PRUEBAS INFORMALES DE NORMALIDAD PARA UN CONJUNTO UNIVARIADO DE MEDICIONES.

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1 PRUEBAS INFORMALES DE NORMALIDAD PARA UN CONJUNTO UNIVARIADO DE MEDICIONES. La distribución normal es una de las distribuciones de muestreo más utilizadas en el trabajo estadístico. Si bien muchos datos en realidad siguen una distribución normal esta no es la regla. No obstante, es posible investigar si un conjunto de mediciones provenientes de una muestra aleatoria de tamaño n poseen una distribución normal, aunque sea de manera aproximada. Este tema ha resultado de un gran interés en la estadística existiendo distintas pruebas formales e informales. Dentro de las primeras, se encuentran las de Smirnov- Kolmogorov, Jarque y Bera, Cramer-Von Mises, Shapiro-Wilk, entre otras. El segundo tipo de pruebas, las informales, descansan más en pruebas gráficas o que involucran cálculos sencillos apoyados por la estadística descriptiva. Esta nota tiene como propósito el aplicar al segundo tipo de pruebas con el fin de complementar las pruebas formales. Específicamente se revisan las pruebas siguientes: a) el histograma de frecuencias relativas; b) la regla empírica; c) la razón entre el rango intercuartílico (RIC) y la desviación estándar (σ); y d) el gráfico de probabilidad normal. Para elaborar estas pruebas informales se consideran dos ejemplos considerando dos conjuntos de datos distintos así como la ayuda que ofrece el paquete estadístico Stata para su elaboración. 1

2 Ejemplo 1. A continuación de presenta un conjunto de mediciones referentes al peso (en gramos) de diferentes tipos de baterías para motocicletas. Los datos muestran que existen fabricantes que ofrecen baterías fabricadas en litio con un peso a partir de los 173 gramos para motos de 600cc y con un peso de hasta 2302 gramos para motores de mayor cilindrada. Presentan estas mediciones una distribución normal? id peso id peso id peso id peso

3 a) Histograma de frecuencias relativas Esté debe ofrecer una forma aproximada a la de una distribución de probabilidad normal. Al elaborarlo se presenta un comportamiento aproximado en forma de campana, razón por la cual pudiera ser factible que los datos de distribuyan normalmente. histogram peso, freq normal Frequency peso b) La regla empírica La regla empírica establece que cuando una población presenta una distribución en forma, más o menos, a la de una distribución normal, la media, la mediana y la moda coinciden en el centro de la distribución y los porcentajes de todos los valores poblacionales se encuentran dentro de ± 1, ± 2, y ± 3 desviaciones estándar de la media. Estos porcentajes son aproximadamente iguales a 68, 95 y 99%, respectivamente. Con ayuda de Stata se obtienen los estadísticos descriptivos más importantes que servirán para el calculo de los intervalos antes señalados. sum peso Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max peso Se procede al cálculo de los intervalos antes señalados. 3

4 i) y ± s debe contener aproximadamente el 68% de las observaciones. Realizando el cálculo se tiene: ± = ( , ) Al ejecutar sum peso if peso >= & peso<= se puede observar que 116 de las 144 observaciones caen dentro de este intervalo de valores, es decir, el 68.06% de las observaciones, cifra muy cercana al 68% que establece la regla empírica. Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max peso tab peso if peso >= peso<= se puede observar que 141 de las 144 observaciones caen dentro de este intervalo, es decir, el Se procede de igual manera para los otros dos intervalos de valores, es decir, considerando ± 2, y ± 3 desviaciones estándar de la media. A continuación se presentan como los resultados obtenidos así como los comandos de Stata utilizados. ii) y ± 2s debe contener aproximadamente el 95% de las observaciones. Se tiene entonces ± 2* = ( , ) Dentro de este intervalo caen 140 de las 144 observaciones, es decir, el 97.22%, valor muy cercano al 95% postulado por la regla empírica. Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max peso dis * dis * sum peso if peso >= & peso<= dis 143/144 iii) y ± 3s debe contener aproximadamente el 99% de las observaciones. Dentro de este intervalo caen 143 de las 144 observaciones, es decir, 99.31%, valor cercano al 99% postulado por la regla empírica. Se tiene entonces ± (3* )=( , ) Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max peso

5 dis (3* ) dis (3* ) sum peso if peso >= & peso<= dis 143/144 En resumen, se tiene que siguiendo la regla empírica, este conjunto de mediciones sigue, de manera aproximada, una distribución de probabilidad normal, ya que y ± s =68% los datos presentan 68.06%; y ± 2s = 95% los datos presentan 97.22%; y y ± 3s =99% los datos presentan 99.31% c) Cálculo de la razón RICσ Se espera que para datos distribuidos normalmente RIC σ = 1.3. Utilizando Stata es posible encontrar los valores del primer (Q 1 ) y segundo (Q 2 ) cuartil para así calcular el RIC (dada por: RIC = Q3 Q1 ). peso Percentiles Smallest 1% % % Obs % Sum of Wgt % 1000 Mean Largest Std. Dev % % Variance % Skewness % Kurtosis De esta manera, se tiene que RIC=455.5 para entonces obtener un valor de la razón RIC σ = Este valor es cercano al esperado por lo que es posible que los datos se distribuyan normalmente. sum peso, d scalar RIC= dis RIC dis RIC/ d) Gráfico de probabilidad normal El gráfico de probabilidad normal compara la distribución empírica de la muestra de datos, con la teórica distribución normal. La idea básica consiste en representar, en un mismo gráfico, los datos empíricos observados, frente a los datos que se obtendrían en una distribución normal teórica. Si la distribución de la variable es normal, los puntos quedarán cerca de una línea recta. Al efectuar el gráfico mediante Stata se observa que su comportamiento es aproximado al de la línea recta, razón por la que puede considerase que los datos se distribuyen normalmente. 5

6 pnorm peso Normal F[(peso-m)/s] Empirical P[i] = i/(n+1) 6

7 Ejemplo 2 Para el conjunto de mediciones de la variable X se efectúan las cuatro pruebas mostradas en el ejemplo 1, tratando de determinar si estas presentan una distribución normal o no. La sintaxis se Stata se muestra al final del ejemplo para que Ud. pueda verificar el cálculo correcto de cada prueba. id X id X id X id X

8 a) Histograma de frecuencias relativas Frequency DDT No se distribuye aproximadamente normal. b) La regla empírica Siguiendo lo señalado en la regla empírica, este conjunto de mediciones no sigue de manera aproximada una distribución de probabilidad normal debido a que y ± s =68% los datos presentan 95.83%; y ± 2s = 95% los datos presentan 98.61%; y y ± 3s =99% los datos presentan 98.61% c) Cálculo de la razón RICσ En este caso, el valor de la razón RIC σ = valor muy distante al esperado para una distribución normal por lo que estos datos no siguen tal distribución. d) Gráfico de probabilidad normal El gráfico de probabilidad normal para esta variable muestra un comportamiento muy alejado al de la línea recta por la que no puede considerase que los datos se distribuyen normalmente. 8

9 Normal F[(X-m)/s] Empirical P[i] = i/(n+1) Sintaxis de Stata para el ejemplo 2 histogram X, freq normal sum X dis dis sum X if X >= & X<= dis 138/144 dis (2* ) dis (2* ) sum X if X >= & X<= dis 142/144 dis (3* ) dis (3* ) sum X if X >= & X<= dis 142/144 sum X, d scalar RIC= dis RIC dis RIC/ pnorm X 9