Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim

Transcripción

1 ) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los puntos de inflexión y representarla gráficamente. a) Lo primero es encontrar el dominio. Al tratarse de un logaritmo, lo de dentro debe ser mayor que 0, así que: Es decir, el dominio será: x > 0 > x > x D = (, ) Para encontrar las asíntotas verticales hemos de estudiar dos cosas: La primera es el logaritmo, que sabemos que tiene una asíntota vertical cuando lo de dentro es cero, así que: Por lo tanto, tiene una asíntota vertical en x=. x = 0 x = Lo segundo que hay que mirar es precisamente lo de dentro, pero al tratarse de un polinomio, no genera problemas y ya damos este apartado por acabado. Para mirar las asíntotas horizontales hay que hacer el límite en el infinito (pero sólo en el menos infinito, que en el otro no está definida ): lim ln( x ) = ln( ( ) ) = ln ( ) = ln( + ) = ln = No hay asíntota horizontal. Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : m = Resolvemos la indeterminación por L Hôpital: m = lim x x = lim Por lo tanto, no hay asíntota oblicua. ln( x ) lim = x x x = ( ) ( ) = = lim 6x x = lim x = 0 b) Para encontrar los intervalos de crecimiento, etc. hacemos la derivada e igualamos a cero: Al igualar a cero tenemos que: f (x) = x x = x x x x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Como que también nos piden los puntos de inflexión, hacemos la segunda derivada, y así sabremos qué tenemos en x=0:

2 f (x) = 6x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = 6x + 6x 9x ( x ) = x 6x ( x ) = x (x + ) ( x ) Para hallar los puntos de inflexión igualamos a cero: x (x + ) ( x ) = 0 x (x + ) = 0 x = 0 x + = 0 x = x =,6 Por lo tanto, ya vemos que x=0 no es ni máximo ni mínimo, sino un punto de inflexión (eso sí, con la tangente horizontal, toma guarrada!!!!) y tenemos otro punto de inflexión en x=-,6. Como que lo del punto de inflexión en x=0 puede sorprender, miramos los signos de la derivada a lado y lado de cero (por ejemplo en -0,5 y 0,5 porque no podemos tomar - y porque en no existe os acordáis?). f ( 0,5) = f (0,5) = ( 0,5) 0,5 = ( 0,5) ( 0,5) = 0,75 = 0,666 < 0 decrece,5 (0,5) (0,5) = 0,75 0,5 = 0,75 = 0,857 < 0 decrece 0,875 Por lo tanto, la función decrece siempre. Para poderla dibujar como unos señores, sólo nos hacen falta los puntos de corte con los ejes y los valores de la función en estos puntos de inflexión que hemos encontrado: f(0) = ln( 0 ) = ln = 0 pasa por el (0,0) Y ya no busco más puntos de corte Veamos el valor de la función en el punto de inflexión que aún queda vivo. f = ln = ln( ( )) = ln =,099 Así que el otro punto de inflexión es el (,6,,099). Ahora ya podemos dibujarla: P.I. P.I. con tangente horizontal

3 ) Una empresa utiliza una fórmula de utilidad U(x, y) = k x y, donde k es una constante, y que permite saber la utilidad de dos productos. Uno, A que cuesta 50, y otro B, que cuesta 5. Se dispone de 000 para comprar. Se pide: a) Reescribir la fórmula en función de una variable. b) Calcular el número de productos de cada tipo que se pueden comprar con ese dinero y que nos dé el máximo de utilidad. a) Como sólo disponemos de 000 euros y con eso hemos de comprar las x unidades de A y las y unidades de B que podamos, la ecuación que nos liga ambos productos es: 50 x + 5 y = 000 Despejamos y para sustituir en la fórmula de utilidad y tenemos: 5y = x y = Y la fórmula de utilidad nos queda: x 5 U(x) = k x (0 x) = k (0x x ) b) Para encontrar el máximo, derivamos e igualamos a cero: = 40 x = (0 x) 0 = U (x) = k (0 x) 0 x = 0 x = 0 y = (0 0) = 0 Así pues, con x=0 e y=0 tenemos el máximo de nuestra fórmula de utilidad. ) Sea la integral: (x 4) a) Decid si es impropia. En caso afirmativo, decid si es convergente y, en su caso, calculad su valor. La integral es impropia porque la función a integrar tiene una asíntota vertical en x=4, ya que se nos genera un cero en el denominador. Para ver si converge o no, hemos de resolver la integral si límites de integración para después plantear el paso al límite. F(x) = (x 4) x 4 = t = = dt Y ahora planteamos el paso al límite: = dt = t dt = t t + = t = t = x 4 (x 4) = (x 4) + (x 4) = lim (x 4) + lim = lim[f(a) F(0)] + lim[f(6) F(b)] = = = 4 + = 8,54 (x 4)

4 4) Sea la función f(x) = ln x: a) Calcular el polinomio de Taylor de orden, para a=. b) Calcular ln(,) y compararlo con la calculadora. Decir por qué el error será mayor al calcular ln(,8). c) Calcular área entre el eje x y la función en el intervalo [,]. a) Lo primero que tenemos que hacer es calcular el valor de la función y sus tres primeras derivadas en x=. f() = ln() = 0 f (x) = x f () = = f (x) = x f () = = f (x) = 0 x ( ) x (x ) = x x = x f () = = Así que ya podemos montar el polinomio de Taylor que nos piden: P, (x) = 0 +! (x ) +! (x ) +! (x (x ) (x ) ) = + (x ) Lo podemos dejar así o podemos desarrollarlo, va a gustos. A mí me gusta más desarrollarlo, aunque luego en algunos cálculos es más útil tenerlo así. P, (x) = x x + x x x + + x = x x + x x + x x + x = x + x 6 b) Nos piden que aproximemos ln(,). Podemos utilizar cualquiera de las dos expresiones. Con la primera sería: (, ) (, ) ln(,) P, (,) = Con la segunda obtenemos: + (, ) = 0, 0, + 0, = 0,64 Como debe ser!!!! ln(,) P, (,) =,, +, 6 = 0,64 Ahora vamos a comparar con el resultado obtenido en la calculadora: ln(,) = 0, ε = 0,64 0, = 0, El error será mayor al calcular ln(,8) porque el error crece cuanto más nos alejemos del punto en torno al cual hemos calculado el polinomio. En este caso, cuando más nos alejemos de x= mayor será el error. c) El área que nos piden es:

5 S = ln x Lo primero que hemos de hacer es resolver la integral sin límites de integración. Es sencilla, pero hay que ser astuto. La vamos a hacer por partes y llamaremos: u = ln x du = x dv = v = = x Por lo tanto, tenemos que: ln x = ln x x x x Y ahora ya podemos calcular el área que nos piden: S = ln x = x ln x = x ln x x = x (ln x ) = (ln ) (ln ) = [0,96 + ] =,96 u