b) Si decides elegir el trabajo que con más probabilidad te permita ganar más de 900 euros al mes, qué trabajo debes elegir?

Transcripción

1 Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Hoja 4, curso Ejercicio 1. Suponer que los cuatro motores de una aeronave comercial se disponen para que trabajen de forma independiente, y que la probabilidad de que falle un motor durante el vuelo es Cual es la probabilidad de que en un vuelo dado, a) no haya ningún fallo? b) no fallen más de dos motores? Ejercicio 2 (Septiembre 2002, técnicos). Estás buscando trabajo y tienes dos ofertas de dos empresas distintas. En la empresa A te ofrecen un salario fijo de 480 euros más un plus que puede modelizarse como una variable aleatoria uniforme con rango de valores entre 0 y 600. En la empresa B te ofrecen un salario completamente variable que puede verse como una variable aleatoria normal de media 781 euros y desviación típica 180 euros. a) Hallar la esperanza y la varianza de los dos posibles salarios esperados mensuales. b) Si decides elegir el trabajo que con más probabilidad te permita ganar más de 900 euros al mes, qué trabajo debes elegir? Ejercicio 3 (Junio 2006, superiores). El plan de muestreo establecido para unos componentes electrónicos exige la toma de muestras de 11 unidades, rechazándose un lote cuando aparece más de un defecto en la muestra. En estas condiciones, calcular la probabilidad de aceptar un lote, si el contrato de compra de esos componentes exige un máximo de un 10 % de defectos. Ejercicio 4 (Septiembre 2006, técnicos). El número de erratas tipográficas por página en un periódico de difusión nacional sigue una distribución de Poisson de varianza 3. Si la sección de Televisión tiene 2 páginas, calcular la probabilidad de encontrar 5 erratas en dicha sección. 1

2 Ejercicio 5. La duración de ciertos componentes electrónicos sigue distribución exponencial de media 100 días. a) Cuál es la probabilidad de que uno de los componentes anteriores dure más de 50 días? b) Un equipo electrónico está formado por 5 componentes de los anteriores que trabajan de manera independiente y funciona mientras funcionen correctamente al menos 2 de ellos, cuál es la probabilidad de que dicho equipo dure más de 50 días? c) Se construye un nuevo equipo con 50 componentes que trabajan también de manera independiente y funciona correctamente mientras al menos 20 de ellos funcionen, cuál es la probabilidad de que el equipo dure más de 50 días? Ejercicio 6. Cuatro hermanos Alberto, Borja, Carlos y Diego deciden quién friega los platos de la cena lanzando un dado de seis caras. Si sale 1 friega Alberto, si sale 2 friega Borja, mientras que Carlos y Diego friegan con mayor frecuencia por ser los más jóvenes, así Carlos friega si sale 3 ó 4 y Diego si sale 5 ó 6. a) Cuántos días pasarán, en promedio, hasta que le toque fregar a Alberto? b) Con qué probabilidad Carlos fregará, a lo sumo 2 días en una semana (7 días)? c) Cuántos días pasarán para que Borja friegue al menos 11 veces con probabilidad 0 95? Ejercicio 7. Se sabe que la resistencia de ciertos componentes electrónicos tiene media 10Ω y desviación típica 0 5Ω. a) Si suponemos que la distribución de dicha resistencia es uniforme y seleccionamos uno de los componentes al azar, cuál es la probabilidad de que su resistencia sea mayor que 10 5Ω?, y la probabilidad de que esté entre 9 2Ω y 10 9Ω? 2

3 b) Colocando 100 componentes en serie, la resistencia del conjunto será la suma de las resistencias individuales de cada uno de los componentes. Calcula la probabilidad de que dicha resistencia esté entre 990Ω y 1020Ω. Ejercicio 8 (Septiembre 2003, técnicos). El gasto diario en electricidad de una empresa sigue una distribución uniforme entre 600 y 840 euros. Estimándose que el gasto diario en electricidad es excesivo, se pretende llevar a cabo un control para comprobar la necesidad de dicho gasto. Suponiendo independientes los gastos en electricidad de los distintos días del año y que la empresa funciona 300 días al año, cuál es la probabilidad de que el gasto diario medio en electricidad, durante un año, sea superior a 720 Euros? Ejercicio 9 (Septiembre 2003, técnicos). Un servicio de asistencia mecánica en carretera ha comprobado que en las mañanas de los fines de semana el número de llamadas que recibe es, por término medio, de 3 a la hora. Un operario comienza su jornada de sábado a las 8 de la mañana. Suponiendo que las llamadas se realizan de forma independiente y con media constante: a) Calcular la probabilidad de que reciba la primera llamada antes de las 8:15. b) Probabilidad de recibir 4 llamadas en las dos primeras horas. Ejercicio 10 (Septiembre 2002, técnicos). Mediante una encuesta realizada entre alumnos universitarios se sabe que 60 de cada 100 encuestados tiene ordenador en casa. Sea X la variable que representa el número de estudiantes con ordenador en casa en un grupo de Calcular: a) Probabilidad de que el número de estudiantes con ordenador en casa esté entre 670 y 675. b) Probabilidad de que supere

4 Ejercicio 11. Un trabajador de una compañía que fabrica bombillas tiene encomendada la tarea de seleccionar bombillas al azar según termina el proceso de producción y comprobar que están en perfecto estado. El tiempo (medido en minutos) que emplea en cada bombilla es una variable aleatoria X con distribución normal y desviación típica 1. Se sabe que la probabilidad de que tarde más de 5 84 minutos en comprobar el funcionamiento de una bombilla es exactamente 0 2. Si su jornada de trabajo es de 8 horas y no toma ningún descanso, con qué probabilidad podrá comprobar el estado de al menos 100 bombillas durante una jornada de trabajo? Ha hecho falta aplicar el Teorema Central del Límite? Ejercicio 12 (Junio 2005, técnicos). En un proceso de fabricación, el número de piezas defectuosas que se producen en una hora de funcionamiento de la instalación sigue una distribución de Poisson. Sabiendo que la probabilidad de que no aparezca ninguna pieza defectuosa en una hora, en estas circunstancias, es de 0.223, se pide: 1. Determinar la media λ de la distribución citada. 2. Hallar la probabilidad de que se produzcan tres piezas defectuosas en dos horas de fabricación. 3. Cuál es el número de piezas defectuosas que es más probable que aparezcan en una hora de funcionamiento? Ejercicio 13 (Septiembre 2005, superiores). Un distribuidor de tornillos en España, compra los tornillos en China. El próximo envío desde China es de toneladas, 122 de las cuales son defectuosas. El distribuidor decide empaquetar todos los tornillos de forma aleatoria en cajas de 1 kg. (aproximadamente 1000 tornillos). Los clientes de este distribuidor sospechando la mala calidad de los tornillos, deciden realizar un control de recepción, en un intento de no aceptar lotes con muy baja calidad. El control consiste en inspeccionar 10 cajas cuando llega el pedido y si alguna caja tiene más de 15 tornillos defectuosos rechazan el lote. Calcular la probabilidad de rechazar el lote. 4

5 Ejercicio 14 (Septiembre 2005, superiores). El número medio de personas que pasa de manera constante e independiente por un puesto de información en Barajas es de 210 por hora. Si dicho puesto puede atender como mucho a cuatro personas por minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen más personas de los que se pueden atender. Ejercicio 15 (Septiembre 2006, superiores). Dos máquinas cortan corcho para taponar botellas de vino. La máquina 1 produce corchos con diámetros normalmente distribuidos de media 3 04 cm y desviación típica 0 1 cm. La máquina 2 produce corchos con diámetros que siguen una función de densidad f(x) = 0 2x si 2 < x < 3 y 0 en el resto. Los corchos aceptables tienen diámetros entre 2 9 y 3 1 cm. La máquina primera produce el triple de corchos que la segunda. Se pide: a) Calcular el valor esperado del diámetro de corchos producido por la máquina 2 y la función de distribución asociada. b) Cuál es el porcentaje de corchos aceptables producidos por cada una de las máquinas? c) Calcular la probabilidad de que un corcho seleccionado al azar sea aceptable. d) Seleccionamos un corcho al azar y resulta aceptable. Calcula la probabilidad de que proceda de la máquina 1. Ejercicio 16 (Septiembre 2006, superiores). Cierto modelo de cargador de batería de ordenador portátil recarga la batería durante 2 horas. El porcentaje de batería recargada tras esas 2 horas sigue aproximadamente distribución normal. Se sabe que en el 1 5 % de las recargas, recarga menos del 90 % de la batería y en la mitad de las recargas, recarga más del 95 % de la batería. Un batería cargada al 100 % son tres horas de autonomía para el portátil, mientras que si está cargada al α %, la autonomía es de α 3/100 horas. a) Cuáles son la media y la desviación típica del porcentaje de batería recargada por nuestro cargador? 5

6 b) De tres recargas consecutivas con el cargador anterior, con qué probabilidad lograremos que se recargue el 99 % de la batería en al menos una de las recargas? c) Se dispone de otro cargador del que se sabe que su porcentaje de batería recargada sigue distribución normal de media el 95 % y desviación típica el 1 %. Si tenemos dos baterías, una recargada con el primer cargador y otra con el segundo, cuál es la probabilidad de que, utilizando una de ellas cuando se agote la otra, podamos trabajar durante 6 ó más horas con el portátil? Ejercicio 17. En un bosque de pinos, el número de árboles con plagas por hectárea, al que denotamos por X, tiene una distribución de Poisson cuya media es λ = 10. Los árboles con plagas se asperjan con un insecticida que tiene un coste de 3 euros por árbol, además de un coste fijo por alquiler del equipo, igual a 50 euros. Si Y representa el coste total de desinfección de una hectárea seleccionada al azar, calcular el valor esperado y la desviación típica de Y. Aplicando la desigualdad de Chebichev (observa que acabas de calcular el valor esperado y la desviación típica de Y ), construye un intervalo centrado en la media de Y en el que quede Y con probabilidad por lo menos Ejercicio 18. Las plantas de una determinada especie se distribuyen de forma aleatoria en una región, con densidad promedio de λ plantas por unidad de área. Es decir, el número de plantas en una región de área A tiene una distribución de Poisson con media λa. Para una planta seleccionada al azar en esta región, sea X la variable aleatoria distancia a la planta más próxima de dicha especie. a) Determinar la función de densidad de probabilidad para X. Observar que P (X > r) es igual a la probabilidad de no tener plantas en un círculo de radio r. b) Calcular E[X]. 6