4.3 Problemas de aplicación 349

Transcripción

1 4. Problemas de aplicación Problemas de aplicación Ejemplo 4.. Circuito Eléctrico. En la figura 4.., se muestra un circuito Eléctrico de mallas en el cual se manejan corrientes, una en cada malla. Figura 4.. Circuito RLC de mallas El cual se rige por las siguientes ecuaciones di () dt + = t () L Ri E di dt + = () RC i i 0 Siendo éste un sistema de ecuaciones lineales que podemos resolver mediante Transformada de Laplace. Con las siguientes condiciones 4 Et () = 0V, L= h, C = 0 f y R = 50 Ω. Sujetas a i (0) = i (0) = 0 De tal manera que debemos resolver nuestro sistema de ecuaciones formado por () y (4). di 50i 0 dt + = ()

2 4. Problemas de aplicación 50 ( )( ) di + = (4) dt i i 0 Transformando cada una de las ecuaciones obtenemos 0 si() s i(0) + 50 I() s = (5) s 50 () (0) + () () = 0 () 0000 si s i I s I s Multiplicando por 00 la ecuación (), resulta si ( s) 00 i (0) + 00 I ( s) 00 I ( s) = 0 (7) Factorizando esta ecuación y sustituyendo condiciones iniciales (5) y (7) 0 si( s) + 50 I( s) = s 00 I ( s) + ( s+ 00) I ( s) = 0 Resolviendo el sistema para I () s e I () s y descomponiendo en fracciones parciales, obtenemos 0s I () s = = ss ( + 00) s s+ 00 s + 00 ( ) I () s = = ss ( + 00) s s+ 00 s + 00 ( ) Antitransformando tenemos i () t = e 0te t 00t

3 4. Problemas de aplicación 5 i ( t) = e 0te t 00t Resultados obtenidos en MathCad 0. s 000 s.( s 00) ( 5s. ) 0 ( s 00) ( ( s 00) ) I ( s ) ( 5s. ) 0 ( s 00) ( ( s 00) ) i i ( t) 5 0. t. exp( 00. t). exp( 00. t) 5 ( ) ( ) ( ) e e 0 = + Ejemplo 4.. Resorte Acoplados. [4] Dos masas y m están unidas a dos resortes m k A y B de masa insignificante, cuyas constantes son y k, respectivamente. Los resortes se fijan de acuerdo al esquema de la figura 4... Siendo () desplazamientos verticales de las masas respecto de sus posiciones de equilibrio. x t y x () t, los Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B queda sometido a una elongación (estiramiento) y compresión, a la vez, por lo tanto su elongación neta es x x. Entonces de acuerdo a la Ley de Hooke, los resortes ( A y B ejercen las fuerzas k x y k x x), respectivamente sobre m. Si no se aplican fuerzas externas al sistema y en m ( ) ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre es kx + k x x, por lo tanto se escribiría, de acuerdo a la segunda Ley de Newton d x ( ) m = k x + k x x (8) dt

4 4. Problemas de aplicación 5 A k x=0 m B k m x x=0 m x m Figura 4... Resortes Acoplados De la misma manera, la fuerza neta ejercida sobre la masa m, solo se debe al alargamiento neto de d x ( ) B ; esto es k ( x x ), por lo tanto, m = k x x (9) dt Por lo que el movimiento del sistema acoplado se representa en el sistema de ecuaciones lineales de segundo orden, formado por las ecuaciones (8) y (9) Suponiendo que los valores de k = y k = 4, m = y m = y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales formado por (0) y (). x + 0x 4x = 0 (0) 4 x + x + 4x = 0 () Sujetas a condiciones iniciales tales como x(0) = 0, x (0) = y x(0) = 0, x (0) = Transformando término a término (0) y (), obtenemos s X ( s) sx (0) x (0) + 0 X ( s) 4 X ( s) = 0 ()

5 4. Problemas de aplicación 5 4 X ( s) + s X ( s) sx (0) x (0) + 4 X ( s) = 0 () Sustituyendo las condiciones iniciales en () y (), nos quedaría un sistema formado por s X s s X s X s () (0) () + 0 () 4 () = 0 4 X ( s) + s X ( s) s(0) ( ) + 4 X ( s) = 0 Despejando y acomodando términos ( s + 0) X ( s) 4 X ( s) = (4) ( ) ( ) ( ) 4X s + s + 4 X s = (5) Dividiendo la ecuación (4), entre ( s + 0) y la ecuación (5) entre 4 obtenemos 4 X() s X () s ( s 0) = + ( s + 0) 4 4 X() s + ( s + 4) X() s = () (7) Sumando () y (7) 4 ( s + 0) 4 ( s + 0) 4 X () s + ( s + 4) X() s = Factorizando X 4 s + 4 () s ( s ) = ( s + 0) 4 4( s + 0) X () s ( )( ) s + 4 s + 0 s + = 4( s + 0) 4( s + 0)

6 4. Problemas de aplicación 54 ( s ) + 4( s + 0) X() s = 4, simplificando 4( s + 0) ( s + 4s + 4) s + X() s = ( s + )( s + ) (8) Descomponiendo en fracciones parciales utilizando MathCad se tiene que s s. s s s X () s = 5 5 ( s + ) ( s + ) (9) para X () s, sustituyendo en (), la ecuación de (8) X s + ( s + 0) ( s + 0) ( s + )( s + ) 4 () s = 4( s + ) ( )( ) X() s =, resulta ( s + 0) s + s + 4 s + 4s + 4 4s X() s = ( s + 0) ( s + )( s + ) s + s = 4 4 0, X() s ( s + 0) ( s + )( s + ) Por lo que Finalmente s ( s + 0s) ( )( ) X() s = ( s + 0) s + s + X () s = s ( s + )( s + ) (0)

7 4. Problemas de aplicación 55 Descomponiendo en fracciones parciales utilizando MathCad se obtiene s s. s s s Descomponiendo en fracciones parciales utilizando MathCad se tiene que s s. s s s X () s = 5 5 ( s + ) ( s + ) () Para X () s, sustituyendo en (), la ecuación de (8) X s + ( s + 0) ( s + 0) ( s + )( s + ) 4 () s = 4( s + ) ( )( ) X() s =, resulta ( s + 0) s + s + 4 s + 4s + 4 4s 4 X() s = ( s + 0) ( s + )( s + ) Finalmente X () s = s ( s )( + s + ) () Descomponiendo en fracciones parciales utilizando MathCad se obtiene s s. s s s

8 4. Problemas de aplicación 5 X () s = ( s + ) ( s + ) () Aplicando la transformada inversa de Laplace ( ) ( ) x () t = sen t + sen t 0 5 x() t = sen( ) t sen( ) t 5 0 Ejemplo 4.. Tanques Interconectados[] Dos grandes tanques, cada uno contiene 4 Litros. de una solución salina, están conectados entre sí mediante tubos como se muestra en la figura 4... El tanque A recibe agua pura a razón de litros y el líquido sale del tanque B a la minuto litros litros misma razón, además se bombean 8 del tanque A al B y del tanque B minuto minuto al A. Los líquidos de ambos tanque se mantienen perfectamente mezclados, de tal manera que la mezcla es homogénea Si en un principio la solución salina de tanque contiene inicialmente t > 0. yo kg A contiene x o kg de sal y la del tanque de sal, determinar la masa de sal en cada tanque en el instante B

9 4. Problemas de aplicación 57 L/min A x(t) B y(t) 4 L 4 L x( 0)= xo kg 8 L/min L/min y(0)=y o kg L/min Figura 4.. Tanques interconectados Observar que el líquido en cada tanque se mantiene constante e igual 4 litros., debido al equilibrio entre las razones de entrada y salida. Por lo tanto las incógnitas son funciones de, las masas de sal en ambos tanques x t para el tanque y y t para el tanque B. t ( ) A ( ) Como el sistema de ambos tanques es alimentado de agua pura, se espera que el contenido de sal en ambos tanques tienda a cero, cuando t +. Para formular las ecuaciones del sistema, se iguala la razón de cambio de sal en cada tanque, con la razón neta con la que se transfiere la sal a ese tanque. x( t) 4 kg La concentración de sal en el tanque A es litro, de modo que el tubo superior saca 8x kg sal del tanque A a razón de 4 minuto, de manera similar, el tubo inferior lleva sal y kg al tanque A a razón de 4 minuto, la concentración de sal en el tanque B es y() t kg 4 litro. El flujo de agua pura por supuesto no transfiere sal, simplemente mantiene el volumen del tanque A en 4 Litros. Tenemos que dx razón de entrada razón de salida dt = de la masa de sal en el tanque A es dx 8 y x dt = 4 4, o bien, de modo que la razón de cambio

10 4. Problemas de aplicación 58 dx y dt = x (4) La razón de cambio de la masa de sal en el tanque B se determina mediante los mismos y kg tubos de conexión y por le tubo de drenado, que saca 4 minuto dy 8 = x y y, o bien dt dy x y dt = (5) De tal manera que las ecuaciones (4) y (5) gobiernan nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Las cuales las resolveremos mediante la transformada de Laplace. 0 y 0 = 0. Reacomodando Suponiendo como condiciones iniciales x ( ) = y ( ) x y+ x=0 () y x+ y=0 (7) Transformando ambas ecuaciones sx ( s) Y ( s) + X ( s) = 0 (8) sy ( s) y ( 0) X ( s) + Y ( s) = 0 (9) Sustituyendo condiciones iniciales s+ X s Y s ( ) ( ) s+ Y s X s ( ) ( ) = (0) = 0 ()

11 4. Problemas de aplicación 59 Resolviendo s+ X s Y s ( ) ( ) s+ X ( s) + s+ Y( s) = 0 = s+ Y( s) = + + = Por lo que s s Y( s) De tal manera que Y( s) = ( s+ )( s+ ) o bien Y( s) = 4 ( s+ )( s+ ) Descomponiendo en fracciones parciales tenemos Y( s) () t t = + ( s+ ) ( s+ ), por lo que y t = e + e () De (5) despejamos x = y + y, por lo que derivando () obtenemos t t y () t = e e () Sustituyendo () y () en (5) obtenemos t t x() t = e e + e t + e t, resultando t t x() t = e + e (4)

12 4. Problemas de aplicación 0 Ejemplo 4..4 El Sistema Masa-Resorte como se muestra en la figura 4..4, maneja un sistema de ecuaciones determinado por x = x+ y (5) ( t) y = x y+ 40sen () Sujeto a condiciones iniciales, tales como ( 0 ) ( 0) ( 0 ) ( 0) x = x = y = y = 0 k=4 k= m= m= f(t) =40 sen( t) x y Figura 4..4 Sistema Masa-Resorte La fuerza f () t = 40sen( ) t se aplica de repente a la segunda masa, de la figura 4..4 en el instante t = 0, cuando el sistema reposa en su posición de equilibrio. De tal manera que transformando (5) y () y sustituyendo condiciones iniciales obtenemos ( ) ( ) ( ) sx s = X s+ Y s (7) 0 = + s + 9 ( ) ( ) ( ) sy s X s Y s (8) Reacomodando, para su solución ( s ) X ( s) Y( s) + = 0 (9)

13 4. Problemas de aplicación 0 X ( s) + ( s + ) Y( s) = s + 9 (40) Sumando (9) y (40) ( s )( s ) X ( s) ( s ) Y( s) = 0 0 X ( s) + ( s + ) Y( s) = s + 9 ( s )( s ) X ( s) + + = 0 9 s + ( ) X s 0 = ( s + 9)( s + 4)( s + ) (4) Descomponiendo en fracciones parciales (4) con la ayuda de MathCad s 4. s. s 9 s 4 s s 9 De tal manera que transformando inversamente () 5 () 4 ( ) ( ) x t = sen t sen t + sen t (4) Despejamos la ecuación (5), obtenemos y = x + x Obteniendo la primera y la segunda derivada de (4), () () ( ) ( ) x t = 5cos t 8cos t + cos t (4) () () ( ) ( ) x t = 5sen t + sen t 9sen t (44) Sustituyendo (44) y (4) en (5), obtenemos

14 4. Problemas de aplicación () = 5 () + ( ) 9 ( ) + 5 ( ) ( ) ( ) y t sen t sen t sen t sen t sen t sen t Simplificando () 0 () 4 ( ) ( ) y t = sen t + sen t sen t (45)