Curso de nivelación Estadística y Matemática

Transcripción

1 Curso de nivelación Estadística y Matemática Tercera clase: Introducción al concepto de probabilidad y Distribuciones de probablidad discretas Programa Técnico en Riesgo, 2014

2 Agenda 1 Concepto de probabilidad 2 discreta 3 Negativa

3 Qué es el concepto de probabilidad? Concepto de probabilidad Ejemplo Es una especificación de con qué frecuencia ocurre un evento de interés particular entre un gran número de observaciones. Cuando el evento no ha ocurrido, se recurre al criterio experto (modelo subjetivo). Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riesgo relacionadas con el proceso de toma de decisiones. Si queremos cuantificar la probabilidad de tener una pérdida futura.

4 Proceso de un experimento Si queremos cuantificar la probabilidad de una pérdida futura Primero, debemos revisar observaciones historicas del evento de interés. Luego, intentamos modelar el comportamiento de este evento =) Para esto utilizamos las Distribuciones de probabilidad. Por último, estimamos la probabilidad de tener una pérdida futura.

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6 Concepto de probabilidad discreta Qué es una variable aleatoria? Ejemplo Es una variable cuyo valor es el resultado de un evento aleatorio. Esta puede ser discreta o continua. Experimento de créditos formalizados entre el 2000 y el 2013, donde podemos ver entre otras variables aleatorias morosos, proceso judicial, etc.

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8 Concepto de probabilidad discreta Qué es una variable aleatoria discreta? Ejemplo Es una variable aleatoria que puede asumir sólo ciertos valores, con frecuencia número enteros, y resulta principalmente del conteo. Elnúmeroderesultadosposibleseslimitadoofinito. que un banco quiebre dada la situación internacional actual.

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10 Concepto de probabilidad discreta Qué es una función de probabilidad? Ejemplo Es una lista de todos los posibles resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada resultado. Cuadro: Tasa de rendimiento de las acciones de las compañias X y Y Estado de la Economía Tasa de Rend. X Tasa de Rend. Y Auge % 20% Normal % 16% Recesión % 10%

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12 Propiedades Concepto de probabilidad discreta La probabilidad de cada evento o combinación de eventos debe variar entre 0 a 1. 0 apple p(x) apple 1 La suma de las probabilidades de todos los posibles eventos dabe ser igual a 1. Â x p(x)=1

13 Pmf vs cdf Concepto de probabilidad discreta Probability Mass Function Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria. f X (x)=p (X = x) Cumulative Distribution Function Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable aleatoria. F (x)=p (X apple x)

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15 Propiedades Concepto de probabilidad discreta Valor esperado Fórmula Es un promedio ponderado de los resultados posibles, mientras que los pesos que utilizamos son las probabilidades. µ = E(X )=Pr 1 x 1 + Pr 2 x 2 + Pr 3 x Pr n x n = n  i=1 Pr i x i

16 Ejemplo Valor Esperado discreta Ejemplo µ = E(X )=Pr 1 x 1 + Pr 2 x 2 + Pr 3 x 3 = = 15% µ = E(X )=Pr 1 x 1 + Pr 2 x 2 + Pr 3 x 3 = = 15%

17 Ilustración Concepto de probabilidad discreta

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19 Concepto de probabilidad discreta Desviación Estándar de una variable aleatoria Fórmula Se puede definir el riesgo como la variabilidad de los rendimientos. Por lo tanto, se puede examinar este mediante el estudio de la dispersión o estrechez de la distribución de probabilidad asociada con los resultados posibles. p q s nâ s = s 2 = Pr 1 (x 1 µ) 2 + Pr 2 (x 2 µ) 2 + Pr 3 (x 3 µ) Pr n(x n µ) 2 = Pr i (x i µ) 2 i =1

20 Ejemplo Valor Esperado discreta Ejemplo p q s = s 2 = 0.2(110 15) (22 15) ( 60 15) 2 = 59.3 p q s = s 2 = 0.2(20 15) 2 + 0,5(16 15)+0.3(10 15) 2 = 3.6

21 Negativa Agenda 1 Concepto de probabilidad 2 discreta 3 Negativa

22 Negativa Ejemplo Se basan en un proceso de Bernoulli ( ), donde cada ensayo en una distribución binomial termina en sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales se identifica como un éxito y el otro como un fracaso. La probabildad de cada resultado permanece constante de un ensayo al siguiente. Encuesta de perspectiva empresarial donde se pregunta a los experto si las tasas de interés aumentarán o no aumentarán.

23 Negativa Caraterísticas de una Características El experimento consta de n pruebas idénticas. Cada prueba tiene dos resultados posibles. Se llamará a uno éxito y al otro fracaso. La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p, y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de un fracaso es igual a (1 p)=q. Las pruebas son independientes. La variable aleatoria bajo estudio es X,elnúmerodeéxitos observados en la n pruebas

24 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula P(x)= n! x!(n x)! px (1 p) n x P(x)= n C x p x (1 p) n x Donde n!=n (n 1) (n 2)

25 Negativa Media y varianza Fórmula Media µ = n p Fórmula Varianza s = n p (1 p)

26 Negativa Ejemplo Un gerente de crédito de American Express ha descubierto que p=10% de los usurios de tarjeta no paga el monto completo de la deuda durante un mes dado. Desea determinar la probabilidad que de n=20 cuentas seleccionadas de manera aleatoria, x=5 de las cuentas no sean pagadas. Respuestas P(x = 5 n = 20,p = 0.10)= 20 C (0.9) 20 5 =

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28 Negativa Negativa Cuando interesa el número de la prueba en la cual ocurre el segundo, el tercero o el cuarto éxito

29 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula x 1 P(x)= r 1 p r (1 p) x r Donde r es el número de ensayos efectuados hasta que se tienen r éxitos. x es el número de la prueba en la que ocurre el éxito.

30 Negativa Media y varianza Fórmula Media µ = r p Fórmula Varianza s 2 = r(1 p) p 2

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32 Negativa Es una distribución que muestra la probabilidad de ocurrencia de un evento en un intervalo específico de tiempo o espacio. Ejemplo Número de llegadas de clientes por hora.

33 Negativa Propiedades de una Propiedades La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio. La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

34 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula P(x)= l x x! e l Donde l es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo oespacio. x es el número de veces que ocurre el evento.

35 Negativa Media y varianza Fórmula Media µ = l Fórmula Varianza s 2 = l

36 Negativa Ejemplo Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en cualquier hora dada) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado al negocio. Por tanto, l=10 por hora. Respuestas P(x = 5)= l x x! e µ = 105 5! e 10 =

37 Negativa Bibliografía Barrantes G., Miguel Elementos de estadística descriptiva. EUNED,1998. Kenneth N., Berk & Patrick, Carey Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office 2000 Thomson Learning, Gitman, Lawrence. Principios de administración Financiera Pearson Education, Décimaedición. Webster L., Allen Estadística aplicada a los negocios y la economía Irwin McGraw-Hill, Tercera edición.