MODELO DE RESPUESTA SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL MATEMÁTICA I ( ) Lapso

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1 Primera Prueba Integral Lapso UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CENTRO LOCAL METROPOLITANO ÁREA DE MATEMÁTICA MODELO DE RESPUESTA SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL MATEMÁTICA I ( ) Lapso.004- OBJ PTA Si α y β son las aproximaciones por defecto y por exceso con cinco cifras significativas del α + β número 64,79, entonces es igual a: De acuerdo a la definición de aproximaciones por defecto y por exceso y de cifras significativas dadas en las páginas 70-7 del Módulo I, tenemos que: α 64, 7 y β 64, 8. Entonces: OBJ PTA Verifica que: α + β [ + ) + ] ( 64,7 + 64, 8 8, [ ( + ) + ] + [( ) + ] ,7 + + [ ) + ] ( + Sumando las expresiones obtenidas, resulta: ( + )( ) + ( + ( ) )( ) Por tanto no se verifica la igualdad

2 Primera Prueba Integral Lapso OBJ PTA Indica los números naturales que están en el conjunto: A { x IR / l x l < }, Según lo señalado en la p. del Módulo I, tenemos l x l < < x < + < x < < x < Por lo tanto: 4 < x < 6. A { x IR / 4 < x < 6 } ( 4, 6) Los número naturales del intervalo (-4, 6) son {0,,,, 4, } OBJ 4 PTA 4 Determina el valor de p de tal forma que los puntos: A (7, ), B (, 0), C (p, ), sean los vértices de un triángulo rectángulo, con ángulo recto en B. Los puntos A(7,), B(, 0) y C(p, ) deben formar un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. suponemos p como en la siguiente gráfica: y A B 0 p C 7 x Para que el ángulo recto esté en el punto B, el lado AC, debe ser la hipotenusa del triángulo. Por lo tanto, se debe cumplir que AC BC + AB. (*) Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, (ver página 46, Unidad 4, Módulo II del texto), para hallar las longitudes de los segmentos AB, BC y AC. En efecto; Ahora, AB d(a(7,); B(,0)) ( 7 ( ) ) + ( 0) 7. BC d(b(,0); C(p, )) ( p ( ) ) + ( 0) ( p + ) + 4 AC d(a(7,); C(p, )) ( p 7 ) + ( ) ( p 7 ) AB 7, BC (p+) + 4 y AC (p 7) +. +.

3 Primera Prueba Integral Lapso Entonces, según la expresión (*) tenemos: 7 + (p+) + 4 (p 7) + De donde, 7+ p + p p 4 p Luego, 6p - 4, por tanto: p -/4 OBJ PTA Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones. Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F si son falsos: Justifica tus respuestas a. Una función f definida en un intervalo J es creciente si se verifica la siguiente propiedad: f(x ) > f(x ) para todos los x, x del intervalo J satisfaciendo x < x. b. Una función f definida en un intervalo J es decreciente si se verifica la siguiente propiedad: f(x ) < f(x ) para todos los x, x del intervalo J satisfaciendo x < x. c. La función h: R R definida por h(t) t + es decreciente.. a. F Ver la definición de función Creciente dada en la página del Módulo II del texto. b. F Ver la definición de función Decreciente dada en la página del Módulo II del texto. c. F Una forma de ver esto es haciendo la gráfica de h y observando que a medida que t crece los valore de h(t) también crecen, es decir h es una función creciente. Otra manera de ver esto es tomar x < y, entonces x < y y también tenemos que x + < y + y así resulta que h(x) < h(y), es decir h es creciente. OBJ 6 PTA 6 Sean g, h: IR IR funciones tales que: h( x ) x y f( h ( x ) ) 4x + 4x. Si z es tal que f( h ( z ) ), calcula h( z ). Como f( h ( z ) ), resulta que: 4z + 4z. Resolviendo tenemos: 4 ± z + 4z 0 z. z o z. 8 De esta manera tenemos dos respuestas dependiendo del valor de z que tomemos: Para z resulta h( z ) h( ) h ( ) ( ) 6 Para z resulta h( z ) h( ) h ( ) ( ) -. OBJ 7 PTA 7

4 Primera Prueba Integral Lapso A continuación te presentamos el número de vehículos que pasó por una esquina en un lapso de tiempo de un día lunes. Los datos son tomados cada cinco minutos Divide este grupo de datos en intervalos de clases y determina la frecuencia absoluta y relativa del primero de estos intervalos. El dato menor es 0 y el mayor 9. Como queremos dividir los datos en intervalos de clase, consideraremos intervalos de longitud (ver páginas 79, del Módulo II): Así resultan los intervalos de clase: L 0,4. [0 ;,4), [,4 ; 4,8), [4,8 ; 7,). [7, ; 9,6), [9,6 ; ] La frecuencia absoluta del primer intervalo es el número de datos en este intervalo (ver p.76 del Módulo II). En este caso es igual a. La frecuencia relativa del primer intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta del intervalo y el número total de datos (ver p.77 del Módulo II). En nuestro caso, la frecuencia relativa es igual a 0, OBJ 8 PTA 8 Calcula la suma de los números naturales múltiplos 7 comprendidos entre y 8.4. Los múltiplos de siete comprendidos entre y 8.4 son: 7, 4,, 8,..., 8 4 o equivalentemente: 7., 7., 7., 7.4,..., Estos números forman una progresión aritmética de razón 7. De acuerdo a la fórmula dada en la p.7 del texto la suma de estos números es: a + a S OBJ 9 PTA 9 Sea f:ir + IR la función definida por f(x) x +. Calcula lím f ( x ) f ( ) x x (ver ejercicio p. 00 del Módulo III) lím f ( x ) f ( ) x x lím x + x x

5 Primera Prueba Integral Lapso lím x + x x + + x + x + lím x lím x lím x ( x + ) ( ) ( x ) ( x + + ) x + ( x ) ( x + + ) x + + ( Por qué?). (Multiplicando por la conjugada del numerador) 4 (Simplificando y evaluando en el límite). Matemáticas I ( 7) OBJ 0 PTA 0 Si un cono de altura h 0 cm y radio r 0 cm, le aumentamos la altura en 40% y el radio se le disminuye en 0%, entonces el volumen del nuevo cono es: Justifica tu Respuesta a. 4000π cm b. 00,6π cm c.,4π cm d. 46π cm. Sabemos que el volumen de un cono de altura h y radio r está dado por la fórmula ( ver p.70 πr h del Módulo IV (7): V. La altura se incrementa en un 40% de h, así la nueva altura es 40 H h + h h + 0,4h,4h,4. 0 cm 4 cm 00 El radio es disminuido en un 0% de r esto es 0,r. Entonces l el nuevo radio es igual a: R r 0,r 0,9r 0,9. 0 cm 8 cm Entonces el volumen de nuevo cono obtenido es ( 8r ) πr H π 4 46 π cm. Opción correcta d. OBJ PTA 7 4 Determina si la sucesión cuyos primeros tres términos son,, es una progresión aritmética y en caso afirmativo calcula el cuarto término de la sucesión.

6 Primera Prueba Integral Lapso Al hacer la diferencia de dos términos consecutivos, tenemos: a a ( ) a a ( ) +. Como la diferencia entre términos consecutivos la sucesión es una progresión aritmética (ver p.4 del Módulo IV (7))de razón r. Observa que: a 7 7, a a + r 4 a a + r Su cuarto término es: a 4 a + r + ( ). También se puede calcular usando la fórmula: a n a + (n ) r, n Matemáticas I (76) OBJ 0 PTA 0 Una empresa vende semanalmente.000 piezas de un producto a un precio de Bs. 00 la unidad. Mientras que si el precio es de Bs. 00, vende solo 4000 unidades. Determina la ecuación de la oferta de este bien, sabiendo que la relación entre la oferta S y el precio P es lineal. : Como la relación entre el precio y la oferta es lineal, tenemos una ecuación de la oferta del tipo: S a + bp. Según los datos suministrados, resulta: 000 a + 00b [` ], 4000 a + 00b [` ]. Restando [] a [], obtenemos: b. b 0. Sustituyendo este valor de b en [` ], se tiene: 000 a + 000, a 000. En consecuencia la ecuación pedida es: S P OBJ PTA Una persona compra el mismo día dos bienes A y B, por Bs.80 y Bs. 0, respectivamente. La A función valor del bien A, V t, viene dada por:

7 Primera Prueba Integral Lapso A V β t t α e, t 0, α > 0, β > 0, B mientras que la del bien B, V t, es: B Vt a t, t 0, a > 0. Determina explícitamente las funciones de valor de cada uno de los bienes si al cabo de tres () años, el valor del bien B excede al de A en 0 bolívares. De acuerdo con las condiciones del problema se tiene: A B V0 80 y V0 0, es decir, α 80 y a 0. B A Por otro lado, V - V 0, por lo que: (0 ) 80 e β 0, de donde: e β 6, 80 6 Ln 80 Ln 0,76 0,7 β 0,94, En definitiva, las funciones de valor son: A -0,94 t V t 80 e B Vt 0 t. Matemáticas I (77) OBJ 0 PTA 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con números reales, utilizando una demostración por agotamiento de casos, analizando las dos situaciones que se presentan, según si y 0 o y 0. x y x. xy y Caso : y 0. El sistema de ecuaciones se transforma: x x. y 0 Ahora resolviendo la ecuación x x, tenemos: x x x x 0 x (x ) 0 x 0 o x. Por lo tanto, hay dos soluciones que resuelven el sistema: x 0, y 0 ó x, y 0. Caso : y 0.

8 Primera Prueba Integral Lapso En la ecuación x y y se puede simplificar por y, resultando x, luego Al sustituir este valor en la primera ecuación del sistema, obtenemos: y 9 Por lo tanto, y + y así y ±. 9 Luego, en este caso también tenemos dos soluciones: x, y ó x, y Resultando, en total, hay cuatro posible soluciones del sistema propuesto. OBJ PTA Para el logró del objetivos debes responder dos partes correctamente. Modela las siguientes situaciones a través de ecuaciones: a. La suma de tres números impares consecutivos es igual a. b. Hace quince años la edad de Pedro era el triple de la edad de María. c. Un número de dos cifras excede en quince a siete veces la suma de sus dígitos x. a. Si denotamos por x al primero de los números impares el planteamos nos indica que: x + x + + x +4. Si denotamos por n+ al primer número, resulta la ecuación: n + + n + + n + 7. b. Denotemos por P la edad actual de Pedro y por M la de María, entonces tenemos que: P ( M ). c. Aquí denotamos por y la cifras de las unidades del número y por x la cifras de las decenas, es decir nuestro número es xy. Entonces el planteamiento nos dice que: 0x + y + 7(x + y). Fin del Modelo