Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones

Transcripción

1 Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C en un solo punto, lo cual es P. Aunque esta definición sirve para los cícrulos y las elipses, no sirve en general. Muestre que para la parábola y = x, en cada punto (a, a ), tendríamos dos líneas tangentes distintas según la definición errónea arriba. Escriba una fórmula para cada una de aquellas rectas. Solución: Las dos líneas rectas que pasan por (a, a ) y no por ningún otro punto de la curva y = x son la recta tangente y la recta vertical. Más sencilla es la recta vertical (que no es realmente tangente a la curva): su ecuación es x = a. La recta tangente por (a, a ) tiene pendiente f (a) donte f(x) = x. Esta derivada f (a) es a (por la ley de derivar f(x) = x n, o se verifica fácilmente por la definición de la derivada), así que la recta tangente tiene ecuación de la forma y = ax + b para algún constante b. Aora quisiéramos allar el b, que se puede acer notando que el punto x = a, y = a se cae en la línea: metiendo los valores a por x, a por y, tenemos entonces y luego a = a a + b b = a, y la recta tangente por (a, a ) se da por y = ax a. Problema : (a) Muestre, usando sólamente la definición de la derivada como límite (y no las leyes de derivación que posiblemente ya sabe), que si f(x) = 1 x (para todo x 0), entonces para todo a 0, f (a) = a. 1

2 Solución: Por la definicón de la derivada, f f(a + ) f(a) (a) 1 (a+) ( ) 1 a a +(a+) (a+) a a + a + a + (a + ) a (a + ) (a + ) a, y, cancelando los en el numerador y el denominador, llegamos a a + (a + ) a, que podemos evaluar simplemente por meter el valor 0 para : es a + 0 (a + 0) a = a a 4 = a. (b) Muestre que la recta tangente a y = 1/x en (a, 1/a ) intersecta la gráfica en dos puntos distintos. Un punto es (a, 1/a ); cuál es el segundo punto? Solución: El primer paso es encontrar la ecuación para la recta tangente a la curva en (a, 1/a ); tiene pendiente /a, así que es de la forma y = (/a )x + b para algún b. Aora poniendo a para x y 1/a para y (pues la línea debe pasar por (a, 1/a )), tenemos y luego así que la línea tangente a la curva es 1/a = (/a ) a + b 1/a = /a + b /a = b, y = (/a )x /a.

3 Aora que tenemos la ecuación de la línea tangente, necesitamos allar todos los puntos donde cruza la curva y = 1/x. Para acer esto, igualamos los y en la ecuación de la curva y la ecuación de la recta tangente para llegar a 1/x = (/a )x /a, y emos einado y: nos quedan sólo la incógnita x y el constante a. Luego multiplicamos ambos lados de la ecaución arriba por x para llegar a 1 = (/a )x (/a )x o, en la forma estándar de un polinomio, (/a )x (/a )x + 1 = 0, lo cual es un polinomio en x de grado. Para resolver esta ecuación, la factorizaremos. 1 La clave es que ya sabemos que x = a es una solución ( por qué?), así que el polinomio lineal x a debe ser un factor. Por división sintética, tenemos (x a) ((/a )x (1/a )x (1/a) ) = 0. Para que sea cero el producto, es necesario y suficiente que cualquier de los dos factores sea cero, así que tenemos la ecuación (/a )x (1/a )x (1/a) = 0, que es un polinomio cuadrático en x. Aora por fin podemos aplicar la famosa fórmula cuadrática para obtener x = 1 a ± (1/a 4 ) + (8/a ) (1/a) 4 a o = a 4 ± a 4 x = a ó a. En conclusión, el segundo punto de intersección tiene coordenadas x = a/ y y = 1/( a/) = 4/a. (c) Verdadero o falso: existe alguna manera de extender f a una función que tenga derivada en x = 0, es decir, existe una función g con dominio todo R tal que g(x) = f(x) si x 0, y tal que g (0) existe. Explique claramente por qué o por qué no. 1 Aunque sí existe una fórmula cúbica que da las tres raíces de cualquier polinomio cúbico en términos de sus coeficientes, la fórmula es tan complicada que en este caso resulta más fácil factorizar.

4 Solución: El enunciado es FALSO porque sea lo que sea g(0), debe ser algún número real y finito, pero x 0 f(x) = y es imposible que g(0) sea igual a ese límite; por lo tanto, g no puede ser siquiera continua en x = 0, y tampoco puede existir g (0) (es un teorema que siempre cuando existe g (a), la función g es continua en a). Problema : Sea f(x) = { x + x, si x < 1; 1, si x 1. Para cuáles valores de a existe f (a)? Para todos los casos en los cuales existe, encuentre una fórmula para f (a), usando la definición de la derivada. Solución: La derivada f (a) existe para todo a real. Para a < 1, la función f se define por f(x) = x + x, y por las reglas usuales de derivar polinomios, éste es diferenciable con derivada f (a) = a+. Para a > 1, la función es constante y f (a) = 0. Aora se nota que la fórmula para la derivada f (a) en a < 1, cuando aplicada en a = 1, nos da (1) + = 0, el mismo valor que la derivada f (a) en cualquier a > 1; así que debe tener derivada en a = 1 también. En más detalle, nos interesa si existe f (1), que es el límite f(1 + ) f(1) f(1 + ) 1. Aora dado que f se define por fórmulas distintas en cada lado de 1, evaluamos éste aparte en los dos lados: por un lado, ay que verificar que f(1 + ) 1 (1 + ) + (1 + ) 1 = 0 (los detalles se dejan al lector), y además que f(1 + ) = Dado que los dos límites desde los dos lados se coinciden en 0, concluimos que f (1) = 0. Problema 4: Para cada una de las funciones abajo, diga si f (0) existe o no, y explique por qué (o por qué no). Recuerde que si f (a) existe, tiene que tener un valor finito: f (a) = no tiene sentido. 4

5 (a) f(x) = ( x ) /. (Para este problema y el siguiente, use la definición abitual de x a/b, es decir, la a-ésima potencia de la b-ésima raíz de x.) Solución: f (0) si existe (y su valor es 0). definición de la derivada: Esto debe verificarse por la f (0) En este punto, uno quiere pasar el en el denominador adentro de la raíz cuadrática, primero reemplazando por ; pero esto sólo es válido si > 0. Si < 0, entonces =. Evaluamos el límite por los dos lados. Para > 0, tenemos = =, y el límite del lado positivo es + + = + = 0 = 0. Aora por el lado negativo, tenemos < 0, y = =, y ademas =, así que tenemos = 0. Los límites de ambos lados se coinciden en 0, y por lo tanto el límite es 0 (y existe). (b) f(x) = x /. Solución: f (0) no existe. Se define por el límite 0 1, pero este límite no existe: por un lado, 1 =, 5

6 y por el lado positivo, + 1 =. Estos límites no se coinciden, así que la derivada no existe en 0. (c) f(x) = { x si x < 0; x, si x 0. Solución: f (0) si existe: se puede acer un proceso similar a el del inciso (a), y se encuentra que f (0) = 0. (d) { f(x) = x si x < 0; x + 1, si x 0. Solución: f (0) no existe: de eco, f ni siquiera es continua en 0 (se puede verificar que x 0 f(x) = 0 y que x 0 + f(x) = 1, así que x 0 f(x) no existe), y es un teorema que toda f que es diferenciable en a también es continua en a. Problema 5: Dé un ejemplo de una función diferenciable f(x) con dominio todo R tal que f(x) = x para todo x 1 y, a la vez, f(x) = x para todo x 1. (Claramente, una tal f debe ser definida a trozos...) Solución: Hay mucos ejemplos posibles, pero tal vez el más sencillo es definir f(x) para 1 < x < 1 por la regla f(x) = x, y se nota que f ( 1) = 1 y que f (1) = 1. Problemas 6 y 7: Prefiero discutir estos problemas en la clase, o si usted tiene curiosidad podríamos discutirlos en mi ora de atención. 6