Técnicas Avanzadas de Control Memoria de ejercicios

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Técnicas Avanzadas de Control Memoria de ejercicios"

José Miguel Salazar Belmonte
hace 7 años
Vistas:

1 Memoria de ejercicios Curso: 2007/08 Titulación: Ingeniero Técnico Industrial Especialidad: Electrónica Industrial Alumno: Adolfo Hilario Tutor: Adolfo Hilario Caballero

2 Índice general Presentación. 2.. Objetivos y alcance Resumen Datos del problema Metodología Obtención del modelo Análisis previo del modelo del sistema Simulación con Matlab y Simulink Conclusiones I

3 Presentación Este documento fue realizado en el año 2003 como una guía para el desarrollo de la memoria de ejercicios y actividades de los alumnos de Regulacin Automtica I y Regulacin Automtica II. Como se puede observar, la presentación debe ser la introducción al documento completo: se comentan brevemente los objetivos del documento en su totalidad y se describe cómo está estructurado haciendo referencia a los distintos capítulos que lo componen. En el capítulo. se presenta un ejemplo completo de simulación de la respuesta temporal de una red RC ante un escalón unitario. El código fuente L A TEX de este documento se encuentra en PoliformaT.

4 Capítulo.. Objetivos y alcance En este capítulo se simula el comportamiento dinámico de un circuito RC. No se analiza la respuesta en frecuencia del circuito, únicamente se estudia la respuesta transitoria ante un escalón unitario en la tensión de entrada..2. Resumen La red RC es un circuito formado por una resistencia y un condensador tal como se muestra en la figura.. La tensión de entrada se reparte entre la caída de tensión en la resistencia y la tensión de salida que se corresponde con la caída de tensión en el condensador. En el apartado.4 en la página 3 se describe la metodología utilizada para analizar la respuesta del circuito ante un cambio brusco de V en la tensión de entrada. En el apartado.5 se describen los pasos que se han seguido para obtener el modelo del sistema. Figura.: Circuito RC 2

5 En el apartado.7 se detalla la forma en que se ha implementado el sistema utilizando las herramientas Matlab y Simulink, y se presentan los resultados obtenidos. Por último, las conclusiones del capítulo se encuentran en el apartado Datos del problema A continuación se relacionan los datos numéricos de los componentes del circuito RC se plantea en este capítulo: Topología del circuito: Véase figura. Tensión de entrada: Escalón unitario, es decir, v e (t) = u 0 (t) Valor de la resistencia: R = 0 kω Valor de la capacidad del condensador: C = 470 µf.4. Metodología Partiendo de las ecuaciones de definición de la resistencia y del condensador se ha obtenido la ecuación diferencial que relaciona la tensión de entrada con la tensión de salida según un modelo lineal invariante en el tiempo. Aplicando la transformada de Laplace se ha representado la función de transferencia del circuito. El modelo en la transformada de Laplace se ha analizado con Matlab y se ha simulado con Simulink..5. Obtención del modelo Para la obtención de la función de transferencia en la transformada de Laplace de la red RC se van a seguir los pasos que se relacionan a continuación:. Ecuaciones de definición de la resistencia y del condensador. 2. Aplicación de la ley de Ohm al circuito para obtener la intensidad que circula por la resistencia. 3. Realizando las sustituciones necesarias, se obtiene la ecuación diferencial del circuito. 4. Aplicando la transformada de Laplace y agrupando términos se obtiene la función de transferencia. Adolfo Hilario Página 3

6 Las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento dinámico de la resistencia y del condensador, véase [?], son: En donde: i c (t) = C d v c(t) dt i r (t) = v r(t) R (.) (.2) i r (t): v r (t): i c (t): v c (t): Es la intensidad de corriente que circula por la resistencia. Diferencia de potencial en bornes de la resistencia. Es la intensidad de corriente que circula por el condensador. Diferencia de potencial en bornes del condensador. La intensidad en la resistencia se tomará en sentido entrante al circuito, que, en este caso en el que no hay resistencia de carga, es la misma que la intensidad que circula por el condensador. Por otra parte, la tensión en la salida del circuito es exactamente la diferencia de tensión en bornes del condensador: i r (t) = i c (t) (.3) v s (t) = v c (t) (.4) Aplicando la ley de Ohm a la resistencia se puede calcular la intensidad que circula tanto por la resistencia como por el condensador: i r (t) = i c (t) = R [v e(t) v s (t)] (.5) Sustituyendo en la ecuación (.5) el valor de i c (t) basándose en la ecuación de definición del condensador dada en (.), y teniendo en cuenta que v c (t) = v s (t), se obtiene: C d v c(t) dt = C d v s(t) dt = R [v e(t) v s (t)] (.6) Por último, agrupando términos se obtiene la ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes de la red RC, que relaciona la tensión de entrada con la tensión de salida: RC d v s(t) dt + v s (t) = v e (t) (.7) Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad, y agrupando términos se obtiene: V s (s)(rc s + ) = V e (s) (.8) Adolfo Hilario Página 4

7 Finalmente despejando la tensión de salida y la tensión de entrada se obtiene la función de transferencia: G(s) = V s(s) V e (s) = RC s + (.9).6. Análisis previo del modelo del sistema Se puede observar en la ecuación (.9) que el model obtenido del sistema es de primer orden (un solo polo), y que su ganancia estática es: K e = lím G(s) = lím s 0 s 0 RC s + = (.0) Por otra parte la constante de tiempo es τ = RC. Esto significa que para t = 4 RC el sistema habrá alcanzado prácticamente el valor final de la respuesta ante el escalón..7. Simulación con Matlab y Simulink En la figura.2 se muestra la secuencia de comandos que se han utilizado para modelar y simular el comportamiento de la red RC. La salida que ofrece Matlab para el script de la figura.2 es la que se muestra en la figura.3. Se puede observar que la función de transferencia es la correcta según la ecuación (.9). El resultado que ofrece el comando step() es el que se muestran en la figura.4, en la que se puede observar que para t = 4, 7 s se alcanza aproximadamente el 63 % del valor final, tal como se espera de un sistema de primer orden. Con el fin de realizar la simulación también con la herramienta Simulink, se ha implementado el diagrama de bloques mostrado en la figura.5. Los resultados de la simulación se muestran en la figura.6. Como se puede observar, estos resultados son idénticos a los obtenidos en la figura.4. Adolfo Hilario Página 5

8 % % Grupo "Los siete magníficos" % Ejercicio: Red RC % 6 de octubre de 2003 % R = 0E3; % 0*0^3 C = 470E-6; % 470*0^(-6) c_tiempo = R*C % Constante de tiempo ST = 6*c_tiempo; % Stop Time (Simulink) MSS = c_tiempo/000; % Max Step Size (Simulink) redrc = tf(, [R*C, ]) step(redrc), grid; % Figura.2: Modelo de una red RC y simulación con Matlab.8. Conclusiones El modelo de la red RC obtenido se comporta como un sistema de primer orden en el que se cumple que el valor final se alcanza aproximadamente a partir de t = 4 RC, tal como se puede observar en las figuras.4 y.6. Observe en la figura.7 que es posible organizar las figuras en grupos, utilizando el paquete subfig. De esta forma, en la figura.7a se muestran los resultados de la simulación realizada con el comando step(), y en la figura.7b los resultados de la simulación realizada con Simulink. Adolfo Hilario Página 6

9 c_tiempo = Transfer function: s + Figura.3: Salida de Matlab para el script de la figura.2 Step Response Amplitude Time (sec) Figura.4: Resultado de la simulación de la red RC utilizando el comando step() Adolfo Hilario Página 7

10 Step /(R*C) s+/(r*c) Transfer Fcn Scope Figura.5: Diagrama de bloques de la red RC Figura.6: Resultado de la simulación de la red RC realizada con Simulink Step Response Amplitude Time (sec) (a) Utilizando el comando step() (b) Utilizando Simulink Figura.7: Simulación de la red RC Adolfo Hilario Página 8

Documentos relacionados

Práctica 2. Introducción a la simulación de sistemas mediante Simulink. Sistemas de primer, segundo y tercer orden. Objetivo

Práctica 2. Introducción a la simulación de sistemas mediante Simulink. Sistemas de primer, segundo y tercer orden. Objetivo Práctica 2 Introducción a la simulación de sistemas mediante Simulink. Sistemas de primer, segundo y tercer orden. Objetivo En esta práctica se pretende que el alumno tome contacto con una herramienta