3.- TRIGONOMETRÍA 1.- EL RADIÁN

Transcripción

1 . Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 00 b) 00 Solución: a) 0/9 rad, b) 5/ rad.. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 70 b) 6 Solución: a) / rad, b) 7/0 rad..- TRIGONOMETRÍA.- EL RADIÁN. Halla, sin utilizar la calculadora: π π a) cos cos0 -cosπ cos cosπ π π b) tg π - cos tg 0 - sen sen π Solución: a) 0+-.(-)+0- = ; b) (-)+0 =. Halla sin utilizar la calculadora: π π a) cos cos cosπ π π b) sen sen sen π - Solución: a) 0 - =, b) = 0 5. Pasa a grados sexagesimales los siguientes ángulos en radianes: a) / rad, b) 7/ rad. Solución: a) 5 b) 5 6. Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: a) rad b) rad c) 6 rad Solución: a) º cuadrante b) º cuadrante c) º cuadrante 7. Demuestra que: sena - sena a = tg sena + sena.- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 8. Es verdadera la igualdad tgα ctgα cos. sen 9. Es verdadera la igualdad tgα ctgα secα cosecα cosα senα tgα tgβ 0. Es verdadera la igualdad tg α.tgβ ctgα ctgβ

2 . Es verdadera la igualdad ctgα tgα ctgα - tgα cos α -sen α ctg α -. Es verdadera la igualdad ctgα - tgα ctgα. Si ctg = - / y cos > 0, calcula las razones trigonométricas de. 7 Solución: sen =, cos = Calcula las razones trigonométricas de -600 Solución: sen(-600) =, cos (-600) =, tg(-600) =. 5. Si tg =, halla las tangentes de 90-, 90+, 80-, 80-. Solución: tg(90-) =, tg(90+) =, tg(80-) =, tg(80-) =. 6. Si tg =, halla las tangentes de 70-, 70+, -. Solución: tg(70-) =, tg(70+) =, tg(-) =. 7. Calcula el valor exacto de: a) sen 75º, b) cos 75º 6 6 Solución: a) sen 75º =, b) cos 75º = 8. Calcula el valor exacto de: a) sen 5º, b) cos 5º 6 6 Solución: a) sen 5º =, b) cos 5º = 9. Encuentra una fórmula para calcular: a) sen(x), b) sen(x) Solución: sen(x) = sen x sen x, b) sen(x) = senx.cosx 8sen x.cosx. 0. Transforma en sumas la expresión sen(x-5y).sen(-x+y) Solución: a) - cosy - cos(x- 8y) π. Desarrolla y simplifica la expresión sen x -. Solución: -cos x..- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide cm, su cateto adyacente cm y su cateto opuesto 5 cm. 5 5 Solución: sen =, cos =, tg =, ctg = 5

3 . Una escalera de 8'5 m. de longitud está apoyada en una pared alcanzando 6 m. de altura. Cuál es el ángulo formado por la pared y la escalera? 6 Solución: = arc cos 8,5. Calcula seno, coseno, tangente y cotangente de los ángulos agudos que forma la altura de un triángulo isósceles de base 8 cm y altura cm. Solución: sen = 5, cos = 5, tg =, ctg = 5. Halla los ángulos de un triángulo rectángulo sabiendo que su base es 6 cm y su altura 6 cm. Solución: A = 90, B = 5, C = 5..- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUUIERA 6. Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 0 a partir del ángulo de 60. Solución: sen(0) =, cos(0) =, tg(0) = y ctg(0) =. 7. Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 0 a partir del ángulo de 60. Solución: sen (0) =, cos (0) = -, tg (0) = -, ctg (0) = Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 0 a partir del ángulo de 60. Solución: sen (0) = -, cos (0) = -, tg (0) =, ctg (0) =. 9. Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 50 a partir del ángulo de 60. Solución: sen (50) =, cos (50) = -, tg (50) = -, ctg (50) = Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de -60 a partir del ángulo de 60. sen(60) = -, cos(60) =, tg(60) = - y ctg(60) = ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen(x) - cos(x) = 0 Solución: x = 5 80K 75 80K. Resuelve la ecuación cos x + cos(x) =. Solución: x = 5+90 k.. Resuelve la ecuación cos x + sen(x) = -cosx. Solución: x = k.. Resuelve la ecuación -sen x + cos x =. Solución: x = k Resuelve la ecuación cos(5x) - cos x = 0. Solución: x = 60 k, 90 k. 6. Resuelve la ecuación sen x -.cos(x) = -/. Solución: x = 0+60 k, x = k, x = 8 5.

4 7. Resuelve la ecuación cos(x) = - Solución: x = k. 8. Resuelve la ecuación cos x - sen x = Solución: x = 0 80K K 9. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: sen x + cosx = 0 Solución: x = K, x = K. 0. Resuelve la ecuación trigonométrica: cos x = + sen x Solución: x = 80 K.. Resuelve la ecuación sen(x) +sen(x) = 0 Solución: x = 80 K, x = K, x = K.. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) cosx b) sen x = 0 Solución: a) x = K, x = K; b) x = 80 K.. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) tg x = b) tg x = - Solución: x = K ; b) x = K.. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) cos(x π) x x b) cos sen senx Solución: a) x = 50, x = 0; b) x = 5+80 K. 5. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen (x) = senx b) ctg x + = cosx Solución :a) x = 0+0 K; b) x K, x = K x 0 60 K 6. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen(x) = b) cos(x) + sen (x) = senx Solución: a) x 80 K x K, b) x 0 60 K x arc tg 8 7. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

5 a) tg(x) = -tg(x) b) sen(-x) = Solución: x = 0, x = 60, x = 0, x = 80, x = 0, x = 00; b) x =, x =. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen(x) +cos(x) = b) sen(x).cosx = sen x Solución: a) x = + 0 K; b) 80 K, x 0 60 K x K 9. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) tg(x) = - b) cos(x) = -senx -sen x Solución: a) x = K, b) x 0 60K x 0 60K 50. Resuelve el sistema: senx seny senx - seny Solución: x = K, y = 0 +80K 5. Resuelve el sistema: sen x.cos y cos x.sen y Solución: x = 60, y = 0 5. Resuelve el sistema senx seny x - y cos Solución: x = 90, y = 0 5. Resuelve el sistema cos(x y) x y 0 Solución: No tiene. 5. Resuelve el sistema cos(x y) cos x cos y Solución: x = 60, y = SISTEMAS TRIGONOMÉTRICOS 55. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones : 5

6 cosx cosy -/ senx seny / Solución: x = 90, x = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones : senx - cosy cosx cosy Solución: x = 90, x = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: senx - seny / π x y Solución: x = 90, x = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: senx seny / x - y cos Solución: x = 90, x = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x sen y x cos y Solución: x =, x = 7.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 60. Resuelve los triángulos rectángulos tales que un ángulo A y la hipotenusa c son: a) A = 60 y c = 5. b) A = 0 y c =. Solución: a) B = 0, a = 5 5, b = ; b) B = 50, a =,9, b =,0. 6. Resuelve los triángulos rectángulos tales que un ángulo A y un cateto b son: a) A = 60 y b = 5 b) A = 0 y b = 5 Solución: a) B = 0, a = 5, c =0 ; b) B = 50, a =,0, c = 6,5. 6. Resuelve los triángulos rectángulos tales que un cateto b y la hipotenusa c son: a) b = y c = 5. b) b = 5 y c = 5. Solución: a) a =, A = 65, B = 57 8, b) a =, A = 5, B = Resuelve los triángulos rectángulos tales que los catetos a y b son: a) a = y b = 5. b) a = 5 y b = 5. Solución: a) c =, A = 89 6, B = 5 0 ; b) c = 5, A = 5, B = El área de un triángulo rectángulo es 5m. Calcula su perímetro. 6

7 Solución: Se necesitan más datos. A 65. En el triángulo de la figura sabemos que: c = m y tga =. Calcula los otros dos lados y tg B 5 Solución: b = 5, a = 8 5, tg B = 5 b C c a B 66. En la figura adjunta sabemos que AE = m, EC= m, CD = m. Calcula: a) Medidas de los lados del triángulo ABC A b) Área del triángulo ABC c) Medidas de los ángulos del triángulo ABC d) Medidas de los ángulos del triángulo AEC Solución: a) AB = 6m; AC = 5m, AC = m b) 9 m c) A=65, B=568 6, C= 869. d) E = 90, A=57 8, C= 65. E C D B 8.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA 67. Calcula el ángulo  de un triángulo ABC sabiendo que dos de sus lados son a = y b =, y un ángulo es Ĉ = 60. Solución:  = Calcula el lado a de un triángulo ABC sabiendo que uno de sus lados es b = y dos de sus ángulos son  = 60 y Bˆ = 0. Solución: a =. 69. Calcula el lado a de un triángulo ABC sabiendo que dos de sus lados son b = y c = 6 y el ángulo comprendido entre ellos es  = 0. Solución: a =, Resuelve un triángulo ABC sabiendo que dos lados, a y b, y el ángulo comprendido, Ĉ, son: a) a =, b = 0 y Ĉ = 5. b) a = 5, b = 7 y Ĉ = 5. Solución: a) 5,87,  = 56, Bˆ = 888 ; b) C = 9,6,  = 9 5, Bˆ = Resuelve un triángulo ABC sabiendo que dos de sus lados, a y b, y un ángulo opuesto, Â, son: a) a =, b = 0 y Ĉ = 5. b) a = 5, b = 50 y Ĉ = 5. Solución: a) Bˆ = 955 8, Ĉ = 5, c=6,; b) Bˆ =9 8, Ĉ = 0, c= 69, Resuelve el triángulo ABC sabiendo que uno de sus lados, a, y dos ángulos, Bˆ y Ĉ, son: a) a =, Bˆ = 0 y Ĉ = 5. b) a = 5, Bˆ = 5 y Ĉ = 50. Solución: a)  = 5, b=,69, c =,56; b)  = 85, b =,8, c = 6,9. 7. Calcula el área de un hexágono cuyo lado sea. Solución:, m. 7

8 8 50m 7. Dos localidades distan de una tercera y 8 respectivamente, si las carreteras que la unen a estas suponemos que son rectas y forman entre si un ángulo de 0, a qué distancia se encuentran las dos localidades? Solución: 6,6 km. 75. Un globo está unido a la tierra mediante un cable tirante de 00 m de longitud que forma un ángulo con la horizontal de 60. Calcular la altura a la que se encuentra el globo. Solución: h = 86,6 m. 76. Desde lo alto de un poste se tiende una cuerda tirante que forma con la horizontal un ángulo de 60con la horizontal. Si la longitud de la cuerda es de 50 mts. cuál es la altura de la torre. Solución: h = 9,9 m. 77. Sabiendo que el ángulo bajo el que se ve el faro de la figura desde el extremo del barco, es de 0, que la altura del faro es de 60 m., la del promontorio 0 m y la distancia desde el extremo del barco al pie del faro es de 00 metros, halla la distancia desde el barco hasta el extremo superior del faro. Solución: D = 5,65 m Calcula la altura, h, de una torre de pie inaccesible, que está situada sobre el promontorio de la figura, sabiendo que la distancia que se mueve el observador es de 00 metros. Solución: h =,5 m h m 79. Dos observadores de artillería antiaérea que se encuentran separados entre si km divisan un avión. Si uno lo ve bajo un ángulo de 60 y otro bajo un ángulo de 5, a qué altura se encuentra el avión? Solución: h = 5.79 m. 80. Desde dos merenderos situados en la orilla de un rio y distantes entre si 00 metros se observa un bañista que se está ahogando en la otra orilla, bajo ángulos de 60 y 5. Si en el primer merendero hay un nadador que nada a 00 metros/ minuto y en el segundo merendero hay un nadador que nada a 0 metros/ minuto, cuál salvará al bañista si se lanzan a la vez en su auxilio? Solución: El nadador del primer merendero. 8