Práctica 5 ANÁLISIS DE UNA MUESTRA INTERVALOS DE CONFIANZA CONTRASTE DE HIPÓTESIS

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1 Práctica. Intervalos de confianza 1 Práctica ANÁLISIS DE UNA MUESTRA INTERVALOS DE CONFIANZA CONTRASTE DE HIPÓTESIS Objetivos: Ilustrar el grado de fiabilidad de un intervalo de confianza cuando se utiliza para estimar la media de una población. Análisis de las relaciones entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza. Uso del SPSS para el análisis de una muestra: cálculo de intervalos de confianza, contrastes de hipótesis sobre la media poblacional y pruebas de normalidad. Índice: 1. Interpretación de los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis.. Análisis de una muestra con el SPSS. Pruebas de normalidad

2 Práctica. Intervalos de confianza 1. Interpretación de los intervalos de confianza y contrastes de hipótesis. Por conveniencia, supondremos que los datos que aparecen en este apartado proceden de una población normal. 1.1 Un ejemplo con una muestra. Supongamos que la colección de 100 círculos que se presenta en la hoja adjunta representa una población natural del mítico organismo C. ellipticus. Los círculos tienen números de identificación 00, 01, 0,..., 98, 99 por conveniencia en el muestreo. Algunos individuos de C. ellipticus son mutantes y son más oscuros. Vamos a utilizar esta "población" para simular la recogida de datos en un experimento, para estudiar la relación entre muestra y población y para interpretar las propiedades de los intervalos de confianza y del Contraste de Hipótesis. 1. Selección de una muestra aleatoria. Seleccionar una muestra aleatoria de tamaño de la población de C. ellipticus (utilizar el método descrito en la Práctica ) y medir sus diámetros en mm.. Calcular la media y la varianza muestral de la muestras obtenida.. Comparar los estadísticos obtenidos en el apartado con los que han obtenido vuestros compañeros. 1.. Intervalos de confianza Evidentemente, en otros estudios no conoceremos el valor de la media poblacional. Sin embargo, en este ejercicio sabemos que µ = 11, esto nos permitirá saber con seguridad si los intervalos de confianza que calculemos contienen o no al verdadero valor de µ.. Construir un intervalo de confianza del 9% para µ a partir de la muestra obtenida en el ejercicio 1. Análogamente para el 80%.

3 Práctica. Intervalos de confianza. Considerando todos los intervalos de confianza del 9% construidos por vuestros compañeros, calcular la proporción de ellos que contienen al 11 mm (valor verdadero de µ). Hacer lo mismo con los intervalos del 80%. Son los resultados obtenidos los que cabría esperar dado el nivel de confianza utilizado en cada caso? Comentar la interpretación probabilística de un intervalo de confianza y relacionar con los resultados obtenidos. Recordar que en un estudio real no sabemos cuál es el verdadero valor de µ por lo que nunca estaremos completamente seguros de si el intervalo de confianza que hemos obtenido contiene o no a este valor. Solamente podemos esperar que lo contenga con mayor o menor confianza. 1.. Contraste de Hipótesis: test t.. Haz el siguiente contraste de hipótesis sobre el valor de la media poblacional utilizando la muestra anterior: H 0 : µ 1 = 11, H A : µ 1 11: a) Utilizar α = 0.0. b) Utilizar α = 0.0. Qué relación hay entre los resultados obtenidos en los contrastes anteriores y el hecho de que los intervalos de confianza del ejercicio contengan o no al 11?. Si en lugar de observar si el 11 pertenece o no a los intervalos de confianza nos fijamos en si contienen o no al 8 qué contraste de hipótesis plantearías? 8. Suponed que un experto en C. Ellipticus asegura que el diámetro medio de este organismo es 1 mm. Utilizar un test t de dos colas para contrastar esta afirmación: H 0 : µ = 1, H A : µ 1 a) Utilizar α = 0.0. b) Utilizar α = 0.0. c) Teniendo en cuenta que sabemos que µ = 11, es equivocada la conclusión a que llegamos con el test?

4 Práctica. Intervalos de confianza 9. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos por vuestros compañeros en el ejercicio anterior, para cada valor de α utilizado: a) Calcular la proporción de veces en que se produce un resultado erróneo. b) Cuál es la proporción de veces que se ha producido un error de tipo I? Tiene esta proporción alguna relación con el valor de α? c) Cuál es la proporción de veces que se ha producido un error de tipo II? Cómo valorarías la potencia del test?. Análisis de una muestra con el SPSS En este apartado describimos el uso del SPSS para el análisis de una muestra mediante la obtención de intervalos de confianza y la resolución de contrastes de hipótesis, todos ellos referidos a la media de la población de la que proviene la muestra. Una vez abierto un banco de datos, por ejemplo AMBIENTE, podemos invocar el procedimiento Prueba T para una muestra, eligiendo el menú Analizar/Comparar medias/prueba T para una muestra, con lo que aparece la siguiente pantalla: Esta pantalla nos permitirá obtener intervalos de confianza y resolver contrastes para las medias de aquellas variables que seleccionemos y, con el puntero, situemos en la ventana de Contrastar Variables. Por su parte, el Valor de prueba nos permite introducir el punto crítico que define la hipótesis nula (m 0 ). Por último, si seleccionamos Opciones aparece una ventana en la que podemos introducir el coeficiente (porcentaje) de confianza deseado para el intervalo. Por defecto es del 9%. Se activa, entonces, el botón Aceptar, y al pulsarlo, el SPSS muestra en el Visor de resultados, bajo el título de Estadísticos para una muestra, el tamaño de la muestra, la media, la desviación típica y el error típico de la media. A continuación, bajo el título de Prueba para una muestra, encontramos el estadístico del contraste (t), los grados de libertad (gl), el p-valor bilateral ( Sig (bilateral) ), la diferencia de medias, el error típico de la diferencia, un intervalo de confianza para la diferencia µ - µ 0. (Por ejemplo, los resultados siguientes se obtinen seleccionando la variable PH con un valor de prueba ).

5 Práctica. Intervalos de confianza Estadísticos para una muestra PH Desviación Error típ. de N Media típ. la media E-0 Prueba para una muestra PH Valor de prueba = 9% Intervalo de confianza para la Diferencia diferencia t gl Sig. (bilateral) de medias Inferior Superior Es importante tener en cuenta que el contraste que realiza el SPSS es el siguiente: H 0 : µ = µ 0 H A : µ µ 0 por lo que el p-valor aparece como sig.(bilateral), es decir, corresponde siempre al contraste bilateral o no direccional. Por tanto, si el problema que queremos resolver involucra un contraste unilateral o direccional debemos adaptar dicho p-valor. La Prueba T es válida siempre que el tamaño muestral sea suficientemente grande o, en caso contrario, cuando la muestra provenga de una población con distribución normal. En la siguiente Sección veremos como comprobar si se satisface esta última condición. Ejercicio: En estudios previos se concluyó que el nivel medio de sulfato era de.1. Confirman los datos del fichero AMBIENTE las conclusiones de dichos estudios?. Pruebas de normalidad Una de las hipótesis que deben comprobarse para la validez de las Pruebas T es la de normalidad de los datos cuando el tamaño de las muestras es pequeño. Esta condición puede comprobarse con la prueba de Kolmogorov-Smirnov y mediante el dibujo de histogramas, diagramas de cajas o gráficos Q-Q. Para obtener una prueba de normalidad de los datos, seleccionamos el menú Analizar/Estadísticos descriptivos/explorar. Aparece la ventana siguiente:

6 Práctica. Intervalos de confianza En el caso de una muestra situamos la variable en la ventana Dependientes, y dejamos Factores en blanco. A continuación, debemos pulsar el botón Gráficos y en la nueva ventana escoger la opción de Histograma y activar la opción de Gráficos con pruebas de normalidad. En el Visor de resultados encontramos, junto con los algunos estadísticos de la(s) variable(s) a estudiar, la prueba de Kolmogorov-Smirnov con corrección de Lilliefors para contrastar la normalidad de la distribución (hipótesis nula) y el (los) histograma(s). Ejercicio: Aplicar las pruebas de normalidad a los siguientes datos. Notas obtenidas por los estudiantes presentados en un examen:.0,.0,.0,.00,.0,.0,.00,.90,.80,.0,.90,.0,.90,.0,.00,.0,.0

7 Práctica. Intervalos de confianza Utilizando el SPSS de la forma que se ha explicado, se obtienen los siguientes resultados: VAR00001 Pruebas de normalidad Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig a. Corrección de la significación de Lilliefors Histograma Gráfico Q-Q normal de VAR00001 Frecuencia Desv. típ. = 1.1 Media =. N = 1.00 Normal esperado VAR00001 Valor observado. Gráfico Q-Q normal sin tendencias de VAR Desv. de normal N = 1 VAR00001 Valor observado