MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

Transcripción

1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

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3 Índice 1 Introducción 1 Pasos a seguir para la representación gráfica de una función 1 1 Cálculo del dominio 1 Simetrías 1 3 Corte con los ejes coordenados 1 4 Asíntotas 5 Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos 6 Concavidad y convexidad Puntos de inflexión 3 Ejemplos 31 Representación de la función f(x) = x 4 5x Dominio de f 31 Simetrías 313 Corte con los ejes coordenados Asíntotas Crecimiento y decrecimiento de f Concavidad y convexidad 4 3 Representación de la función f(x) = x x Dominio de f 5 3 Simetrías 5 33 Corte con los ejes coordenados 5 34 Asíntotas 5 35 Crecimiento y decrecimiento de f 6 36 Concavidad y convexidad Representación de la función f(x) = x 3x Dominio de f 7 33 Simetrías Corte con los ejes coordenados Asíntotas Crecimiento y decrecimiento de f Concavidad y convexidad 8 34 Representación de la función f(x) = x3 + 1 x Dominio de f 9 34 Simetrías 343 Corte con los ejes coordenados 344 Asíntotas 345 Crecimiento y decrecimiento de f Concavidad y convexidad 1 35 Representación de la función f(x) = xe x Simetrías 1 35 Corte con los ejes coordenados Asíntotas Crecimiento y decrecimiento de f Concavidad y convexidad Representación de la función f(x) = ln(4 x ) 14

4 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 361 Simetrías Corte con los ejes coordenados Asíntotas Crecimiento y decrecimiento de f Concavidad y convexidad 16 4 Ejercicios propuestos 16

5 Tema 1 1 Introducción Hasta ahora, para representar gráficamente una función y = f(x) calculábamos el dominio de ésta y confeccionábamos una tabla de valores o de puntos de la forma (x,f(x)), siendo x dom(f); dichos puntos se dibujaban en el plano y se iban uniendo mediante líneas, formándose así una curva que se aproximaba a la gráfica de la función f En este tema aprovecharemos el estudio que hemos realizado de las funciones en el tema anterior para elaborar una representación gráfica más detallada; además, podremos representar funciones que, con el método de las tablas de valores, nos hubiera resultado imposible Pasos a seguir para la representación gráfica de una función Sea y = f(x) una función Para reprensentarla gráficamente hay que seguir los pasos siguientes: 1 Cálculo del dominio Ya se estudió en el tema 7 que dom(f) = {x R : f(x)} Simetrías Recordemos que f( x) = f(x), x dom(f) f es par f( x) = f(x), x dom(f) f es impar 3 Corte con los ejes coordenados La gráfica de la función y = f(x) cortará al eje de abcisas o eje OX en un punto x 0 dom(f) si f(x 0 ) = 0, y cortará al eje de ordenadas o eje OY si 0 dom(f) Y Corte con el eje OY (0,f(0)) Corte con el eje OX (x 0,0) X Figura 1: Corte de la curva y = f(x) con los ejes coordenados

6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 4 Asíntotas Las asíntotas pueden ser de tres tipos: Verticales- La recta x = a es una asíntota vertical de f si lím f(x) = ±, lím x a f(x) = ± x a + siendo a / dom(f), por lo que la curva jamás cortará a dicha asíntota Horizontales- La recta y = b es una asíntota horizontal de f si lím f(x) = b x ± Oblicuas- La recta y = mx + n es una asíntota oblicua de f si f(x) lím = m, lím [f(x) mx] = n x ± x x ± Es fundamental tener en cuenta que si f posee asíntotas horizontales entonces no tendrá asíntota oblícua alguna 5 Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos En este paso se trata de averiguar en qué puntos del dominio la función es creciente o decreciente y de calcular los máximos y mínimos de la función Para ello nos serán de gran utilidad los conceptos estudiados en el tema 9 6 Concavidad y convexidad Puntos de inflexión Aquí hay que hallar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f haciendo uso de lo estudiado en el tema anterior 3 Ejemplos 31 Representación de la función f(x) = x 4 5x Dominio de f Como f es un polinomio tendremos que dom(f) = R 31 Simetrías Al ser f( x) = ( x) 4 5( x) + 4 = x 4 5x + 4 = f(x), x R, podemos afirmar que f es una función par o simétrica respecto del eje de ordenadas

7 Tema Corte con los ejes coordenados Eje OX: Se tiene que f(x) = 0 x 4 5x + 4 = 0 x = ±1, x = ±, de modo que los puntos de corte serán (,0), ( 1,0), (1,0), (,0) Eje OY : Al ser f(0) = 4, el punto buscado es (0,4) 314 Asíntotas Verticales- La función f no posee asíntotas verticales pues no tiene puntos de discontinuidad Horizontales- Puede probarse fácilmente que lím f(x) = +, x ± por lo que f tampoco posee asíntotas horizontales Oblicuas- Al igual que en el caso anterior, se demuestra de forma sencilla que de modo que no existen asíntotas oblicuas 315 Crecimiento y decrecimiento de f x 4 5x + 4 lím = ±, x ± x Calculemos en primer lugar los puntos críticos de f Para ello, f (x) = 4x 3 x = 0 x = 0, x =, x = Para averiguar si estos puntos son máximos o mínimos, procedamos por el criterio de la segunda derivada Así, al ser f (x) = 1x, se obtiene: ( f ) = 0 > 0 x = es un mínimo relativo f (0) = < 0 ( ) = x = 0 es un máximo relativo f = 0 > 0 x = es un mínimo relativo ( ) f es decreciente en, ( ) f es creciente en,0 = ( ) f es decreciente en 0, ( ) f es creciente en,+

8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Para representar los máximos y mínimos en el plano hay que calcular sus imágenes: ( ) f(0) = 4, f ± = Concavidad y convexidad Sabemos que los puntos de inflexión de f son las soluciones de la ecuación f (x) = 0, así que 30 f (x) = 1x = 0 x = ± 6 Ahora debemos estudiar el signo de f a la izquierda y a la derecha de estos puntos para ver dónde es convexa o cóncava la función: ( ) 1 < 30 f (x) > 0, x, 30 ; f ( 1) = > ( < 0 < 6 6 ; f (0) = < 0 = f ) (x) < 0, x, ( ) 1 > 6 ; f (1) = > 0 30 f (x) > 0, x 6,+ ( ) 30 f es convexa en, 6 ( ) = f es cóncava en 6, 6 ( ) 30 f es convexa en 6,+ Sólo falta hallar las imágenes por f de los puntos de inflexión para representarlos en la gráfica: ( ) 30 f ± = De este modo, la representación gráfica de la función queda como 8 Y X -4

9 Tema 5 3 Representación de la función f(x) = x x 4 31 Dominio de f f es una función racional, de modo que el denominador no debe anularse Por lo tanto x dom(f) x 4 0 x 4 = dom(f) = R {4} 3 Simetrías Como f no es par ni impar f( x) = x f(x) y f( x) = x x 4 f(x), x R, x 4 33 Corte con los ejes coordenados Eje OX: Se tiene que f(x) = 0 x = 0, con lo que el único punto de corte será (0,0) Eje OY : Al ser f(0) = 0, volvemos a obtener el mismo punto anterior 34 Asíntotas Verticales- La recta x = 4 va a ser una asíntota vertical, pero debemos hallar los límites laterales para ver si la función se dirige hacia + o Para ello, elaboramos las correspondientes tablas de valores: x 4 f(x) x 4 + f(x) De las tablas anteriores se deduce que lím f(x) =, lím x 4 f(x) = + x 4 + Horizontales- Tenemos que lím f(x) = 1, x lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las correspondientes tablas de valores:

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas x f(x) x + f(x) De este modo, la recta y = 1 es la asíntota horizontal de f Oblicuas- f no posee una asíntotas oblicuas por tener una asíntota horizontal 35 Crecimiento y decrecimiento de f La derivada de f viene dada por f 4 (x) = (x 4) Nótese que f (x) < 0 para cualquier x dom(f), por lo que podemos afirmar que f es decreciente en todo su dominio 36 Concavidad y convexidad La derivada segunda de f es la función f 8 (x) = (x 4) 3 Tenemos que f no se anula nunca, de modo que no existen puntos de inflexión; no obstante, sí que cambia de signo: x < 4 = f (x) < 0 x > 4 = f (x) > 0 } = Consecuentemente, la representación gráfica de la función será f es cóncava en (,4) f es convexa en (4, + ) 1 8 Y X

11 Tema 7 33 Representación de la función f(x) = 331 Dominio de f 3 x 3x Ésta es una función racional cuyo denominador debe ser no nulo, así que 33 Simetrías Tenemos que x dom(f) x 3x = x(x 3) 0 x 0, x 3 f( x) = por lo que f no es par ni impar 333 Corte con los ejes coordenados = dom(f) = R {0,3} { 3 ( x) 3( x) = 3 x + 3x f(x), f(x), Eje OX: Al ser f(x) 0, para cualquier punto x dom(f), la curva no cortará al eje de abcisas Eje OY : Como 0 / dom(f), la gráfica de f tampoco cortará al eje de ordenadas 334 Asíntotas Verticales- Las rectas x = 0 y x = 3 son las asíntotas verticales de esta función Hallemos los límites laterales de f en los puntos x = 0 y x = 3 para estudiar el comportamiento de la función Para ello, confeccionemos las tablas de valores para cada uno de los puntos: x 0 f(x) x 3 f(x) x 0 + f(x) x 3 + f(x) A partir de estas tablas se llega a que lím x 0 lím x 3 x 0 f(x) = +, lím f(x) =, + x 3 f(x) =, lím f(x) = + +

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Horizontales- Comprobemos que lím x f(x) = 0 Efectivamente, las siguientes tablas de valores nos lo confirman: x f(x) , ,993 6 x + f(x) , , En consecuencia, la recta y = 0 es una asíntota horizontal de f Oblicuas- Esta función, al poseer una asíntota horizontal, no tendrá asíntotas oblicuas 335 Crecimiento y decrecimiento de f La derivada de la función f es f 3(x 3) (x) = x Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (x 3) de esta función debemos resolver la ecuación f (x) = 0; de este modo, 3(x 3) x (x 3) = 0 x 3 = 0 x = 3 Ahora debemos comprobar si el punto estacionario obtenido como solución de la ecuación anterior es un máximo o un mínimo de f Para ello, haremos uso del criterio de la derivada primera de f Tenemos que el denominador de f es siempre positivo en el dominio de f, con lo que f (x) < 0 3(x 3) < 0 x 3 > 0 x > 3, f (x) > 0 3(x 3) > 0 x 3 < 0 x < 3 Ahora bien, como los puntos x = 0 y x = 3 no pertenecen a dom(f), tendremos que ( f (x) > 0 x, 3 ) {0} ( ) 3 f (x) < 0 x,+ {3} ( f es creciente en, 3 ) {0} = ( ) = 3 es un máximo local de f 3 f es decreciente en,+ {3} Además es f ( ) 3 = Concavidad y convexidad La derivada segunda de f viene dada por f (x) = 18(x 3x + 3) x 3 (x 3) 3 Será f (x) = 0 siempre y cuando el numerador de f se anule Tenemos sin embargo que la ecuación x 3x + 3 = 0 no posee

13 Tema 9 raíces reales, por lo que x 3x+3 será siempre positivo o siempre negativo Para comprobar esto sólo tenemos que sustituir un punto cualquiera en la expresión; por ejemplo, si tomamos x = 0 se obtiene = 3 > 0 = x 3x + 3, x R No obstante, debido a la forma que tiene el denominador de f, ésta sí cambiará de signo, y éste será el mismo que el del denominador Tenemos en primer lugar que x 3 (x 3) 3 < 0 [x(x 3)] 3 < 0 x(x 3) < 0 x < 0, x 3 > 0 x < 0, x > 3 (imposible) o bien o bien x (0,3); x > 0, x 3 < 0 x > 0, x < 3 por lo tanto, Podemos afirmar pues que x 3 (x 3) 3 > 0 x (,0) (3,+ ) f (x) < 0, x (0,3) = f es cóncava en (0,3) f (x) > 0, x (,0) (3,+ ) = f es convexa en (,0) (3,+ ) La representación gráfica de esta función será pues de la forma 6 Y X Representación de la función f(x) = x3 + 1 x 341 Dominio de f Nos encontramos de nuevo ante una función racional, cuyo denominador sólo se anula para x = 0, con lo que dom(f) = R {0}

14 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 34 Simetrías Al ser f no es ni par ni impar { f( x) = ( x)3 + 1 ( x) = x3 + 1 f(x), x f(x), 343 Corte con los ejes coordenados Eje OX: Tenemos que f(x) = x3 + 1 x = 0 x = 0 x = 1, esto es, el punto de corte con el eje de abcisas es el ( 1,0) Eje OY : Como 0 / dom(f), la gráfica de f no cortará al eje de ordenadas 344 Asíntotas Verticales- Veamos que la recta x = 0 es la única asíntota vertical que posee esta función elaborando la tabla de valores correspondiente para hallar los límites de f en el punto x = 0: x 0 f(x) x 0 + f(x) En efecto, en virtud de los valores obtenidos en las tablas anteriores podemos afirmar que lím x 0 f(x) = +, lím f(x) = + = lím f(x) = + + x 0 Horizontales- Esta función no posee asíntotas horizontales pues lím f(x) = ± x ± Así es; si observamos las tablas de valores que se exponen a continuación podemos ver que dicha afirmación es cierta: x 0 x f(x) x + f(x) Al ser infinitos ambos límites infinitos, f no posee asíntota horizontal alguna Oblicuas- Tenemos en primer lugar que f(x) m = lím x x = lím x x x 3 = 1, lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las tablas de valores correspondientes:

15 Tema 11 f(x) x x f(x) x + x En segundo lugar, puede comprobarse fácilmente que ( x n = lím [f(x) mx] = lím x x x ) x = lím x 1 x = 0 De este modo, la recta y = x, es decir, la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, es la asíntota oblicua que posee esta función 345 Crecimiento y decrecimiento de f La derivada de la función f es f (x) = x3 x 3 Resolvamos la ecuación f (x) = 0: x 3 x 3 = 0 x 3 = 0 x 3 = x = 3 Comprobemos ahora si la solución de la ecuación anterior es un máximo o un mínimo de f utilizando del criterio de la derivada segunda de f Como f (x) = 6 > 0, x dom(f), x4 en particular, ( f ) 3 > 0 = x = 3 es un mínimo relativo de f De este modo podemos afirmar que f es decreciente en ( 0, 3 ) ( f es creciente en 3 ),+ Pero, qué comportamiento tiene la función f en el intervalo (, 0)? Para conocerlo, debemos saber qué signo posee f en los puntos de dicho intervalo: En consecuencia, f (x) = x3 x 3 x 3 > 0, x 3 > 0 x 3 >, x > 0 > 0 o bien o bien x 3 < 0, x 3 < 0 x 3 <, x < 0 x > 3, x > 0 x > 3 o bien o bien x < 3, x < 0 x < 0 f (x) > 0, x (,0) = f es creciente en (,0) Finalmente, se tiene que f ( 3 ) = 3 3 1,89

16 1 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 346 Concavidad y convexidad En virtud de lo visto en el apartado anterior, f (x) > 0, x dom(f) = f es convexa Esta función tendrá entonces como gráfica la que se expone a continuación: Y X Representación de la función f(x) = xe x Esta función es el producto de un polinomio de primer grado por la función exponencial de base e, por lo que dom(f) = R 351 Simetrías Esta función no es par ni impar ya que { f( x) = xe x = x e x f(x), f(x) 35 Corte con los ejes coordenados Eje OX: Se tiene que f(x) = xe x = 0 x = 0, de modo que el punto de corte con el eje de abcisas es el (0,0) Eje OY : Como f(0) = 0e 0 = 0, volvemos a obtener el origen de coordenadas como punto de intersección con el eje OY

17 Tema Asíntotas Verticales- Como el dominio de f es todo R, la función no tendrá asíntotas verticales Horizontales- Para hallar las asíntotas horizontales de f, calculemos los límites infinitos de la función Para ello, confeccionemos las tablas de valores pertinentes: x f(x) ,7 4 x + f(x) ,69 45 A partir de los valores obtenidos se tiene que lím f(x) = 0, lím x f(x) = +, x + con lo que la recta y = 0 es la asíntota horizontal de la función Oblicuas- Como f tiene una asíntota horizontal, no puede poseer asíntotas oblicuas 354 Crecimiento y decrecimiento de f La función f tiene como derivada la función f (x) = e x + xe x = e x (x + 1) Resolvamos la ecuación f (x) = 0, teniendo en cuenta que e x > 0, x R: e x (x + 1) = 0 x + 1 = 0 x = 1 Veamos si el punto x = 1 es un máximo o un mínimo de f utilizando del criterio de la derivada primera de f: f (x) = e x (x + 1) > 0 x + 1 > 0 x > 1, f (x) = e x (x + 1) < 0 x + 1 < 0 x < 1 Entonces f (x) < 0 en (, 1) f (x) > 0 en ( 1,+ ) } = fes decreciente en (, 1) fes creciente en ( 1,+ ) Consecuentemente, x = 1 es un mínimo relativo Más aún, como podremos comprobar a la hora de representar la función, veremos dicho punto es un mínimo absoluto, con f( 1) = 1 e 0,3679

18 14 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 355 Concavidad y convexidad En este caso tenemos que f (x) = e x + xe x = e x (x + ) Resolvamos la ecuación f (x) = 0 para hallar los posibles puntos de inflexión: f (x) = 0 e x (x + ) = 0 x + = 0 x = Estudiemos ahora el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha del punto de inflexión Para ello tomamos puntos arbitrarios: f ( 3) = e 3 ( 3 + ) = e 3 < 0, f (0) = e 0 (0 + ) = > 0 = f } (x) < 0 en (, ) f es cóncava en (, ) f = (x) > 0 en (,+ ) f es convexa en (,+ ) Teniendo en cuenta que f( ) = /e 0,71, la representación gráfica de esta función es pues 5 4 Y X Representación de la función f(x) = ln(4 x ) Esta función es el logaritmo neperiano de un polinomio de segundo grado, de modo que debe ser 4 x > 0 x < 4 < x <, de donde dom(f) = (,), es decir, el dominio de f es un intervalo abierto y finito 361 Simetrías Esta función es par pues f( x) = ln(4 ( x) ) = ln(4 x ) = f(x), x (,)

19 Tema Corte con los ejes coordenados Eje OX: Se tiene que f(x) = ln(4 x ) = 0 4 x = 1 x = 3 x = ± 3, así que los puntos de corte con el eje de abcisas es el ( 3,0),( 3,0) Eje OY : Como f(0) = ln(4 0 ) = ln 4 1,386, el punto de corte con el eje de ordenadas viene dado por (0,ln 4) 363 Asíntotas Verticales- Veamos que las rectas x = y x = son las asíntotas verticales de esta función Nótese que, al ser dom(f) = (,), sólo podemos calcular lím x + f(x) y lím x f(x), pues es imposible hallar las imágenes de puntos que se encuentren a la izquierda de x = y a la derecha de x = Elaboremos pues las tablas de valores correspondientes a ambos límites: x + f(x) x f(x) Deducimos de lo anterior que lím x x f(x) = lím f(x) = + Horizontales- Es fundamental observar que no existen asíntotas horizontales, ya que el dominio de f es el intervalo (,) y, por lo tanto, no existen los límites infinitos de esta función Oblicuas- Por la misma razón anterior, f no posee asíntotas oblicuas 364 Crecimiento y decrecimiento de f La derivada de la función f viene dada por f (x) = x x 4 La ecuación f (x) = 0 tiene como única solución el punto x = 0 Veamos ahora si dicho punto es un máximo o un mínimo de f utilizando del criterio de la derivada segunda de f Como f (x) = (x + 4) (x 4) < 0, para cualquier x, tendremos en particular que f (0) < 0 = x = 0 es un máximo relativo de f Además, como se verá a la hora de representar la curva, dicho punto es en realidad un máximo absoluto de la función Más aún, este punto es el de intersección con el eje de ordenadas

20 16 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 365 Concavidad y convexidad Ya vimos en el apartado anterior que f (x) < 0 para todo punto x, de modo que f es cóncava en todo su dominio Tenemos entonces que la gráfica de f es de la forma 4 Y X Ejercicios propuestos (1) Hállense las asíntotas de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x + 1, g(x) = e 1 x 3 ; x b) f(x) = x + 1, g(x) = ln(x x + 1) x () Representa gráficamente las siguientes funciones, previa determinación del dominio de definición, continuidad, intervalos de crecimiento y concavidad, puntos singulares, asíntotas y simetrías: a) f(x) = x + 3, g(x) = x 3 ; b) f(x) = x 4 x + 9, g(x) = x + x 3 ; c) f(x) = x x 1, g(x) = x x + 1 ; d) f(x) = 1 x, g(x) = x 1; e) f(x) = ln(x 3), g(x) = ex e x (3) Dada la función y = ax 3 + bx + cx + d que admite un máximo y = 1 para x = 1 y un mínimo y = para x =, se pide: a) Calcular los coeficientes a, b, c, d b) Coordenadas del punto de inflexión de la curva representada por la ecuación dada Hallar también la ecuación de la tangente en ese punto

21 Tema 17 c) Representación gráfica de la función (4) Dada la función f(x) = ax + b cx 1, calcula a, b y c, sabiendo que f( 3) = 1 4, f ( ) 1 f = 4 Estudia la función y represéntala gráficamente 4 3 ( ) 4 3 = 3 y