Departamento de Estadística y Econometría. Curso EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E. TEMA 2

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1 Departamento de Estadística y Econometría. Curso EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E. TEMA Una empresa de elaboración de materiales pone en práctica un nuevo método de fabricación tal que el coste medio por metro cuadrado se distribuye normalmente con varianza poblacional 4. Se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaño 100 resultando que la media muestral es 2 4. Verifique la hipótesis de que el coste medio es de 3 con un nivel de confianza del 95%. (Solución: Valor observado = -3; valor crítico = 1 96; el coste medio es 3). 2.- Un investigador afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye normalmente con media 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población obteniendo como resultado muestral que la media es 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5% a) Verifique que la afirmación del investigador es realmente cierta. b) Determine la potencia de ese contraste si la verdadera media poblacional fuera 24. (Solución: a) Valor observado = 4; /valor crítico/ = 1 645; la afirmación del investigador es falsa; b) Potencia del contraste = ). 3.- Un psicólogo industrial desea estudiar los efectos de la motivación en las ventas de una empresa en particular. De 24 vendedores nuevos que están en entrenamiento a 12 se les va a pagar por hora de trabajo y a los otros 12 se les pagará por comisión. Los 24 individuos fueron asignados de manera aleatoria a los dos grupos. Los datos siguientes presentan el volumen de ventas (en miles de dolares) logrado durante el primer mes de trabajo. Salario por hora Comisión Suponiendo normalidad en la variable existe evidencia de que los incentivos salariales a través de las comisiones produce un volumen de ventas promedio más grande a un nivel de significación del 5%?. (Solución: Valor observado =2 764; /valor crítico/ = 1 717; los incentivos salariales a través de las comisiones produce un volumen de ventas promedio mayor). 1

2 4.- Los ingresos del primer empleo de los licenciados en Dirección y Administración de Empresas en cualquier Universidad siguen una distribución normal con desviación típica de 3 8 miles de euros. Se toma una muestra aleatoria de 15 licenciados procedentes de la Universidad A resultando que en su primer empleo sus ingresos medios anuales fueron de euros. Otra muestra independiente de 12 licenciados de la Universidad B dio como resultado que los ingresos medios de su primer empleo fueron de euros. Se pide con un nivel de confianza del 98% contrastar la hipótesis de que las medias son iguales frente a la alternativa de que la media de la Universidad A es menor que la de la Universidad B. (Solución: Valor observado = -0 82; /valor crítico/ = 2 05; la media de la Universidad A no es menor que la de la Universidad B). 5.- Un funcionario que trabaja en el departamento de colocación de una Universidad quiere determinar si los hombres y las mujeres licenciados en Administración de Empresas reciben en promedio diferentes ofertas de salario en su primer trabajo después de licenciarse. El funcionario seleccionó aleatoriamente ocho pares de licenciados en esa disciplina de manera que las calificaciones intereses e historial de los integrantes de cada pareja fuesen lo más parecidos posible. La mayor diferencia fue que un miembro de cada pareja era hombre y el otro mujer. La tabla adjunta recoge la mayor oferta salarial que recibió cada miembro de la muestra al terminar su carrera. Pareja Mayor Oferta Salarial (euros) Hombre Mujer Asumiendo que las distribuciones son normales contrastar la hipótesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los hombres que para las mujeres a un nivel de significación del 2 5%. (Solución: Valor observado =2 16; valor crítico = 2 365; las medias poblacionales son iguales). 6.- Una máquina de empaquetado automático deposita en cada paquete una cierta cantidad de determinado producto. Se seleccionan 20 paquetes se pesa su contenido y se obtienen los siguientes resultados: A partir de esta información y suponiendo que la variable se distribuye normalmente: a) Verifique si la media de esa variable es 51 con un nivel de confianza del 99%. b) Verifique si la varianza es la unidad con un nivel de significación del 2%. (Solución: a) Valor observado = ; valor crítico = 2 861; la media de la variable no es 51; b) Valor observado = 16; valores críticos = 7 63 y 36 22; la varianza es la unidad). 2

3 7.- Para determinar el efecto de dos programas de formación (A y B) una empresa de productos farmacéuticos elige una muestra aleatoria de 10 de sus representantes y los inscribe en el programa A en tanto que otros 10 de sus representantes elegidos al azar son inscritos en el programa B. Durante el periodo de comparación los representantes del programa A tienen comisiones promedio por ventas de $ con una desviación típica de $; en tanto que los representantes que participaron en el programa B tienen comisiones promedio por ventas de $ con una desviación típica de $. Suponiendo normalidad en los datos se pide con un nivel de confianza del 95%: a) Verifique que las varianzas de los dos programas son iguales. b) Existen diferencias entre las comisiones para los dos programas. (Solución: a) Valor observado = 1 44; valores críticos = 0 25 y 4 03; la varianza de los dos programas son iguales; b) Valor observado = 0 768; valor crítico = 2 101; no existen diferencias entre las comisiones). 8.- Una muestra de 10 piezas de acero del proveedor A ha dado una resistencia media de unidades con desviación típica corregida de mientras que otra muestra de 12 piezas del proveedor B ha resuelto en una media de unidades y una desviación típica corregida de Las piezas B son más baratas que las A y éstas últimas sólo serían rentables si tuviesen una resistencia media superior en unidades a la correspondiente a B; en caso contrario sería mejor comprar B Qué decisión tomaría? Suponga que las resistencias se distribuyen normalmente. Utilice un nivel de significación del 5%. (Solución: Valor observado = 3 516; valor crítico = 1 725; la decisión sería comprar las piezas del proveedor A). 9.- De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados 378 fueron capaces de decir el precio correcto de un artículo inmediatamente después de ponerlo en el carro. Contrastar al nivel del 10% la hipótesis nula de que la mitad de los compradores son capaces de decir el precio correcto frente a la alternativa de que la proporción poblacional es menor de la mitad. (Solución: Valor observado = ; valor crítico = 1 28; la proporción es menor de la mitad) Un proveedor asegura que los artículos por él suministrados son defectuosos en un 1% de los casos. Se realiza una prueba de 200 de sus artículos y resultan defectuosos 3 de ellos. A un nivel de significación del 1% Es falsa o cierta la afirmación del proveedor?. (Solución: Valor observado = 0 711; valor crítico = 2 575; es cierta la afirmación del proveedor) Sometidos a una prueba 100 jóvenes y 200 adultos resultó que 42 de los jóvenes y 50 de los adultos eran malos conductores. Emplear estos datos para verificar si el porcentaje de malos conductores entre los jóvenes es un 8% mayor que el porcentaje de malos conductores entre los adultos frente a la posibilidad de una diferencia aún mayor. (Solución: Valor observado = 1 55; valor crítico = 1 645; el porcentaje de malos conductores entre los jóvenes es un 8% mayor que entre los adultos). 3

4 12.- Una revista de gran tirada quiere probar si las mujeres y los hombres tienen distinta memoria visual con respecto a los anuncios. Para ello pone un anuncio en una revista y pregunta a 200 lectores varones y 200 mujeres obteniendo que recuerdan el anuncio 50 hombres y 70 mujeres. Qué puede concluirse al nivel de significación del 10%?. (Solución: Valor observado = ; valor crítico = 1 654; los hombre y las mujeres tienen distinta memoria visual). EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 13.- Una emisora de televisión por cable anuncia que el periodo medio de espera desde la solicitud hasta la conexión a la red de sus nuevos clientes es de ocho días. La asociación de consumidores desea verificar dicha hipótesis para lo cual ha tomado una muestra del periodo de espera (en días) de 15 clientes con los siguientes resultados: y 8. Verifique si el periodo medio de espera es igual o diferente a ocho días explicitando las hipótesis utilizadas (α =0'05). (Solución: Valor observado = 3 378; valor crítico = 2 145; el periodo medio de espera es diferente a ocho días) La duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una compañía resulta ser horas con una desviación típica de 120 horas. Si µ es la duración media de todos los tubos producidos por la compañía comprobar la hipótesis µ = horas contra la hipótesis alternativa de que µ < horas con un nivel de significación de 0'05 y 0'01 y suponiendo normalidad en la variable. (Solución: α = 0 05; valor observado: ; valor crítico = 1 66 ; se rechaza H o ; α = 0 01; valor observado: ; valor crítico = ; se rechaza H o.) Un grupo de investigadores canadienses afirma haber descubierto un tipo de alimentación para las gallinas bajo la cual éstas producen huevos que no aumentan el colesterol en las personas que los consumen. Para comprobar dicha teoría se seleccionaron al azar 36 personas a las que se les midió su nivel de colesterol habitual (X i ) observando en ellos de nuevo dicho nivel (Y i ) después de una dieta a base de huevos en estudio. Los resultados fueron: x = 200 y = i = (D D) i = Suponiendo normalidad en la variable contrastar la hipótesis de que los huevos no modifican el colesterol a un nivel de significación del 1%. (Solución: Valor observado:-1 29; valor crítico = ; no existe diferencia significativa en los niveles de colesterol) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria se toma la muestra de habitantes de los cuales 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% apoya el estudio las siguientes hipótesis?: a) Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. 4

5 b) Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto. (Solución: a) Valor observado = ; valor crítico = 2 33; se acepta H o.;b)valor observado = 1 129; valor crítico = 2 33; se acepta H o.) 17.- Se quiere comparar el rendimiento académico en una determinada asignatura de los alumnos de dos Universidades distintas. Elegidas dos muestras aleatorias de cada una de estas Universidades (10 alumnos de la A y 12 de la B) se obtuvieron los siguientes resultados en cuanto a la calificación obtenida en dicha asignatura: Universidad A Universidad B Media 3'8 4'3 Varianza 1'1 1'6 En base a estos resultados y sabiendo que en ambos casos las variables siguen una distribución normal verifique la hipótesis de igualdad de rendimientos académicos de ambas Universidades con un nivel de significación del 5 %. (Solución: Valor observado = -0 95; valor crítico = 2 086; se acepta la igualdad de rendimientos académicos) Una cooperativa agrícola produce cierto cultivo con fertilizante natural y con abono industrial. En las parcelas donde se emplea fertilizante natural se obtienen plantas de altura normalmente distribuida y varianza 47 cm 2. En los terrenos donde se usa abono industrial la altura de las plantas es normal pero con varianza igual a 39 cm 2. Para comprobar las medias se toma aleatoriamente una muestra de 25 plantas 11 correspondientes al primer tipo de tierras y 14 al segundo obteniéndose en las muestras 102 cm y 95 cm de alturas medias respectivamente. Trabajando con una confianza del 95% se pide contrastar la hipótesis de que los fertilizantes son igualmente eficaces frente a la hipótesis alternativa de que es más eficaz el natural. (Solución: Valor observado: 2 635; valor crítico = 1 645; los fertilizantes no son igualmente eficaces) La duración de los detergentes líquidos A y B en un envase estándar siguen una distribución normal. Con el fin de analizar su eficacia se elige una muestra de 6 familias a las que se les regala el detergente A y otra de 5 familias a las que se le regala el detergente B. Los resultados obtenidos sobre la duración de ambos detergentes son los siguientes: x = 12 días S 2 x = 16 n x = 6 y = 15 días S 2 y = 16 n y = 5 Se pregunta si uno de los dos detergentes es más duradero a un nivel de significación de 0'05. (Solución: Valor observado: ; valor crítico = 2 262; se acepta que los dos detergentes son iguales de duraderos). 5

6 20.- Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas A y B. Deseando estudiar la calidad de los productos recibidos se extraen dos muestras y se analiza el contenido en materia grasa obteniéndose los siguientes resultados: x A = 0'305 S A = 0'03 n A = 13 x B = 0'308 S B = 0'02 n B = 13 Se puede decir que la diferencia de materia grasa media de una granja y otra es significativa a un nivel de confianza del 90%?. Se supone que las variables estudiadas son normales e independientes. (Solución: Valor observado: ; valor crítico = ; no hay diferencias significativas en materias grasas medias de una granja y otra) Los errores aleatorios de dos aparatos de medidas siguen las distribuciones X~N(0 σ x 2 ) Y~N(0 σ y 2 ) De 7 medidas tomadas al azar para cada uno de los dos aparatos se ha obtenido la siguiente información: Σx 2 = 9'57 Σy 2 = 43'87 Se desea saber con un nivel de significación del 5%: a) Si los dos aparatos tienen igual precisión medida ésta a través de la varianza. b) Qué puede decir de la hipótesis: la varianza del primer aparato es igual a 1 3?. (Solución: a) Valor observado = 0 218; ; valores críticos = 0 20 y 5 00; los aparatos tienen la misma precisión. b) Valor observado = 7 36; valores críticos = 1 69 y 16 02; se acepta H o ). 6