LA GEOMETRÍA. La Geometría. Su origen.

Transcripción

1 LA GEOMETRÍA La Geometría. Su origen. La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en los elementos. El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial. La geometría elemental se divide en dos partes; geometría plana (estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad). Al respecto, existen una gran variedad de definiciones, las cuales entre sí presentan elementos semejantes. A continuación encontrarás algunas de ellas: Es la rama que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría

2 euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.c. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX. La Geometría Plana. La geometría plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho. Sin embargo, para comprender este tipo de geometría de manera más clara, es importante conocer loe elementos referidos al punto, la recta, el ángulo, las figuras geométricas, el plano y los segmentos; sus axiomas, postulados y teoremas. Axiomas del la Geometría Plana. Primer axioma. Existen unas "cosas" que se llaman puntos. Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las rectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión, en tanto que los planos tienen dos dimensiones, ilimitadas ambas. En las representaciones que realizamos tenemos que hacerlos limitados necesariamente. Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que pertenecen. Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De este axioma se puede deducir directamente que un plano está determinado: a) Por una recta y un punto exterior a la misma, b) por dos rectas que se cortan, y c) por dos rectas paralelas.

3 Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está toda ella incluida en él. De este postulado deducimos que una recta con relación al plano puede ocupar varias posiciones: a) Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En este caso decimos que la recta y el plano son paralelos, b) que la recta tenga un solo punto común con el plano, en este caso, la recta corta al plano, y c) que la recta tenga dos puntos en común con el plano y por lo tanto está contenida en él. d) Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias. cruzan. e) Si dos rectas no están en el mismo plano se dice entonces que se Sexto axioma. Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios de tal forma que: a) Todo punto que no pertenece al plano está en uno solo de los semiespacios,

4 b) dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sin cortar el plano, y c) dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una línea sin cortar el plano. Postulados de la Geometría Plana. Euclides planteó cinco postulados en la geometría plana, a saber: 1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son congruentes. 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada. El punto, la recta y el plano La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos.

5 El punto: es el elemento base de la geometría, porque con él determinamos las rectas y los planos. Se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula. La recta: es una sucesión ininterrumpida de puntos, dos puntos determinan una recta, tienen una dimensión, la longitud. Se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula. El plano: se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega. Estos conceptos están relacionados a través de las relaciones de pertenencia e inclusión:

6 Los puntos pertenecen a las rectas y los planos. Las rectas están incluidas en los planos. La Recta. Características de la recta La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos. Tipos de rectas: Recta: se caracteriza por que los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir. Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido y no se puede medir. Segmento: es una línea recta que tiene principio y fin, se puede medir.

7 Poligonal: está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el ultimo). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono. Curva: está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por líneas rectas y curvas unidas). Se clasifica en: a) Circunferencia es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro, b) Elipse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual, c) Espiral es una curva regular abierta que gira sobre si misma, y d) Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Posiciones de las rectas: Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común. Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos Posición de las rectas en el espacio: Horizontal Vertical Inclinada

8 Ecuación de la recta. En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: la recta (ecuación punto-pendiente):, a partir de la cual se puede obtener la ecuación de Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos (X1;Y1), o cuando se conocen sólo las coordenadas de los dos puntos ((X1;Y1), (X2;Y2)), por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Bastiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X. Así pues, la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dada m es:. Por ejemplo: Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, 4) y que tiene una pendiente de 1 / 3?. Para dar respuesta a esta interrogante, iniciamos sustituyendo los datos del ejercicio en la ecuación de la recta: Les invito a buscar ejercicios referentes a la recta para que adquieran la habilidad de determinar la ecuación de la recta y/o su pendiente.

9 El segmento. Definición. Operaciones Un segmento, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este. Tipos de segmentos: Segmento nulo: cuando sus extremos coinciden. Segmentos consecutivos: cuando tienen un extremo en común. Segmentos alineados o adyacentes: están alineados cuando pertenecen a la misma recta. Operaciones con segmentos: Suma: es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento. La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.

10 . Resta o Diferencia: es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor. La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos. Producto de un número por un segmento: es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica. La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial. División de un segmento por un número: es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original. La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.

11 El ángulo. Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común. Está formado por: a) Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas, b) Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas, y c) Amplitud: es la abertura que hay entre los lados. Los ángulos se miden mediante el uso del transportador de ángulos. d) Bisectriz de un Ángulo: es la semirrecta, que pasando por el vértice, divide el ángulo en otros dos ángulos iguales. Clasificación de los Ángulos: Ángulo recto: su amplitud es de 90º. Ángulo llano: su amplitud es de 180º.

12 Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º. Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º. Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º. Ángulo completo: su amplitud es de 360º. Ángulo nulo: su amplitud es 0º. Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º.

13 Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 90º. Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º. Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez. Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común.

14 El triángulo. El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades nos ayudará a analizar los polígonos de más lados. Es decir:

15 Según sus lados: Equilátero: tres lados iguales, Isósceles: dos lados iguales y el tercero con otra medida, y Escaleno: tres lados con distinta medida. Según sus ángulos: Rectángulo: un ángulo recto, Acutángulo: tres ángulos agudos, y Obtusángulo: un ángulo obtuso Triángulo equilátero isósceles escaleno acutángulo rectángulo obtusángulo Los Polígonos. Un polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos (o curvos) consecutivos no alineados, llamados lados. También se puede definir como una figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a sí misma.

16 Los polígonos son figuras formadas por varias líneas a las que llamamos lados. Para que una figura formada por líneas se considere un polígono es indispensable que estas líneas formen una figura cerrada. Por ejemplo, dos líneas que se cruzan no pueden formar un polígono porque no encierran un área, por eso el polígono con el menor número de lados es el triángulo. Elementos de un polígono: Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Vértice, V: es el punto de unión de dos lados consecutivos. Diagonal, D: es el segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de todos sus lados. Ángulo Interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180º el ángulo central. Ángulo Central y Ángulo Exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno. En un polígono regular podemos distinguir, además: Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados. Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado. Diagonales Totales,, donde es el número de lados del polígono.

17 Los Cuadriláteros. Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. En estos tipos de polígonos se puede observar que dos de sus lados son opuestos (no tienen ningún vértice en común) y los otros lados son consecutivos (tienen un vértice en común). Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Elementos de los cuadriláteros. 4 vértices: referidos a los puntos de intersección de los segmentos que conforman el cuadrilátero; 4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos; 2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos; 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común; 4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente. Clasificación de los cuadriláteros. 1. Paralelogramas, cuadrilátero en el que todos sus lados enfrentados son paralelos; es decir, sus lados son paralelos dos a dos. Se clasifican en: Cuadrado: tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos son rectos.

18 Rectángulo: tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos Rombo: tiene los cuatro lados iguales Romboide: tiene lados iguales dos a dos. 2. Trapecios: cuadrilátero en que dos de sus lados son paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en: Trapecio rectángulo: tiene un ángulo recto.

19 Trapecio isósceles: tiene dos lados no paralelos iguales.. Trapecio escaleno: no tiene ningún lado igual ni ángulo recto. 3. Trapezoide, no tiene lados paralelos ni iguales. Trapezoide simétrico: posee dos pares de lados iguales pero no paralelos. Trapezoide asimétrico: cuatro lados desiguales. Propiedades de los Paralelogramas. Tienen iguales sus lados opuestos. Tienen iguales sus ángulos opuestos. Dos ángulos consecutivos son suplementarios. Las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales.

20 La Circunferencia y el círculo. La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es: conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistante de otro punto fijo llamado centro. El término EQUIDISTANTE significa que todos los puntos están a la misma distancia. Elementos de la Circunferencia. Centro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; Diámetro, es el segmento mayor que une dos puntos de la circunferencia, y que necesariamente pasa por el centro; Cuerda, es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

21 Recta Secante, es el segmento que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta Tangente, es el segmento que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia, es el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; Arco, es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro. Posiciones de una recta y una circunferencia. La circunferencia y la recta: Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser: Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

22 Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro. Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio. Posiciones de dos circunferencias. Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan: Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

23 Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. El círculo es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una la circunferencia. Elementos del círculo. Arco: una línea curva que es una parte de la circunferencia de un círculo. Cuerda: un segmento de línea que está en contacto con dos puntos del círculo. La circunferencia: la distancia alrededor de un círculo. El diámetro: la distancia más larga desde un cabo de un círculo hacía el otro.

24 El origen: el centro del círculo. El radio: la distancia desde el centro de un círculo hacía cualquier punto en él. Sector: es como una rebanada de pastel (una cuña de círculo). Tangente de un círculo: una línea, perpendicular al radio, que toca en solamente un punto al círculo.