Hidrología. Profesora: Rocío Arista

Transcripción

1 Hidrología Profesora: Rocío Arista

2 Bibliografía recomendada Ponce, V. M. (1989). Engineering Hydrology, Principles and Practices. 1ra Ed., PRENTICE-HALL, E.E.U.U. Chow, V. T., Maidment, D. R., y Mays, L. R. (1994). Hidrología Aplicada. Traducción autorizada de la 1ra Ed., McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A., Colombia. Monsalve, G. (1999). Hidrología en la Ingeniería. 2da Ed., ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. DE C.V., México, ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA, Colombia.. Aparicio, F. J. (2003). Fundamentos de Hidrología de Superficie. 11ma Reimpresión, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V., GRUPO NORIEGA EDITORES, México. Viessman, W., Lewis, G. (2014). Introduction to Hydrology. 5ta Ed., Pearson Education Inc., E.E.U.U.

3 Justificación del curso Las obras civiles son obras para el bienestar y desarrollo social. Uno de los elementos vitales del ser humano es el agua.

4 Justificación del curso Interactuamos con el agua como recurso hídrico de la tierra: la usamos la cuidamos nos protegemos de ella

5 Hidrología Ciencia que estudia las distintas formas de agua de la tierra, desde el punto de vista de su: Origen Composición Dinámica

6 Es necesario conocer los principios de la hidrología para la solución de problemas de ingeniería que surgen de la explotación de los recursos de agua de la tierra.

7 Algunos proyectos que requieren estudios de hidrología e hidráulica: abastecimiento de agua potable para una población abastecimiento de agua para riego generación de energía hidroeléctrica diseño de obras de drenaje rural, urbano y vial diseño de presas para distintos fines diseño de obras de encauzamiento de ríos

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11 Fuentes de agua naturales: precipitación nevados lagunas y lagos ríos y quebradas agua subterránea océanos

12 CICLO HIDROLÓGICO

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15 CUENCA HIDROGRÁFICA Porción de la superficie terrestre que colecta aguas superficiales y las concentra en un punto de interés aguas abajo. Balance hidrológico: S = P (E + ET + I + Q) (términos expresados en unidades de altura de agua: mm, cm)

16 CUENCA HIDROLÓGICA Incluye además las aguas subterráneas. Balance hidrológico: S = P (E + ET + G + Q) (términos expresados en unidades de altura de agua: mm, cm)

17 Variables hidrometeorológicas: precipitación (total diaria, mensual, anual; máxima en 24 horas): mm intensidad de lluvia: mm/hr escorrentía o caudal (medio diario, mensual, anual; máximo medio diario, máximo instantáneo): m 3 /s evaporación (total diaria, mensual, anual): mm temperatura (media diaria, mensual; máxima diaria, mínima diaria): C humedad relativa (media diaria, mensual; máxima diaria, mínima diaria): %

18 Estaciones de registro de las variables hidrometeorológicas: pluviométricas pluviográficas climatológicas hidrométricas

19 Fuentes de información hidrometeorológica: Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) Electroperú ANA Proyectos Especiales Empresas Mineras

20 Fuentes de información cartográfica: Instituto Geográfico Nacional (IGN): cartas nacionales, fotografías aéreas, imágenes satelitales Ministerio de Agricultura: planos de catastro rural

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30 Q. Huacahuasito Punto de Interés

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35 Estación Curahuasi PRECIPITACIÓN MENSUAL Departamento: Apurímac Provincia: Abancay Distrito: Curahuasi Latitud: 13 33' S Longitud: 72 44' W Altitud: 2763 m.s.n.m. Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic S/D S/D S/D T S/D T T 0.0 T T

36 Características Físicas de una Cuenca

37 Considerando la proyección horizontal de la cuenca Área (km 2, ha) Perímetro (km) Longitud (km, m)

38 Considerando la proyección horizontal de la cuenca Coeficiente de forma, K f K f A 2 L Coeficiente de compacidad, K c 0.282P K c 1 2 A Sólo considerando estos coeficientes, si K f es alto y/o K c cercano a la unidad, se trataría de una cuenca de respuesta rápida. Sin embargo, intervienen otros factores como el relieve de la cuenca, la cobertura vegetal, la densidad de drenaje, etc.

39 Relieve de la cuenca Curva Hipsométrica

40 Altitudes Características de la Cuenca Altitud Media E media E máx E 2 Altitud Mediana: el 50% del área de la cuenca se halla sobre y por debajo de esta altitud. Se obtiene a partir de la curva hipsométrica. E mediana E 50% mín Altitud Media Ponderada: se obtiene a partir de la curva hipsométrica.

41 Pendiente Promedio de la Cuenca S cuenca m i 1 li h A l: longitud de cada curva de nivel al interior de la cuenca h: desnivel entre curvas de nivel consideradas A: área de la cuenca m: número de curvas de nivel al interior de la cuenca

42 Características del Cauce Principal El cauce principal es el curso de agua central más largo. El perfil longitudinal típico es cóncavo hacia arriba.

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44 Pendiente Promedio del Cauce Principal Pendiente S 1 S 1 E máx L E mín E máx : elevación máxima del cauce principal E mín : elevación mínima del cauce principal L: longitud del cauce principal

45 Pendiente Promedio del Cauce Principal Pendiente S 2

46 Pendiente Promedio del Cauce Principal Pendiente S 3 L i : longitud de cada tramo del cauce principal S i : pendiente de cada tramo del cauce principal n i i i n i i S L L S

47 Orden del Cauce Principal El flujo tipo lámina, no concentrado, que se produce en la parte superior de la cuenca es de orden cero (0). Al concentrarse en un primer cauce el orden asciende a uno (1). Dos cauces de primer orden se unen para formar un cauce de orden dos (2) y así sucesivamente hasta la salida de la cuenca. El mayor orden alcanzado es el orden del cauce principal.

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49 Densidad de Drenaje D longitud total decursosde agua área dela cuenca

50 Longitud Promedio de Flujo Tipo Lámina 1 L o 2D

51 Caudales

52 Caudales Caudal instantáneo Caudal promedio Unidad de medida: m 3 /s o, si son valores muy pequeños, l/s. Un caudal también puede ser expresado como volumen (mm3 o MM3) o como altura de agua (mm, cm).

53 Componentes: 1. Flujo superficial: escorrentía superficial. 2. Interflujo: flujo bajo el suelo pero sobre el nivel de aguas freáticas. 3. Agua subterránea: flujo bajo el nivel de aguas freáticas. El flujo superficial es un proceso relativamente rápido de flujo de la precipitación efectiva y es también llamado ESCORRENTÍA DIRECTA. El interflujo y el agua subterránea son un proceso lento de flujo de agua infiltrada y son también llamados FLUJO BASE.

54 Tipos de cursos de agua: 1. Perennes: típicos de las regiones húmedas. Son producto del flujo base. 2. Efímeros: típicos de las regiones áridas y semiáridas. Son producto de la escorrentía directa. 3. Intermitentes: a veces son perennes y a veces son efímeros. Los nombres de los ríos suelen proporcionar información acerca del comportamiento o características del río. Por ejemplo: quebrada seca, río Colorado, río Chillón, etc.

55 Los caudales son regidos por procesos naturales de CONVECCIÓN y DIFUSIÓN. Suponiendo intensidad de lluvia constante distribuida uniformemente sobre toda la cuenca:

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57 Las concentraciones CONCENTRADA y SUPERCONCENTRADA son típicas en cuencas pequeñas. La concentración SUBCONCENTRADA es típica en cuencas medianas y grandes.

58 En la naturaleza la respuesta de la cuenca muestra un comportamiento más complejo que el atribuido únicamente a la concentración de la escorrentía. La difusión es el mecanismo que actúa para distribuir los caudales de flujo en el tiempo y espacio. Reduce los caudales de flujo a niveles por debajo de aquellos que se obtendrían sólo por convección. Suaviza, atenúa la respuesta de la cuenca. La función respuesta resultante es continua: HIDROGRAMA.

59 Hidrograma típico de una tormenta aislada

60 Elementos de un hidrograma de tormenta aislada

61 Componentes de un hidrograma de caudales

62 Características hidráulicas de un Curso de agua Dependen de: Dimensiones y forma de la sección transversal Pendiente longitudinal Rugosidad del contorno

63 Curva de calibración o relación elevación caudal Un cauce de sección definida artificial, suele tener relación E-Q única.

64 Medición de caudales 1. AFORO INDIRECTO Si el flujo es uniforme puede usarse una relación E-Q única, la cual puede ser determinada utilizando la ecuación de Manning. Si el flujo no es uniforme puede usarse una relación E-Q única, en la cual Q ha sido determinado mediante aforo directo. 2. AFORO DIRECTO Se realiza en un canal de control (cauce largo de sección transversal relativamente uniforme, pendiente constante y rugosidad constante). En sección transversal perpendicular a la dirección del flujo, esta debe ser medida usando técnicas de topografía y debe medirse la velocidad en varios puntos en la sección.

65 Aforo directo

66 Correntómetro

67 Correntómetros

68 Correntómetros

69 Correntómetros

70 Correntómetros

71 Métodos para determinar el caudal máximo a partir de datos pluviométricos Método Racional Método del Hidrograma Unitario

72 Método Racional Este método es utilizado en cuencas pequeñas, es decir, aquellas en las cuales: 1) puede asumirse que la lluvia se distribuye uniformemente en el tiempo y en el espacio; 2) la duración de la tormenta es superior al tiempo de concentración de la cuenca; y 3) la escorrentía superficial es principalmente de tipo lámina.

73 Método Racional El caudal máximo es determinado utilizando la siguiente expresión: Q CIA Donde: C: coeficiente de escorrentía I: Intensidad de lluvia máxima de diseño A: área de la cuenca

74 Intensidad de lluvia máxima de diseño Debe evaluarse el tiempo de concentración, pues la lluvia de diseño será aquella de duración igual al tiempo de concentración. La relación I-D a utilizarse será la correspondiente a la frecuencia o periodo de retorno especificados para el diseño. Si bien la frecuencia de una tormenta no necesariamente es igual a la frecuencia de una avenida, esta diferencia puede ser ajustada mediante el coeficiente de escorrentía.

75 Tiempo de concentración En cuencas pequeñas puede hacerse uso de la fórmula de Kirpich: t c 0,06628L 0,385 0,77 L: longitud desde la divisoria hasta la salida de la cuenca en km S: pendiente entre la elevación máxima y mínima en m/m t c : tiempo de concentración en horas S

76 Coeficiente de escorrentía Coeficientes de Escorrentía para Areas Rurales Textura del Suelo Vegetación Topografía Franco arenoso Franco arcilloso Arcilla dura y limoso Bosques Plano Ondulado Montañoso Pastos Plano Ondulado Terrenos cultivados Montañoso Plano Ondulado Montañoso Plano: pendiente 0-5%; ondulado: 5-10%; montañoso: 10-30% Fuente: Victor Miguel Ponce. Engineering Hydrology. ; Nueva Jersey: Prentice Hall. (1989)

77 El coeficiente de escorrentía toma en cuenta las abstracciones hidrológicas o pérdidas, y la difusión de la escorrentía en la cuenca. Una cuenca con pendiente baja tendrá mayor capacidad de atenuar la escorrentía, de modo que el coeficiente de escorrentía será también bajo.

78 El método racional no toma en cuenta la condición de humedad antecedente de la cuenca; las tablas de coeficientes de escorrentía corresponden a condiciones de humedad antecedente promedio. En caso de humedad antecedente alta puede incrementarse el valor del coeficiente de escorrentía.

79 EJEMPLO: Halle el caudal máximo colectado por la cuenca 11; considere periodo de retorno 50 años.

80 Datos: Ubicación: Yurimaguas Área: 7,34 ha Longitud: 405,8 m Desnivel: 14 m

81 Intensidad de Lluvia (mm/hr) Intensidad de Lluvia - Duración - Estación Yurimaguas (Tr 50 años) y = x R 2 = Duración (horas)

82 Cálculos y parámetros considerados: Pendiente: S = 0,034 Suelo franco arcilloso y limoso cubierto de pastos Coeficiente de escorrentía: C = 0,30 Tiempo de concentración (Kirpich): t c = 7,3 min = 0,12 h I 50 = 289,09 mm/h Q 50 = 1,77 m 3 /s

83 Método del Hidrograma Unitario Este método es utilizado en cuencas medianas, es decir, aquellas en las cuales: 1) la intensidad de la lluvia varía a lo largo de la duración de la tormenta; 2) puede asumirse que la lluvia se distribuye uniformemente en el espacio; y 3) la escorrentía superficial es de tipo lámina y en cauce.

84 Método del Hidrograma Unitario El método toma en cuenta la variación temporal de la intensidad de lluvia. Consiste en derivar un hidrograma para una tormenta (efectiva) unitaria (hidrograma unitario) y luego en base a este, elaborar el hidrograma correspondiente al hietograma de la tormenta (efectiva) de diseño.

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89 Método del Hidrograma Unitario Para sustraer las abstracciones hidrológicas, se utiliza el método del número de curva de escurrimiento del Soil Conservation Service (SCS). Según el método, la lámina de escurrimiento (lámina de precipitación efectiva) es función de la lámina de precipitación total y un parámetro de abstracción denominado número de curva de escurrimiento, número de curva, o CN.

90 Método del Hidrograma Unitario La precipitación efectiva es estimada según: P e 25.4 CN P/25.4 CN CN P/25.4 Pe, P en mm, sujetos a la siguiente restricción: P / CN

91 Número de Curva (CN) El número de curva varía de 1 a 100, y es función de las siguientes propiedades: 1) tipo hidrológico del suelo, 2) uso y tratamiento del terreno, 3) condición de la superficie del terreno, y 4)condición de humedad antecedente. Es estimado a partir de tablas elaboradas por el SCS.

92 Algunos valores del Número de Curva (CN) Descripción del uso de la tierra Grupo hidrológico del suelo A B C D Tierra cultivada 1 : Sin tratamientos de conservación Con tratamientos de conservación Pastizales: Condiciones pobres Condiciones óptimas Valles de ríos: Condiciones óptimas Bosques: Troncos delgados, cubierta pobre, sin hierbas Cubierta buena Áreas abiertas, césped, parques, campos de golf, cementerios, etc. Condiciones óptimas: cubierta de pasto en el 75% o más Condiciones aceptables: cubierta de pasto en 50 al 75% Áreas comerciales de negocios (85% impermeables) Distritos industriales (72% impermeables) Residencial 3 : Tamaño promedio del lote Porcentaje promedio impermeable 4 1/8 acre o menos /4 acre /3 acre /2 acre acre Parqueaderos pavimentados, techos, accesos, etc Calles y carreteras: Pavimentados con cunetas y alcantarillados Grava Tierra

93 HA II HA I HA III HA II HA I HA III

94 Hidrograma unitario de una cuenca Puede ser calculado directamente, usando datos de precipitación-escorrentía de eventos escogidos, o indirectamente, usando una fórmula de hidrograma unitario sintético. Puede obtenerse varios hidrogramas unitarios en una misma cuenca, cada uno para diferentes duraciones de lluvia.

95 Método Directo La cuenca debe tener estaciones de registro de precipitación y una estación hidrométrica a la salida; esto permitirá obtener conjuntos de datos precipitación-escorrentía. Debe trabajarse con tormentas de duración definida, sin lluvias precedentes o posteriores, y de intensidad de lluvia uniforme tanto en el tiempo como en el espacio. La duración de las tormentas debe ser de 10 a 30% del tiempo de retraso de la cuenca; este último es el tiempo transcurrido entre la ocurrencia de la lluvia unitaria y la ocurrencia de la escorrentía unitaria.

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97 Método Directo Procedimiento: 1. Separar el hidrograma medido en hidrograma de escorrentía directa y flujo base. 2. Calcular el volumen de escorrentía directa. 3. Calcular la lámina de escorrentía directa. 4. Calcular las ordenadas del hidrograma unitario dividiendo las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa entre la lámina de escorrentía directa. 5. Registrar la duración del hidrograma unitario.

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99 Método Indirecto Se hace uso de hidrogramas unitarios sintéticos, los cuales son derivados usando fórmulas establecidas. Los más difundidos en la literatura son: Hidrograma Unitario de Snyder Hidrograma Unitario del Soil Conservation Service (SCS)

100 Hidrograma Unitario de Snyder t C l t LL 0. 3 c Para L, L c (km) y t l (horas), C t varía de 1,35 a 1,65, con promedio 1, C p A Q p t l Q p : caudal pico del hidrograma unitario que corresponde a una precipitación efectiva de 1 mm, en m 3 /s; A: área de la cuenca en km 2 ; t l : retraso en horas. C p varía de 0,56 a 0,69.

101 Hidrograma Unitario de Snyder Duración: Tiempo al pico: Tiempo base: 2 tr t 11 l t p 12 t 11 l T 72 3 b t l Para dar forma al hidrograma unitario de Snyder, se tiene las siguientes fórmulas: W50 W Q / A Q / A p 08 p que son el ancho del hidrograma unitario, en horas, para 50 y 75% de la descarga pico, ubicando un tercio antes del pico y dos tercios después del pico. En estas fórmulas Q p debe ser ingresado en m 3 /s y A en km 2.

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103 Hidrograma Unitario del SCS Para cuencas de área menor a 8 km 2 y CN de 50 a 95: t l L 0.8 ( CN t l : retraso en horas; L en metros; CN: número de curva; Y: pendiente promedio de la cuenca en m/m. Para demás cuencas: 22.86CN) donde el tiempo de concentración es estimado determinando la velocidad de flujo en tramos del cauce principal. 0.7 Y 0.5 tl 0. 6t c 0.7

104 Hidrograma Unitario del SCS Velocidades (m/s) Tipo de flujo Pendiente (%) LÁMINA Bosques 0,0-0,5 0,5-0,8 0,8-1,0 1,0- Pastizales 0,0-0,8 0,8-1,1 1,1-1,3 1,3- Cultivos 0,0-0,9 0,9-1,4 1,4-1,7 1,7- Pavimentos 0,0-2,6 2,6-4,1 4,1-5,2 5,2- CAUCE NATURAL NO BIEN DEFINIDO 0,0-0,6 0,6-1,2 1,2-2,1 2,1- CAUCE NATURAL DEFINIDO Utilizar Ec. Manning

105 Hidrograma Unitario del SCS 10 t p t 9 l 2 tr 9 t l T 5t b p Q p 0.208A t p Q p : caudal pico del hidrograma unitario para una precipitación efectiva de 1 mm, en m 3 /s; A: área de la cuenca en km 2 ; t p : tiempo al pico en horas. Determinados Q p y t p, las ordenadas del hidrograma unitario sintético son calculadas usando el hidrograma unitario adimensional del SCS, sea en forma gráfica o tabular (Q/Q p vs t/t p ).

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107 Hidrograma Unitario del SCS t/tp Q/Qp

108 EJEMPLO: Halle el caudal máximo colectado por la cuenca 10; considere periodo de retorno 100 años.

109 Datos: Ubicación: Madre de Dios Área: 10,546 km 2 Longitud: 4404,4 m Desnivel: 150 m

110 Cuadro N 2 Valores de Precipitación Máxima en 24 horas Utilizados* Estación: Quincemil Año P24 (mm) * Fuente: SENAMHI, Oficina General de Estadística e Informática

111 Cuadro Nº 4 Valores de Diseño* de Precipitación Máxima en 24 Horas Estación: Quincemil Tr (años) P máx 24 hr * Son los obtenidos con el modelo Gumbel.

112 Intensidad de Lluvia (mm/hr) Figura Nº 1 Intensidad de Lluvia - Duración (escala logarítmica) Estación: Quincemil y = x y = x y = x y = 82.36x Duración (horas) Tr = 2 años Tr = 10 años Tr = 25 años Tr = 50 años Tr = 100 años Tr = 500 años

113 Cálculos y parámetros considerados: Pendiente: S = 0,010 Suelo C cubierto de bosques Condición de humedad antecedente III Número de curva 85 Tiempo de concentración: t c = 2,35 h Tiempo al pico: 1,57 h Duración: 0,31 h Q pico = 1,40 m 3 /s

114 Caudal Unitario (m3/s/mm) Caudal (m3/s) Pe (mm) Figura 3 Hidrograma de Avenida Tr = 100 años - Huanquimy Hietograma de Precipitación Efectiva Intervalo de Tiempo 0,31 h Hidrograma Unitario Tiempo (h) Tiempo (h)

115 Caso de la Quebrada Huanquimy Vista hacia aguas arriba

116 Vista hacia aguas abajo Vista del lecho

117 PUENTE HUANQUIMY Tr = 100 años Q diseño m 3 /s Para el caudal de diseño indicado, en la ubicación de la obra de cruce se tendría un flujo de las siguientes características (obtenido luego de utilizar el programa de cómputo Hec RAS): NA m nivel de agua Nmin m nivel mínimo del cauce A m2 área de flujo T m ancho superficial V 2.29 m/s velocidad media Y medio 3.46 m tirante medio Y máximo 4.72 m tirante máximo Esf. Cort N/m2 esfuerzo cortante total d mm diámetro medio partículas de lecho

118 Análisis de Frecuencia La información hidrométrica y pluviométrica disponible es histórica, con eventos cuyo patrón de ocurrencia debe ser analizado a fin de establecer la probabilidad de que se presente un evento superior al que se consideraría en el diseño o, a partir de una probabilidad de excedencia adoptada, establecer cuál sería el evento de diseño. La probabilidad de excedencia viene a ser la frecuencia, la cual es equivalente a la inversa del periodo de retorno (tiempo promedio en años transcurrido entre los eventos que igualan o exceden determinada magnitud en determinado lugar).

119 Modelos utilizados El análisis de frecuencia permite pronosticar magnitudes de eventos extraordinarios asociados a determinadas probabilidades de excedencia (o periodos de retorno) haciendo uso de distribuciones de probabilidad que describan los eventos históricos registrados. Se tienen varios modelos de análisis de frecuencia, los más utilizados para el tratamiento de información hidrométrica y pluviométrica a nivel de valores máximos son: Log Normal, Log Pearson Tipo III y Gumbel.

120 Modelo general En general, los modelos estiman el valor que tomaría una variable X para un periodo de retorno T, esto es X T, mediante la siguiente expresión: X T K K T : factor de frecuencia : media poblacional de X : desviación estándar poblacional de X T

121 Modelo general Si y no se conocen, entonces se calculan utilizando los datos muestrales. K T depende del periodo de retorno y del tipo de distribución que describe a la población. Algunos modelos analizan la variable log X en lugar de la variable X; adecuando la ecuación anterior la estimación se efectuaría entonces según: log X logx T log X log X log X : media poblacional de log X : desviación estándar poblacional de log X K T

122 Distribución Log Normal Este es un modelo que analiza la variable log X y considera que esta sigue una distribución normal (distribución simétrica con media y desviación estándar ). La variable de distribución normal estándar está dada por: z X En el caso de distribución log normal: z log X log X log X

123 Distribución Log Normal Se trata de una variable normalmente distribuida con media cero y desviación estándar uno, y cada valor de z tiene asociada una probabilidad de excedencia. Entonces, el factor de frecuencia toma el valor de la variable de distribución normal estándar correspondiente a la probabilidad de excedencia deseada. K T z T

124 Distribución Log Normal La distribución normal estándar está dada por la ecuación: f 1 z z e 2 2 El área bajo esta curva hasta determinado valor de z estaría dada entonces por: z z t 2 1 dt 2 F e 2 2

125 Distribución Log Normal y representa la probabilidad de que t, una variable auxiliar, se encuentre entre - y z, es decir, F(z) viene a ser la probabilidad de que z no sea excedido, de modo que: p 1 1 T exc z T La relación z versus F(z) suele encontrarse en tablas y como una función en hojas de cálculo computacionales y algunas calculadoras. F

126 Valores de F(z) versus z (Distribución Normal) z

127 Distribución Log Normal Ejemplo: Cuál sería el factor de frecuencia de probabilidad normal a utilizar para pronosticar un valor extremo con periodo de retorno 100 años? El periodo de retorno de 100 años corresponde a una probabilidad de excedencia 0,01, es decir, una probabilidad de no excedencia 0,99. Entonces buscamos el valor de z para el cual F(z) toma el valor 0,99, que viene a ser 2,326. El factor de frecuencia de probabilidad normal para un periodo de retorno de 100 años es 2,326.

128 Distribución Log Pearson Tipo III Este modelo también analiza la variable log X y considera que esta sigue una distribución Pearson Tipo III. La distribución Pearson Tipo III es una distribución asimétrica de tres parámetros que también tiene ecuaciones que la describen las cuales no serán escritas aquí pero mediante una tabla preparada puede hallarse directamente el factor de frecuencia en función del coeficiente de asimetría poblacional (o muestral) y la probabilidad de excedencia (o el periodo de retorno). Cabe mencionar que si el coeficiente de asimetría es cero, la distribución se reduce a una distribución normal.

129 Valores de K T versus T, P exc y C s (Distribución Pearson Tipo III) Coef. Asimetría Cs Periodo de Retrono T (años) Probabilidad de Excedencia Pexc (%)

130 Distribución Log Pearson Tipo III Ejemplo: Cuál sería el factor de frecuencia de probabilidad Pearson Tipo III a utilizar para pronosticar un valor extremo con periodo de retorno 100 años a partir de una muestra con coeficiente de asimetría 1,0? Directamente, a partir del cuadro se halla el valor 3,022. Observemos que para un coeficiente de asimetría cero hallamos en la tabla el valor 2,326, exactamente el mismo valor que se había determinado suponiendo una distribución normal para el mismo periodo de retorno.

131 Distribución Gumbel El modelo Gumbel analiza la variable X y considera que esta sigue una distribución de Valor Extremo Tipo I. En la distribución Gumbel se cumple la siguiente relación: p exc 1 e e y T Donde: y T y y X T K T y T : variable reducida de Gumbel con periodo de retorno T y : media de la variable reducida y : desviación estándar de la variable reducida

132 Valores de y y y versus n (Distribución Gumbel) n y y n y y n y y n y y

133 Distribución Gumbel Para una longitud de muestra que se aproxima a infinito, y toma el valor 0,5772 y y el valor 6. Con estos valores puede hacerse un pronóstico de la variable X T sin consideración de la longitud de la muestra. Este cálculo es conocido como GUMBEL MODIFICADO.

134 Distribución Gumbel Ejemplo: Cuál sería el factor de frecuencia de Gumbel a utilizar para pronosticar un valor extremo con periodo de retorno 100 años a partir de una muestra de 50 datos? La probabilidad de excedencia correspondiente es 0,01, a partir de la cual se obtiene el valor de y 100 como 4,600. Para una longitud de muestra 50 hallamos que y toma el valor 0,5485 y y el valor 1,1607. Calculamos entonces el factor de frecuencia K 100 que resulta 3,491. Observemos que si tuviésemos una muestra de 30 datos el factor de frecuencia resultaría 3,653, un valor mayor. El modelo compensa la falta de información con un mayor factor de frecuencia.

135 Selección de la muestra para análisis Si se dispone de información hidrométrica se analizará una muestra de caudales máximos, mientras que en el caso de información pluviométrica se analizará una muestra de precipitaciones máximas en 24 horas. En ambos casos se dispondrá inicialmente de un registro histórico con un dato por mes y por año a partir del cual se obtendrá una muestra de longitud igual al número de años en los que se cuenta con información (longitud del registro en años). Lo usual es tomar un valor por año hidrológico: el máximo valor anual de la variable hidrológica analizada. El año hidrológico se inicia con el inicio del periodo de avenidas y finaliza con el término del periodo de sequías, periodos que se suceden año a año.

136 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra Se ha presentado los modelos Log Normal, Log Pearson Tipo III y Gumbel como los más utilizados para el análisis de una muestra de datos hidrológicos máximos y, como es obvio, cada modelo hará un pronóstico distinto; debe entonces seleccionarse el modelo que mejor se ajusta a la muestra de información histórica y cuyo pronóstico está más en concordancia con la serie de valores analizados.

137 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra Utilizando las relaciones anteriormente presentadas para cada distribución de probabilidad, puede hacerse el procedimiento inverso, es decir, en lugar de hallar el valor que toma la variable X para cierto periodo de retorno (o probabilidad de excedencia), puede hallarse la probabilidad de excedencia asociada a cada valor de X observado. Tal probabilidad de excedencia será teórica (del modelo) y puede ser comparada con la probabilidad de excedencia observada para establecer cuánto se aparta el modelo de los valores observados.

138 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra La probabilidad de excedencia observada es determinada utilizando fórmulas de posición de ploteo dadas por diferentes autores, sin embargo la de mayor aplicación es la ecuación de Weibull. Los valores de la muestra histórica serán ordenados de mayor a menor y se asignará un número de orden a cada uno: el máximo tendrá número de orden 1 y el mínimo tendrá número de orden igual a la longitud de la muestra. Entonces puede hallarse la probabilidad de excedencia observada con la cual se comparará la probabilidad de excedencia teórica para cada valor de X en la muestra.

139 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra El valor absoluto de la diferencia entre los valores de probabilidad teórica y observada desviación estimada para cada dato muestra el ajuste del modelo a los valores observados; para seleccionar el modelo con mejor ajuste puede evaluarse la máxima desviación obtenida con cada modelo y optar por aquél que muestre menor desviación máxima. Opcionalmente, los valores observados y el modelo teórico pueden ser graficados en papeles de probabilidad correspondientes; sin embargo, debe indicarse que el ajuste del modelo a los valores observados no se aprecia en su verdadera magnitud debido a la escala utilizada en estos papeles: de probabilidad.

140 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra Ejemplo: Se tiene una muestra de 50 valores de precipitación máxima en 24 horas registrados en la estación Tarapoto, el mayor de los cuales es 111,0 mm y el menor 42,0 mm. La media y desviación estándar de los datos son 70,3 mm y 19,1 mm, respectivamente. Determine la desviación del modelo Gumbel respecto al valor de 111,0 mm.

141 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra Usando las expresiones correspondientes, hallamos que el factor de frecuencia del valor 111,0 mm es 111,0 70,3 19 1, 21, 277 Entonces podemos hallar el valor de la variable reducida de Gumbel que resulta 0,5485 1, 1607 * 2, ,0181 La probabilidad de excedencia teórica sería 1 exp( exp( 3,0181) 0,0477

142 Selección de la Distribución de Probabilidad que Mejor Modela la Muestra De otro lado, la probabilidad de excedencia observada resultaría 151 0,0196 de modo que la diferencia entre ambas probabilidades para el mismo dato es 0,0477 0,0196 0,0281 Para el valor 42,0 mm esta diferencia resulta 0,0210. Siguiendo el mismo procedimiento se puede hallar la desviación para cada valor de la muestra.

143 Curva de Duración y Curva Masa

144 Curva de Duración Representa el tiempo en el año en que el caudal es mayor que un valor determinado; es decir, el tiempo en el que determinado caudal es garantizado. Se obtiene contando el número de días en los que el caudal es mayor a un valor determinado; o bien, a partir de la curva de caudales cronológicos, cortando horizontales a distintas alturas y llevando como abscisas la parte horizontal comprendida dentro del área limitada por la curva de caudales cronológicos.

145 Caudal Medio Diario (m3/s) Gráfico Cronológico de Caudales Medios Diarios Río Tumbes - Estación El Tigre - Año Días

146 Caudal (m3/s) CURVA DE DURACIÓN Río Tumbes - Estación El Tigre - Año Días

147 Curva de Duración El área comprendida bajo la curva de duración es igual a la aportación anual, que, dividida por el número de segundos del año nos proporcionará el caudal medio. El caudal correspondiente a la mitad del año se denomina caudal ordinario y suele ser inferior al caudal medio. Se denominan de aguas altas a los caudales que corresponden a los noventa días al año con mayor caudal y de aguas bajas a los que corresponden a los noventa días de menor caudal, el resto son denominados caudales de aguas medias.

148 Curva de Duración Existe un método denominado método de datos agrupados, que permite obtener la curva de duración a partir de una serie de caudales medios diarios o mensuales de m años. Consiste en agrupar los datos según intervalos de clase para luego determinar el porcentaje de datos por encima de determinado valor. El número de intervalos de clase se obtiene con la siguiente fórmula: n N = 12m ó 365m 1 3.3log N

149 Curva de Duración El rango de cada intervalo de clase se estima según: R Q m áx Se elabora entonces un cuadro con los intervalos de clase obtenidos entre el valor mínimo y el máximo, contando el número de datos en cada intervalo para luego obtener el número de datos por encima del límite inferior de cada intervalo. Estos números son luego expresados como porcentaje. n Q m ín

150 DESCARGAS MEDIAS MENSUALES (M3/S) PERIODO ESTACION: EL TIGRE RIO: TUMBES AÑO ENE. FEB. MAR. ABR. MAY. JUN. JUL. AGO. SET. OCT. NOV. DIC. MEDIA PROMEDIO

151 CURVA DE DURACION DEL RIO TUMBES En base a datos de caudal medio mensual (periodo ) N datos 408 n 9 Rango Intervalo de Clase Persistencia Caudal N Items N Items Ac. Lím. Inf. Lím. Sup. (%) (m3/s)

152 Caudal (m3/ CURVA DE DURACION DEL RIO TUMBES Persistencia (%)

153 Curva de Duración Adimensional Es conveniente en algunos casos graficar una curva de duración adimensional pues esta puede ser representativa para una región y puede entonces ser utilizada en cuencas en las que no se cuenta con caudales medios diarios o medios mensuales. Q Q vs % t

154 Caudal (m3/s) CURVA DE DURACIÓN (estaciones del río Rímac y afluentes) Persistencia (%) Chosica Surco San Mateo Río Blanco Yuracmayo

155 Caudal/(Caudal Promedio) CURVA DE DURACIÓN ADIMENSIONAL (estaciones del río Rímac y afluentes) Persistencia (%) Chosica Surco San Mateo Río Blanco Yuracmayo

156 Curva Masa Es útil para la estimación del volumen de reservorio necesario para satisfacer determinada demanda. Se obtiene graficando en abscisas el tiempo acumulado y en ordenadas el volumen acumulado obtenido a partir del caudal medio diario o mensual. Para ello, primero debe establecerse el periodo de 2 ó 3 años más crítico, es decir, aquél con menor caudal promedio bianual o trianual.

157 DESCARGAS MEDIAS MENSUALES DEL RIO YAUCA Estación Puente Jaquí (m3/s) Año Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Set. Oct. Nov. Dic. Prom (3)

158 ANÁLISIS DE CURVA MASA PARA EL RÍO YAUCA (PERIODO CRÍTICO ) Volumen de reservorio necesario para satisfacer una demanda constante igual al caudal promedio del periodo VR MM3 Mes Tiempo (días) Caudal Medio Mensual (m3/s) V Oferta (MM3) Tiempo Acumulado (días) V Oferta Acumulada (MM3) V Demanda mensual (m3/s) V Demanda Acumulada (MM3) Oferta - Demanda Acumulada (MM3) Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Q prom. VR1 VR m3/s MM MM3

159 Volumen de Oferta Acumulada (MM3) Curva Masa del Río Yauca Periodo Crítico Tiempo Acumulado (días)