Tránsito de Hidrogramas

Transcripción

1 Tránsito de Hidrogramas Conceptos básicos Se trata de conocer cómo evoluciona un hidrograma a medida que discurre a lo largo de un cauce o a través de un depósito o embalse. También se habla de tránsito de avenidas, o se utiliza la expresión transitar una avenida.(en inglés Hydrograph Routing, Flood Routing o Flow Routing) Supongamos que en el extremo de un canal seco arrojamos un volumen de agua (Figura 1). El pequeño hidrograma generado será inicialmente más alto y de menor duración (posición A del dibujo) y, a medida que avanza, el mismo volumen pasará por los puntos B y C cada vez con un hidrograma más aplanado. Suponemos que no existe pérdida de volumen (por infiltración o evaporación), de modo que el área comprendida bajo los tres hidrogramas será idéntica. Fig. 1 Calcular el tránsito de un hidrograma es obtener el hidrograma del punto C a partir del hidrograma del punto A. La utilidad práctica del procedimiento es evidente. Por ejemplo, el carácter catastrófico de una avenida está relacionado directamente con la altura del pico del hidrograma (el caudal máximo), de modo que es fundamental calcular cómo ese pico va disminuyendo a medida que nos movemos aguas abajo. Si la figura 1 evocaba el proceso que se produce en un río, también se estudia el proceso de tránsito de caudales en embalses o cualquier depósito con una entrada y una salida. Observando la figura 2 se comprende que un aumento en el caudal de entrada producirá también un aumento en el Fig. 2 (A) (B) caudal de salida, pero amortiguado por el depósito. Si en el caudal de entrada (I) se produjera un hidrograma similar al de la Figura 1-A, en el caudal de salida (O) se produciría un hidrograma similar a la Figura 1-B ó 1-C Existen diversos procedimientos para efectuar estos cálculos, que se agrupan en dos categorías: Métodos Hidrológicos. Se basan en la ecuación de la continuidad, que para un tramo de un cauce (o para un embalse) establece que: Volumen de entrada en un t - Volumen de salida en ese t= almacenamiento F. Javier Sánchez San Román---- Dpto. Geología Univ. Salamanca Pág. 1

2 dividiendo por t: Q entrada - Q salida = almacenamiento/ t (1) O, lo que es lo mismo (figura 2-B): I - O = S / t (2a) I - O = ( S 2 S 1 ) / t (2b) Siendo: I = Caudal de entrada medio (durante el tiempo t) O = Caudal de salida medio (durante el tiempo t) S = S 2 S 1 = incremento del almacenamiento en el tiempo t. Para calcular con exactitud los caudales medios de cada t deberíamos disponer de un hidrograma continuo, pero si conocemos solamente un dato de caudal para cada t, los caudales medios podemos evaluarlos haciendo la media de los caudales de dos t consecutivos. Así, la expresión (2b) resultaría: I1 + I2 O1 + O2 S2 S1 = (3) 2 2 t Métodos hidráulicos 1. Además de la ecuación de la continuidad, utilizan las ecuaciones del movimiento del fluido, de modo que para cauces o canales en régimen no permanente se utilizan ecuaciones diferenciales. Todos los modelos (programas de ordenador) utilizados en Hidrología Superficial incluyen el cálculo del tránsito de hidrogramas. No obstante, siempre conviene saber realizar a mano, aunque sea para casos sencillos, las tareas que después encomendaremos a las máquinas. Método de Muskingum Entre los métodos hidrológicos, posiblemente el más utilizado en cálculos manuales por su sencillez sea el de Muskingum 2 (Chow et al., 1994, p.264; Singh, V.P, 1992, p.680; Wanielista, 1997, p.323; Viessman, 1995, p. 235). El almacenamiento (S) en un tramo del cauce puede descomponerse en dos partes: almacenamiento en prisma, que sería proporcional al caudal de salida ( O ) y almacenamiento en cuña, que sería función de la diferencia entre el caudal de entrada y el de salida (I-O), ya que cuanto mayor sea esa diferencia, más pronunciada será la cuña: S prisma = K. O (4a) S cuña = K. X. (I-O) (4b) Sumando las dos expresiones anteriores, se obtiene: S = K [X I + (1-X) O] (5) 1 Según Chow et al. (1993) Métodos hidrológicos ="Transito agregado de crecientes". Métodos hidráulicos = "Tránsito distribuído de crecientes" 2 Muskingum no es el nombre de su autor, sino que el método fue desarrollado en los años 30 por el Servicio de Conservación del distrito de Muskingum (Ohio, USA) para prevención de avenidas. F. Javier Sánchez San Román---- Dpto. Geología Univ. Salamanca Pág. 2

3 donde: S = almacenamiento en el tramo considerado de un cauce I = caudal de entrada en ese tramo O = caudal de salida de ese tramo K, X = constantes para ese tramo de cauce Aplicamos (5) a dos incrementos de tiempo consecutivos: S 1 = K [X I 1 + (1-X) O 1 ] S 2 = K [X I 2 + (1-X) O 2 ] Sustituímos las dos expresiones (6) en la ecuación (3) y despejando O 2, resulta la expresión utilizada para el cálculo: O 2 = C 0 I 2 + C 1 I 1 + C 2 O 1 (7) donde: I 1, I 2 = Caudales de entrada en dos incrementos de tiempo sucesivos O 1, O 2 = Caudales de salida en los mismos incrementos de tiempo C 0 = (-KX + 0,5 t) / (K - KX + 0,5 t) (8a) C 1 = ( KX + 0,5 t) / (K - KX + 0,5 t) (8b) C 2 = (K - KX - 0,5 t) / (K - KX + 0,5 t) (8c) K, X = constantes que dependen de cada tramo de cauce Puede comprobarse fácilmente (sumando 8a+8b+8c) que C 0 + C 1 + C 2 = 1. Esto es útil como comprobación de los cálculos realizados a mano. K puede asimilarse al tiempo de recorrido de la onda de un extremo a otro del tramo estudiado. Debemos utilizar las mismas unidades que para t (horas o días). El t elegido debe estar entre K y 2KX (Wanielista, Sing) o entre K y K/3 (Viessman). Dentro de estos márgenes, cuanto menor sea el t, mayor es la precisión del método. X es una constante que en teoría puede estar entre 0 y 0,5, pero normalmente vale 0,2-0,3. En primera aproximación suele tomarse 0,2. Junto con el valor de K, de ella va a depender la mayor o menor amortiguación del hidrograma a lo largo del tramo del cauce. Si K= t y X = 0,5, el hidrograma de salida es idéntico al de entrada pero desplazado a la derecha un tiempo igual a K Si conocemos estas dos constantes, K y X, podemos calcular los caudales de salida a partir de los caudales de entrada. Inversamente, si disponemos de los caudales de entrada y salida para el mismo hidrograma, podremos calcular las constantes K y X para ese tramo de cauce. Ejemplo. Cálculo de caudales de salida, conocidos K y X. Disponemos de los caudales diarios de entrada en un tramo de un cauce, que aparecen en la primera columna de la tabla adjunta. Deseamos calcular los correspondientes caudales a la salida de ese tramo sabiendo que K=1,3 días y X=0,3 Solución: Calculamos C 0, C 1 y C 2 mediante las expresiones (8): (6a) (6b) Q de Entrada (O) Cálculo de Q de salida (I) 3 3,00 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*3 = 3,00 5 0,0780*5+0,6312*3+0,2908*3 = 3, ,0780*15+0,6312*5+0,2908*3,16 = 5, ,0780*41+0,6312*15+0,2908*5,24 = 14, ,0780*32+0,6312*41+0,2908*14,19 = 32, ,0780*19+0,6312*32+0,2908*32,50 = 31,13 6 0,0780*6+0,6312*19+0,2908*31,13 = 21,51 3 0,0780*3+0,6312*6+0,2908*21,51 = 10,28 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*10,28 = 5,12 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*5,12= 3,62 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*3,62 = 3,18 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*3,18 = 3,05 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*3,05 = 3,02 3 0,0780*3+0,6312*3+0,2908*3,02 = 3,00 F. Javier Sánchez San Román---- Dpto. Geología Univ. Salamanca Pág. 3

4 C 0 = 0,0780 C 1 = 0,6312 C 2 = 0,2908 Aplicamos la fórmula (7) para cada uno de los caudales de entrada, obteniendo los caudales que aparecen a la derecha. Representamos gráficamente el hidrograma de entrada y el de salida, apreciándose las dos características del tránsito: el retardo (desviado hacia la derecha) y la atenuación (el caudal máximo o punta del hidrograma ha disminuído): Caudal Cálculo de K y X Si conocemos los caudales tiempo (días) de entrada y salida simultáneos para un tramo de un cauce, podemos evaluar las constantes K y X. Si despejamos K en la expresión (5) resulta: S K = XI + ( 1 X ) O (9) Por tanto, si representamos gráficamente en el eje horizontal el almacenamiento S y en el eje vertical el denominador XI+(1-X)O debería obtenerse una recta cuya pendiente sería 1/K. El procedimiento consistirá en elaborar dicho gráfico para diversos valores de X (típicamente: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4) y con el que se obtenga lo más parecido a una recta se tomará como valor de X. Después, la pendiente de dicha recta nos proporcionará 1/K. (Ver un ejemplo en Viessman, 1995, p. 238) Método de Muskingum- Cunge Cunge combinó métodos hidráulicos con la simplicidad del método de Muskingum Calcula las dos constantes utlizadas en el método de Muskingum, K y X, mediante parámetros hidráulicos del cauce. K = x / c (10) 1 Q X = 1 2 BS0c x Q entrada ( I ) Q salida (O) x =longitud del tramo del cauce considerado c = celeridad = velocidad media. m m = aproximadamente 5/3 para cauces naturales amplios S 0 = pendiente media del caude (adimensional) Q= caudal B = anchura del cauce La correcta aplicación de este método requiere elegir correctamente el t y el x. Para ello se dividirá el tramo estudiado en subtramos, de modo que el caudal de salida de uno de ellos será el caudal de entrada del siguiente (US Army Corps of Engineers, 1994). (11) F. Javier Sánchez San Román---- Dpto. Geología Univ. Salamanca Pág. 4

5 Bibliografía Chow, V.T.; D.R. Maidment & L.W. Mays (1993).- Hidrología Aplicada. McGraw-Hill, 580 pp. Singh, V.P (1992).- Elementary Hydrology. Prentice Hall, 973 pp. Viessman, W. & G. L. Lewis (1995).- Introduction to Hydrology. Harper Collins, 4ª ed., 760 pp. Wanielista, M. (1997).- Hydrology and Water Quality Control 2ª edición. Ed. Wiley En Internet: Mockus, V. & W. Styner (1972).- National Engineering Handbook Part 630, Chapter 17, 100 pp. National Resources Conservation Service, US Army Corps of Engineers (1994).- Flood Runoff Analisys, Chapter 9, 24 pp. F. Javier Sánchez San Román---- Dpto. Geología Univ. Salamanca Pág. 5