Transformada de Laplace - Conceptos Básicos. e -st f(t)dt. L { f (t) } = F(s) =

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Rosa María Luna Calderón
hace 7 años
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1 Transformada de Laplace - Conceptos Básicos Definición: Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como: L { f (t) } = F(s) = 0 e -st f(t)dt Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace: 1. Suma y Resta Sean F 1 (s) y F 2 (s) las transformadas de Laplace de f 1 (t) y f 2 (t) respectivamente. Entonces: L { f 1 (t) f 2 (t) } = F 1 (s) F 2 (s) 2. Multiplicación por una constante Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces: L { kf(t)} = kf(s) 3. Diferenciación Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es: L { df(t)/dt} = sf(s) - lím f(t) = sf(s) - f(0) t 0 En general, para las derivadas de orden superior de f(t): L { d n f(t)/dt n } = s n F(s) - s n-1 f(0) - s n-2 f (1) (0) f (n-1) (0). 4. Teorema del Valor Inicial Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces: Lím f(t) = Lím s F(s) t 0 s si el límite existe. 1

2 Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales: f(t) L {f(t)} = F(s) 1 K k/s 2 t 1/s 2 3 t n n!/s n+1 4 e at 1/ s-a 5 sen at a/ s 2 + a 2 6 cos at s/ s 2 + a 2 7 senh at a/ s 2 - a 2 8 cosh at s/ s 2 - a 2 Ejercicio Resuelto: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla: f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t Aplico Transformada de Laplace: L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t } (1) Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como: L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t 3 } + L { 8 } (2) Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades: L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s ) + 3/4*( 3! / s 4 ) + 8/s por lo tanto: F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s ) + 9/2 t /s 2

3 Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos Definición: Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota: L -1 { F(s)} = f(t) Método para hallar la Antitransformada de Laplace: Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se explicará el Método de las Fracciones Parciales. Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b) r, donde A es una constante y r = 1,2,3... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L -1 { P(s)/ Q(s)}. Ejercicio resuelto : Hallar L -1 { (3s + 7) / (s 2-2s - 3)} Como se ve, es de la forma L -1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s 2-2s - 3; se puede observar también que el grado de Q(s) > P(s). El polinomio Q(s) se puede expresar como s 2-2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces: 3s + 7 3s + 7 A B (1) s 2-2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene: 3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2) Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación resultante (2), hallo los valores de los coeficientes A y B: A + B = 3 A - 3B = 7 3

4 Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) : Teoría de Control 3s + 7 A B 4 1 (3) (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 s - 3 s + 1 Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los términos: L -1 3s + 7 L -1 4 L -1 1 (s - 3)(s + 1) s - 3 s L -1 1 L -1 1 s - 3 s + 1 f (t) = 4 e 3t - e - t 4

5 Aplicación de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden: d 2 y/dt 2 + dy/dt + y = F(t) o sea y'' + y' + y = F(t) (1) donde y son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera y(0) = A e y'(0) = B (2). Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuación algebraica para determinar L { y(t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s). Ejercicio resuelto : Resolver y'' + y = t, con y(0) = 1, y'(0) = -2. Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene: L { y''} + L { y } = L { t } s 2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s 2 s 2 Y(s) - s Y(s) = 1/s 2 Entonces: Y(s) * [s 2 + 1] = 1/s 2 + (s - 2) Despejando Y(s): Y(s) = [1/s 2 + (s - 2)] / [s 2 + 1] Y(s) = 1/s 2-1/s s/s / s Y(s) = 1/s 2 + s/s /s Aplicando Antitransformada a cada término: L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s 2 + s/s /s 2 + 1} Se obtiene de la tabla: y(t) = t + cos t - 3 sen t 5

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