/ , 1 α/ y el valor crítico z α/ El itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal es Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18

11 Hoja 6: Cotraste de hipótesis I ˆp z α/2 ˆp1 ˆp ˆp1 ˆp , ˆp + z α/ , , Apartado b: Teemos ahora que el tamaño de la uestra es 500 y que la proporció de la muestra es ˆp Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Establecemos como hipótesis ula H 0 : p 0.2 p 0, y como hipótesis alterativa, H 1 : p > 0.2. Paso 2: Elegir u estadístico de cotraste. proporció, el estadístico de cotraste adecuado es: Como queremos hacer u cotraste de hipótesis para la Z ˆP p 0 p 01 p 0 N0, 1. Paso 3: Costrucció de la zoa crítica. El cotraste es u cotraste uilateral co u ivel de sigificació de α La regió crítica es z α, +. El valor crítico es z α es tal que P Z z α 1 α Usado la tabla de la Normal, obteemos que z α 1.75 y la regió crítica es 1.75, +. Paso 4: Iformació muestral. E uestro caso, teemos z ˆp p 0 p 01 p Paso 5: Decisió. Se tiee que , + perteece a la regió crítica. Por tato se rechaza H 0 p 0.2 y se acepta H 1 p 0.2 co lo que se puede afirmar que co ese ivel de sigificació se puede afirmar que la campaña publicitaria ha mejorado la proporció de clietes que realiza actividad física. Dpto. EDAN - 30 de octubre de Curso 2017/18