GUÍA DE EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Transcripción

1 GUÍA DE EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS. Un jugador lanza dos monedas. Gana $ ó $4 según aparezca una ó dos caras respectivamente. Por otro lado pierde $5 si aparecen dos sellos. Es avorable el juego para el jugador?. 2. Una caja contiene 2 tarjetas rojas, 4 verdes y 6 negras, con la cual se realiza el siguiente juego. Un jugador saca al azar una tarjeta de la caja, si la tarjeta es roja gana $2, si la tarjeta es verde gana $5, y si la tarjeta es negra pierde cierta cantidad de dinero. Cuál es el máximo valor que el jugador debería pagar por la tarjeta negra para al menos no tener perdidas con el juego?. 3. La cantidad de buques extranjeros que semestralmente requiere la atención de nuestro dique "Valparaíso III", es una variable aleatoria, y se piensa que posee una unción de cuantía dada por: [ D d ] θ 3 d d,,2, 3, 4. d! a. Encuentre la constante θ y bosqueje F D (d). b. Determine el rango intercuartil (RIQ). Determine e interprete el coeiciente de Asimetría I S. c. Encuentre la esperanza y varianza, e interprete adecuadamente. 4. Un agrónomo a observado ha través de los años, que la proporción T de tierra destinada a la producción de lores de exportación, en la comuna de Hijuelas se encuentra adecuadamente modelada por la siguiente unción de distribución: FT ( t) 2 t (3-2t) t t < t,, a. Halle la unción de densidad de probabilidad T (t) y la constante,. b. En qué porcentaje de los años se ha destinado más del 75% de la tierra a la producción de lores?. c. Halle la mediana de la distribución y compárela con la esperanza, interprete ambas en orma adecuada. Determine el coeiciente de asimetría de Pearson. 5. Se tiene una bolsa con 2 ichas (de la misma orma y tamaño), las cuales tienen marcados los valores 5, y 5 pesos. La cantidad de cada una de ellas es: 5 de $5; 8 de $; y 7 de $5. Si se extraen tres ichas al azar. a. Determine la distribución de cuantía de probabilidad para el resultado del ejercicio. b. Graique la unción de distribución del resultado del ejercicio. c. Determine el valor esperado, la variabilidad y la variabilidad relativa del resultado del ejercicio.

2 6. Suponga que el período en minutos de un tipo particular de conversación teleónica es una variable aleatoria con unción de densidad de probabilidad: ( 5 exp{- x / 5} x > a. Determine el tiempo promedio de este tipo de conversación teleónica. b. Encuentre la desviación estándar de la variable. c. Encuentre [ + 5] Sea R una v.a. con.d.p. dada por: r : [R r] : a. Calcule [R 2 R>]. b. Sea Z 3R + 2. Determine: [Z] y [Z]. 8. Una planta industrial unciona en orma continua de lunes a viernes, produciendo 2. unidades en ese período. Si el proceso se detiene una vez durante la semana por allas técnicas, se produce una pérdida de $ 4 ; si se detiene dos veces, la pérdida es de $ 8 3; si se detiene tres veces la pérdida es de $ 3 ; si se detiene cuatro veces o más, la pérdida que se produce es de $ 25. El número de allas que se produce en una semana sigue un modelo probabilístico con la siguiente unción de cuantía: Nº de allas en la semana o más Probabilidad En el costo de producción debe considerarse el valor esperado de las pérdidas por detención del proceso debido a allas. a. Determine la uncón de cuantía para el costo de producción. b. Cuál es el valor esperado de estas pérdidas por artículo producido?. 9. La proporción de tiempo T en un día, necesaria para la mantención de una maquinaria es una variable aleatoria con.d.p. dada por: T ( t) κ (- t) e.o.c t a. Determine la constante κ. b. Calcular [T] y [T]. Interprete. c. El costo (en miles de $) de cada interrupción está dado por C(T) + 2T + 4T 2. Encuentre el costo esperado.

3 . Una gran empresa industrial compra computadoras cada año, cuya cantidad depende de la recuencia de reparaciones en el año anterior. Suponga que el número de computadoras que adquiere la compañía, C, que se compran cada año tiene una unción de distribución de probabilidad dada por: c : [C c] : ,.8.5 a. Encuentre la constante, y realice un bosquejo aproximado de F C (c). b. De termine la cantidad media de computadoras que adquiere la empresa. c. Determine las siguientes probabilidades. [C 2] [C > 4 C 2] [ C < 6 C 2] d. Sí ƒ (3C 4). Determine la esperanza de la variable ƒ (es decir, [ƒ]) y la varianza de ésta ( [ƒ]) (donde es una constante).. La proporción de tiempo T, necesaria para la mantención de una maquinaria es una variable aleatoria con.d.p. dada por: T ( t) κ (- t) t e.o.c a. Determine la constante κ. Calcular [T] y [T]. Interprete. b. El costo (en miles de $) de cada interrupción está dado por C(T$) + 2T. Encuentre el costo y varianza esperada. Determine la unción de densidad del costo ( C (c)). c. Cuál es la probabilidad que el costo sea superior a $25 e inerior a $4?. 2. Un abricante de calculadoras electrónicas a determinado a través de los años que la proporción de calculadores electrónicas que no cumplen con el período de garantía orecido se modela aceptablemente con la unción de densidad de probabilidad dada por: T ( t) t (- t) t a. Determine la proporción de calculadores electrónicas medias que no cumplen con el período de garantía orecido y compare con el punto donde la unción encuentra su máximo. Qué característica de orma presenta la densidad?. b. Si en el proceso de control de calidad diario se toman muestras para determinar la racción de deectuosos. b. Cuántos días serán necesarios para encontrar el primero que supere el valor máximo encontrado anteriormente?. b.2 Cuántos días serán necesarios hasta antes de encontrar el cuarto que supere el valor máximo encontrado anteriormente?.

4 3. Suponga que un tendero se enrenta al problema de determinar cuantas cajas de leche debe tener en existencia para satisacer la demanda del día siguiente. Suponga que la leche que no se venda en el día representará una pérdida total para el tendedero. Además, la demanda insatisecha no tiene mayor costo que la venta perdida; pero el cliente insatisecho regresará. Suponga que el tendero ha llevado un registro de las ventas en el pasado como se muestra a continuación: Demanda total por día Número de días en los que se registró la demanda 25 cajas 2 26 cajas 6 27 cajas 28 cajas 2 El precio de compra (costo variable) es de $8 por caja, mientras que el precio de venta es de $ por caja. De acuerdo con los antecedentes entregados: a. Elabore una tabla que muestre los costos de oportunidad asociados a problema (mantener en inventario menos de las que podría vender) y evalúe cual es la mejor decisión que debe tomar el tendero, sobre la base de el mínimo costo de oportunidad esperado. b. Evalúe cual es la mejor decisión que debe tomar el tendero, sobre la base de la utilidad esperada. Qué decisión escogería Ud. la obtenida en b o en c?. Muestre las alternativas del tendedero en un diagrama de árbol. 4. El tiempo total, medido en unidades de horas, que un adolescente escucha su estéreo durante un año en una variable aleatoria, cuya modelación está dada por la siguiente unción: λ ( ( ) x K (, ) λ e I ( x ) ; λ > a. Demuestre que ( es unción de densidad de probabilidad ssí, K + λ 2. b. Considerando λ 4, encuentre la probabilidad de que el tiempo total en horas, que un adolescente escucha su estéreo durante un año sea: b. de exactamente 2.5 unidades. b.2 entre 3 y 8 unidades. c. Calcule la media de la variable aleatoria Y , donde Y es igual al número de Kilovatio-hora que se gastan anualmente. 5. La demanda semanal de cierta bebida de antasía, en miles de litros, de un determinado local de Mall muy concurrido, es una variable aleatoria continua, deinida por, que tiene por unción de densidad de probabilidad a: ( κ ( x - ) < x < 2 a. Halle la constante, y la unción de distribución F (. b. Determine el tiempo promedio y la desviación estándar del consumo semanal de esta bebida. c. Cuál es la probabilidad de que en una semana el consumo sea de a lo menos 425 litros?. d. Si la variable Utilidad (en miles de pesos) está dada por U.85 C, donde C representan los costos ijos de la empresa. Determine la unción de densidad de la utilidad.

5 6. La utilidad de un distribuidor, en unidades de $, en la venta de un nuevo automóvil es Y 2, donde la variable aleatoria tiene una unción de densidad de probabilidad dada por: 2( ( - < x < a. Encuentre la unción de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y. b. Determine el indice de Yule para Y, interprete. 6. Sea una variable aleatoria geométrica con distribución de probabilidad: x - 3 ( 4 4 x, 2, 3,... a. Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y 2. b. Cuál es el valor esperado de Y?. 7. Sea una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad, x ( 2 < x < 5 a. Encuentre la unción de distribución acumulada y la densidad de la variable Y 2 3. b. Encuentre la esperanza y varianza de la variable Y. c. Determine la Probabilidad de: c. [Y -2 Y > 3]. c.2 [Y ]. c.3 [Y 5 Y > ]. 8. El período de hospitalización en días, para pacientes que siguen un tratamiento para un cierto tipo de enermedad renal es una variable aleatoria Y + 4, donde tienen una.d.p. dada por: 32 3 x ( x + 4) ( ) x > a. Encuentre la unción de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y. b. Determine la Probabilidad de que el período de hospitalización para un paciente que sigue este tratamiento exceda los 8 días. c. Determine las siguientes probabilidades: c. [Y 3]. c.2 [Y 6]. c.3 [Y 5 Y > 8].