1 JESTADIS\REGRES.DOC

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1 CONTENIDOS 1. Introducción 2. Diagrama de dispersión 3. El coeficiente de correlación de Pearson 4. Regresión 1. Introducción Una de las metas frecuentes en la investigación consiste en determinar si existe relación entre dos variables cuantitativas y, de ser así, obtener un índice numérico que nos indique la cuantía de esta relación. Un ejemplo de este tipo de análisis es el estudio de la relación entre el consumo de tabaco y el cáncer de pulmón o la relación entre el consumo de cierto fármaco y la presión sanguínea. De igual manera, a menudo se busca obtener una ecuación matemática que nos permita predecir el valor de una variable en función de otra con la que está relacionada. Vamos a describir los procedimientos para medir el grado de asociación entre dos variables cuantitativas (correlación) y los métodos para obtener una ecuación que nos permita predecir los valores de una variable en función de los datos observados en la otra (regresión). 2. Diagrama de dispersión. NUBE DE PUNTOS Dado que estamos estudiando conjuntamente dos variables cuantitativas, los datos para los estudios de correlación y regresión consisten en pares de mediciones de las dos variables seleccionadas de la muestra. Por ejemplo, supongamos que deseamos estudiar la relación entre las dosis de cierto fármaco antihipertensivo y la presión sanguínea sistólica de n pacientes. Los n pares de mediciones los ordenamos de la siguiente manera: Dosis del medicamento (mg) Presión sanguínea (mm de Hg) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y x n y n En el diagrama de dispersión cada uno de los n pares de observaciones (x i, y i ) se representan como un solo punto en la gráfica. Los valores de la variable X (en nuestro caso, dosis del medicamento) se indican sobre el eje horizontal y los de la variable Y (presión sanguínea) en el eje vertical. De esta forma obtenemos en nuestro diagrama de dispersión n pares de puntos. Antes de suponer la existencia de esta relación conviene estudiar el diagrama de dispersión (que nos ofrece una ilustración de la distribución de cada variable y de la relación que existe entre ambas). Al observar cómo se distribuyen los puntos en la gráfica, detectaremos la naturaleza de la correlación (lineal, curvilínea, o ausencia de correlación). Nosotros únicamente estudiaremos la correlación lineal. Posteriormente se realiza un análisis numérico de las características de la relación. 3. EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON. 1

2 El análisis estadístico para cuantificar la relación entre dos variables X e Y es el coeficiente de correlación de Pearson (r xy ). La fórmula de este coeficiente es: Condiciones de aplicación: las variables son cuantitativas y las puntuaciones directas. Ejemplo 1: Estudio de la relación entre el consumo de un determinado fármaco y la presión sanguínea en 5 individuos. X = nivel de dosis del fármaco antihipertensivo Y = presión sanguínea, en mm de Hg X Y XY X 2 Y X = Y = ( X) 2 = ( Y) 2 = X 2 = Y 2 = De donde r xy = Una fórmula equivalente, pero adaptada a las puntutaciones diferenciales (x = X - X la siguiente: ) es r xy = Ejemplo: Con los mismos datos del ejemplo anterior calculamos el coeficiente de correlación con puntuaciones diferenciales. 2

3 (1) X (2) Y (3) (4) (5) (x = X - X ) (y = Y - Y ) x.y (6) (7) x 2 y 2 X = 3 Y = 210 Las columnas (1) y (2) constituyen las puntuaciones directas observadas en las variables X e Y, respectivamente. Las columnas (3) y (4) constituyen las puntuaciones diferenciales obtenidas al restar las puntuaciones directas menos la media, x = X - X x = puntuación diferencial X = puntuación directa X = media Las columnas (5), (6) y (7) son el resultado de las operaciones x.y; x 2 e y 2, respectivamente. Aplicando la fórmula: r xy = De igual manera, si los datos vienen expresados en puntuaciones típicas la fórmula a utilizar sería: r xy = Aplicando las tres fórmulas siempre llegamos al mismo resultado CORRELACIÓN FRENTE A CAUSALIDAD La cuantificación de la FUERZA DE RELACIÓN LINEAL entre dos variables cuantitativas se estudia por medio del cálculo del coeficiente de correlación de Pearson. Dicho coeficiente oscila entre -1 y +1, -1 < r xy < +1 - Un valor de r xy = 0 indica ausencia de correlación, es decir, que las dos variables son independientes. - Un valor de r xy positivo indica que los valores grandes de la variable X se asocian con valores grandes de la variable Y; y los valores bajos de la variable X se asocian con valores bajos de la variable Y. LA RELACIÓN ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL. 3

4 - Por su parte, un valor de r xy negativo indica que los valores grandes de la variable X se asocian con valores bajos de la variable Y; y los valores bajos de la variable X se asocian con valores grandes de la variable Y. LA RELACIÓN ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL. - Cuando se tiene un valor grande de r xy (ya sea positivo o negativo), indica una fuerte relación entre las dos variables, hasta tal punto que la relación puede llegar a ser perfecta, y así: r xy = -1 : RELACIÓN LINEAL NEGATIVA PERFECTA r xy = +1 : RELACIÓN LINEAL POSITIVA PERFECTA r xy Las dos variables cuantitativas están... La relación es... Tiende a +1 - Fuertemente relacionadas - Moderadamente relacionadas - Débilmente relacionadas - Insignificante la relación Directamente proporcional 0 No existe el mínimo grado de relación Independientes Tiende a -1 - Fuertemente relacionadas - Moderadamente relacionadas - Débilmente relacionadas - Insignificante la relación Inversamente proporcional - El coeficiente de correlación de Pearson indica únicamente que dos variables independientes varían conjuntamente, pero esta variación conjunta no significa necesariamente causalidad. Existe una fuerte asociación entre el número absoluto de divorcios en Europa en cada uno de los últimos 100 años y la cantidad de tabaco importado. De ello no se concluye que el tabaco sea una causa importante de descontento en los matrimonios, ni que aquellas personas cuyos matrimonios se hayan roto adquieran el hábito tabáquico por consuelo. Asociación no implica causalidad CONDICIONES PARA CALCULAR r xy Esencialmente sólo existen dos condiciones: - que las dos variables estudiadas sean cuantitativas - que los puntos del diagrama de dispersión tiendan a la linealidad 4. Regresión Una vez hemos hallado r xy o bien hemos hecho una gráfica-diagrama de dispersión con los datos de dos variables, y visto que SÍ que están relacionadas, podemos plantearnos el problema de hallar una fórmula matemática que nos relacione las dos variables cuantitativas, y que nos permita predecir el valor de una variable en función de otra con la que está relacionada. Procederemos de la siguiente manera: Primero representamos el diagrama de dispersión/nube DE PUNTOS. Normalmente, los pares de puntos observados (x,y) no están formando exactamente una línea recta, pero presentan una tendencia a la linealidad. Pero podemos trazar la recta que se ajuste lo más posible a todos los puntos. Esta recta se conoce con el nombre de RECTA DE REGRESIÓN LINEAL. 4

5 Lo que deseamos conocer es la ecuación matemática de esa recta. La ecuación de una línea recta es: y = a + bx siendo a= ordenada en el origen, es decir, el valor de y cuando x vale cero; b = pendiente (inclinación de la recta) El valor de a se obtiene del siguiente modo: a = y - b x Siendo el valor de b : 5

6 EJEMPLO: La tabla siguiente proporciona los valores para 32 bebés del peso al nacer x y del aumento de peso entre los días 70 y 100 de vida y, expresado como porcentaje del peso al nacer. x. Peso al nacer (oz.; 1 oz = 28,70 g) y. Aumento de peso, días , como % de x Se puede predecir el incremento de peso a partir del peso al nacer? PARA PREDECIR ESTE INCREMENTO SE NECESITA LA REGRESIÓN DE y SOBRE x. A partir de la tabla, procedemos del siguiente modo: n = 32; x = 3576 y = 2281 x = 3576/32 = 111,75 y = 2281/32 = 71,28 x 2 =

7 x. y = (246032)(3576 )(2281) b = 32( ) = -0,8643 a = 71,28 - (-0,8643) 111,75 = La ecuación de la recta de regresión es: y = a + bx y= 167,87-0,8643 x ESTUDIO CONJUNTO DE DOS VARIABLES CUANTITATIVAS. Esta ecuación es la que mejor representa los puntos del diagrama de dispersión. Se denomina ECUACIÓN DE REGRESIÓN. Esta ecuación es la que nos puede permitir predecir los incrementos de peso a partir del peso al nacer. La línea que mejor representa a los puntos del diagrama se denomina LÍNEA DE REGRESIÓN. Para trazar la línea, son suficientes las coordenadas de dos puntos, pero es más seguro calcular 3. Tomando x = 80, 100 y 140 como números redondeados adecuados que caen dentro de los límites de x, encontramos: x y 80 98, , ,87 A continuación se traza la recta de regresión que pasa por los tres puntos con estas coordenadas. 7