LA TRIANGULACIÓN DE DELAUNAY APLICADA A LOS MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

Transcripción

1 LA TRIANGULACIÓN DE DELAUNAY APLICADA A LOS MODELOS DIGITALES DEL TERRENO PRIEGO DE LOS SANTOS, JOSÉ ENRIQUE PORRES DE LA HAZA, M ARIA JOAQUINA Departamento de Ingeniería Cartográfica, Geodesia y Fotogrametría Universidad Politécnica de Valencia 1.- Introducción En estos últimos años, la Cartografía esta sufriendo una gran evolución, pues el producto obtenido hasta ahora, cartografía clásica o analógica (soporte papel) esta siendo sustituido por cartografía digital o numérica, de características totalmente diferentes. La explotación práctica de la cartografía digital pasa necesariamente por la formación de modelos matemáticos que contemplen una superficie continua, definida de forma funcional, y que se aproxime de la mejor forma posible a la superficie real del terreno que se pretenda representar. A estos modelos matemáticos se les denomina de forma genérica como Modelos Digitales del Terreno o MDT. Un modelo digital constituye una representación numérica de la distribución espacial de una variable cuantitativa y continua. Un modelo digital del terreno (MDT), es por tanto, una representación numérica de las características topográficas del terreno, a partir de las coordenadas tridimensionales de los puntos que le definen. Para la generación de un modelo digital del terreno es importante tener en cuenta la adquisición de datos (Topografía, Fotogrametría, o Cartografía existente), que al fin y al cabo será una nube de puntos con coordenadas tridimensionales (x, y, z), que representen de manera fiel la superficie topográfica a representar. Esta nube de puntos, con distribución totalmente irregular, serán los datos de partida, cuyo procesamiento mediante algoritmos de cálculo, se utilicen para la formación del modelo digital del terreno. De esta forma, la superficie topográfica real se puede aproximar a una superficie matemática discreta formada por superficies elementales planas triangulares, y que se definen a partir de los puntos de coordenadas tridimensionales. Los algoritmos que se utilizan para la formación de la malla de triángulos irregular, se basan fundamentalmente en la triangulación de Delaunay, o bien, en su estructura dual, el diagrama de Voronoi; pues se trata de estructuras computacionales, que permiten la construcción de una triangulación óptima para la representación del terreno. Estos

2 algoritmos, cumplen los condicionantes computacionales y geométricos, donde los triángulos formados son lo mas regulares posibles, la longitud de los lados de los triángulos es mínima, y la triangulación formada es única, dando lugar a la red irregular de triángulos que aparentemente ofrece una imagen mas fiel del terreno real, y que permite una interpolación coherente entre los valores de altitud de cada uno de los puntos o vértices. La geometría computacional se define como el estudio de algoritmos y estructuras de datos eficientes para la resolución de problemas geométricos, y que se ocupa del desarrollo de aplicaciones mediante algoritmos óptimos y librerías geométricas. La geometría computacional trata de obtener el algoritmo más óptimo y de menor complejidad posible. 2.- Triangulación de Delaunay Una triangulación es una subdivisión de un área en triángulos. Una triangulación de una nube de puntos del plano es una familia maximal de triángulos de interiores disjuntos cuyos vértices son puntos de la nube y en cuyo interior no hay ningún punto de la nube. Puede obtenerse una triangulación añadiendo, mientras sea posible, segmentos rectilíneos que unan puntos de la nube que no atraviesen a los segmentos considerados anteriormente. En la figura 1 se pueden observar dos triangulaciones de una misma nube de puntos: Figura 1. Triangulaciones de una misma nube de puntos. Surgen ahora nuevas cuestiones: cómo triangular ese conjunto de puntos? Existen muchas formas de triangular conjuntos de puntos, pero, cuál es la triangulación que más se aproxima a un terreno? Al no tener información sobre otros puntos, en principio, cualquier triangulación podría ser igual de válida, aunque a simple vista unas parecen más naturales que otras. Parece más lógica la triangulación que forme los "triángulos más regulares, que aparentemente nos dará una imagen más fiel del terreno real. De esta forma llegaremos a la Triangulación de Delaunay. Por tanto, y a nivel general, sobre las triangulaciones de una misma nube de puntos cabe hacerse varias preguntas. Entre ellas las siguientes: - Cuántas triangulaciones diferentes de la misma nube existen? - Cuál de ellas es la mejor en algún aspecto determinado?

3 Se podría pensar que, como el número de puntos de la nube es finito, el número de posibles triángulos con vértices en ellos es finito y, en consecuencia, el número de triangulaciones es finito. Así es, un modo de averiguar cuál de ellas es la mejor según una condición dada consiste en calcular dicha condición para todas ellas y comparar. Un inconveniente de éste método en la práctica es precisamente la respuesta a la primera pregunta. En general, para una nube de n puntos existe una cantidad de triangulaciones que depende exponencialmente de n. Esto significa que, cuando n sea medianamente grande, el número de triangulaciones es lo suficientemente elevado como para que ningún ordenador, por sofisticado que sea, pueda calcularlas todas. Encontrar una triangulación de una nube de puntos viene determinado por un problema de interpolación: Dada una nube de puntos (en el plano, que denominamos S) de los que se conoce su altitud o cota, querríamos deducir cual es la altura de un nuevo punto sin necesidad de efectuar nuevas mediciones. El problema se resuelve encontrando una triangulación que tenga a los puntos de S como vértices, ya que una vez conseguida dicha triangulación, a un punto le podemos suponer con mucha aproximación la altura proporcional de los vértices del triángulo en el que se encuentra, esta es la técnica llamada de interpolación lineal. En realidad, se puede observar que para que esta técnica sea efectiva, los triángulos han de ser lo más equiláteros posible. Así, en realidad lo que se pretende es que entre todas las triangulaciones definidas sobre una nube de puntos, se trata de encontrar aquella tal que el menor ángulo definido sea máximo. Entre otros muchos usos, las triangulaciones se emplean para interpolar una función en una nube de puntos del espacio. La superficie terrestre se puede modelar con una superficie poliédrica de tipo terreno. Un terreno es una superficie de dos dimensiones en un espacio tridimensional, con la particularidad de que cada línea vertical la intersecta en un punto, si esta intersecta con todos. Es decir, es una función f que asigna una altura f(p) a cada punto p del dominio del terreno. Un terreno se puede visualizar con una perspectiva de dibujo como la de la figura 2. Figura 2. Vista perspectiva de un terreno.

4 Con esto, se consigue un terreno en forma poliédrica, definido por una función continua. Este terreno poliédrico se puede utilizar como una aproximación del terreno real. Por ejemplo, en la Figura 3, se muestran dos triangulaciones de la misma nube de puntos. Figura 3. Ejemplo de cambio de lados en una triangulación. Por el valor de la altitud de los puntos se puede ver que se trata de una cadena montañosa, definida por una línea divisoria central, y dos líneas de vaguada laterales. La triangulación (A) refleja esta intuición, mientras que la triangulación (B), introduce un estrecho valle en el centro, que corta la cadena montañosa. Se puede en un principio intuir que este segundo caso es incorrecto. Se podría cambiar esta intuición a un criterio que diga que la triangulación (B) es mejor que la triangulación (A)? El problema con la triangulación (B) es que la altitud del punto q esta determinada a partir de dos puntos que están relativamente alejados. Esto ocurre porque q esta en el medio de una cara de dos triángulos agudos y alargados. La delgadez de estos triángulos es la causa del problema. Se puede observar que una triangulación que contiene ángulos pequeños es mala. Si el ángulo mínimo de dos triangulaciones es idéntico, entonces se puede buscar el segundo ángulo más pequeño. Dada una nube de puntos con coordenadas tridimensionales, habrá un número finito de diferentes triangulaciones; esto implica que la triangulación será la más óptima, aquella que maximice el ángulo mínimo. Esta será la triangulación que se esta buscando en este estudio. Por regla general, interesa que, puntos cuyas proyecciones son puntos próximos, estén conectados por aristas de la superficie poliédrica. Esto da interés al siguiente problema cuya solución es lo que se conoce como la Triangulación de Delaunay: Dada una nube de puntos del plano, hallar una triangulación en la que puntos próximos estén conectados entre sí por una arista. O, dicho de otro modo, en la que los triángulos sean lo más regulares posible. Se trata de obtener una triangulación óptima, que permita una interpolación coherente entre los valores asociados (cotas o altitudes) a cada uno de los vértices; y así

5 construir una red de triángulos irregulares (TIN), para la generación de modelos digitales de elevación. Una triangulación T1, es mejor que otra T2, cuando el menor ángulo de los triángulos de T1 es mayor que el menor ángulo de los triángulos de T2. Es decir, la triangulación óptima, es la que maximiza el ángulo mínimo de los triángulos. Caracterización de la triangulación de Delaunay: Sea P = {p1, p2,...,pn} un conjunto de puntos en el plano, una triangulación de Delaunay de P cumplirá las siguientes propiedades: Propiedad 1: Tres puntos pi, pj y pk pertenecientes a P son vértices de la misma cara de la Triangulación de Delaunay de P, si y solamente si, el círculo que pasa por los puntos pi, pj y pk no contiene puntos de P en su interior. Figura 4. Figura 4. Propiedad 1 (triangulación de Delaunay). La triangulación de Delaunay tiene la propiedad de que la circunferencia circunscrita a cada triángulo no contiene a ningún otro punto de la triangulación. Propiedad 2: Dos puntos pi y pj pertenecientes a P forman un lado de la Triangulación de Delaunay de P, si y solamente si, existe un círculo que contiene a pi y pj en su circunferencia y no contiene en su interior ningún punto de P.Figura 5. Figura 5. Propiedad 2 (triangulación de Delaunay). Con estas dos propiedades se puede caracterizar la triangulación de Delaunay de la siguiente manera: Sea P un conjunto de puntos en el plano y T una triangulación de P, T es una triangulación de Delaunay de P, si y solamente si, la circunferencia circunscrita de cualquier triángulo de T no contiene puntos de P.

6 Una arista de un triángulo de una triangulación es incorrecta, si al cambiarla, aumenta el ángulo mínimo de los triángulos adyacentes. A esta arista se la denomina arista ilegal. La circunferencia definida por los vértices de un triángulo contiene a otro punto de la triangulación, si y sólo si, el triángulo tiene una arista ilegal o no válida. Se llama arista no válida o ilegal, a toda arista de una triangulación que pertenece a dos triángulos tales que forman un cuadrilátero convexo y tal que si se intercambia dicha arista por la otra diagonal del cuadrilátero mejora el vector de ángulos. Las aristas no válidas son aquellas para las que es posible hacer un flip. El siguiente resultado sencillo permite obtener de una forma muy simple la triangulación de Delaunay partiendo de una triangulación cualquiera: Cuatro puntos en posición convexa tienen dos posib les triangulaciones. Aquella triangulación en la cual los círculos circunscritos están vacíos, es decir, no contienen en su interior al cuarto punto, es la que tiene un vector de ángulos mayor. A la operación que consiste en sustituir una diagonal por la otra en un cuadrilátero se le denomina intercambio de aristas. Se dice que es un flip cuando mejora el vector de ángulos (como en el caso de la figura 6). Figura 6. Intercambio de aristas. El algoritmo en pseudocódigo de la Triángulación de Delaunay, sería: Entrada: Un conjunto finito de puntos en el plano. Paso 1: Sean p1, p2 y p3 tres puntos tales que P está contenido en el triángulo que forman. Paso 2: Inicializar T como una triangulación de un único triángulo (p1-p2-p3). Paso 3: Realizar una permutación cualquiera p1, p2,..., pn de P. Paso 4: for r=1 to n Paso 5: hacer (* Insertar pr en T *) Paso 6: Encontrar un triángulo pi-pj-pk de T que contenga a pr

7 Paso 7: si pr cae en el interior del triángulo pi-pj-pk Paso 8: entonces añadir aristas desde pr a los tres vértices de pi-pj-pk, dividiendo este triángulo en tres Paso 9: legaliza _ lado (pr, pi-pj, T) Paso 10: legaliza_lado (pr, pj-pk,t) Paso 11: legaliza _ lado (pr, pk-pi,t) Paso 12: en caso contrario (* pr cae encima de uno de los lados del triángulo pi-pjpk, por ejemplo el lado pi-pj *) Paso 13: Añadir aristas desde pr a pk y al tercer vértice pl del otro triángulo que comparte la arista pi-pj, de esta forma dividimos los dos triángulos que comparten la arista pi-pj en cuatro triángulos. Paso 14: legaliza _ lado (pr, pi-pl,t) Paso 15: legaliza _ lado (pr, pl-pj,t) Paso 16: legaliza _ lado (pr, pj-pk,t) Paso 17: legaliza _ lado (pr, pk-pi,t) Paso 18: descartar p1, p2 y p3 y todas las aristas que parten de ellos de T Paso 19: devuelve T Salida: La triangulación de Delaunay del conjunto de puntos. El algoritmo legaliza_lado, comprueba la validez de la arista, si la arista es ilegal hace el flip correspondiente y chequea de nuevo la válidez de los nuevos lados: Paso 1: El punto que se está insertando es pr, y pi-pj es la arista de T a la que puede ser necesario hacer una intercambio de aristas Paso 2: si pi-pj es no válida Paso 3: entonces, sea pi-pj-pk el triángulo adyacente a pr-pi-pj compartiendo la arista pi-pj Paso 4: (* Flip pi-pj *) Reemplazar pi-pj por pr-pk Paso 5: legaliza _ lado (pr, pi-pk, T) Paso 6: legaliza _ lado (pr, pk-pj, T) 3.- Conclusiones La Triangulación de Delaunay, triangulación especial por sus singulares propiedades, es la mas lógica para la formación de redes de triángulos irregulares (TIN) en la generación de modelos digitales del terreno (MDT), siendo la más óptima para la

8 definición del terreno. La solución aparentemente mas adecuada para el tratamiento del relieve, es mediante estructuras TIN, que se adaptan a la complejidad del terreno. Una triangulación de una nube de puntos en el plano, es una subdivisión del recinto convexo, en triángulos. De las numerosas triangulaciones posibles de una misma nube de puntos, no todas son válidas para la aproximación fiel del terreno. Para que esta técnica sea efectiva, la triangulación más lógica, será aquella que forme los triángulos mas equiláteros posible, es decir, la que maximiza el mínimo ángulo de los triángulos; y de esta forma, los puntos más próximos entre sí, estarán conectados por una arista, en la que los triángulos resultantes serán lo más regulares posibles, y formando un conjunto único. Esta triangulación, es la que caracteriza a la Triangulación de Delaunay. Las posibilidades computacionales que tiene esta triangulación son muy interesantes, puesto que se trata de un algoritmo óptimo, y de mínima complejidad posible, dado que es trascendental en nuestro caso, donde se procesan millones de puntos, y es preciso hacerlo con poco espacio en memoria y en el menor tiempo posible. La triangulación de Delaunay de una nube de puntos puede computarse en tiempo 0 (n log n) y utilizando un almacenamiento de 0 (n). Es interesante hacer referencia a la estructuración de los datos, que por otra parte será vital en el correcto funcionamiento del algoritmo. El algoritmo es muy rápido y permite su cálculo en cualquier ordenador de usuario medio. Esta triangulación esta implementada en numerosos programas para la generación de MDT. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS DE BERG M., VAN KREVELD, M., OVERMANS M., SCHWARZHOPF, O., (2000): Computational Geometry: Algorithms and Applications, Berlin, Ed. Springer. FELICÍSIMO, A.M.,(1994): Modelos digitales del terreno. Introducción y aplicaciones en las ciencias ambientales, Oviedo, Pentalfa Ediciones.