CONJUNTOS NUMÉRICOS Y APLICACIONES

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 1 11 ENERO DE UNIDADES 1 INDICADORES DE DESEMPEÑO Soluciona con claridad inecuaciones enteras tanto lineales como polinómicas para reconocer su intervalo solución. Propone alternativas de solución a las actividades planteadas. CONJUNTOS NUMÉRICOS Y APLICACIONES NUMERACIÓN: Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. Nuestro sistema numérico es el arábigo o decimal porque emplea 10 símbolos para representar todos los números: Del 0 al 9. A continuación se presentan los conjuntos numéricos, cuyo conocimiento es indispensable para un dominio básico de la Álgebra y el Cálculo. 1. Números Naturales ó enteros positivos: Surgieron por la necesidad que tuvo el hombre de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos. = + 2. Números Enteros Negativos: Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Se denotan por _- y están formados por los números inversos aditivos de los naturales. _- = {, - 4, - 3, - 2, - 1}

2 3. Números Enteros: Surgen como la necesidad que vio el hombre de reunir en un solo conjunto a los enteros positivos (naturales) con los enteros negativos y con el elemento cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales,. (Los naturales son un subconjunto de los enteros). 2 Obsérvese que los números enteros positivos entre más lejos estén del cero más mayores son en tanto que los enteros negativos entre más cercanos estén del cero más mayores son. Entre los números enteros están los números pares, los impares y los primos. - Números pares: Son de la forma 2K, K Z. - Números impares: Son de la forma 2K ± 1, K Z. - Números primos: Son aquellos números naturales que tiene dos únicos divisores: el mismo número y la unidad. El número 1 no es primo. Los números que no son primos se denominan números compuestos. 4. Números Racionales: Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y, como por ejemplo 3/5, - 2/3, 13, etc. En general: Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1). También se consideran números racionales los siguientes decimales: a. Los decimales finitos: Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.23, 2.3, b. Los decimales infinitos periódico puros (d.i.p.p.): Aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: , ,2.3333, - 1,7777. c. Los decimales infinitos periódicos mixtos (d.i.p.m.): Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales que no se repiten y a continuación un número infinito de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: , , , , Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos números enteros. La fracción que los origina se denomina fracción generatriz. Pon mucha atención a la forma como el profesor en clase explicará lo de la fracción generatriz. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros. Por lo tanto se tiene que: 5. Números Irracionales: Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un triángulo rectángulo; así mismo de la necesidad de expresar las raíces inexactas reales. Se denotan por y son todas las raíces inexactas reales y los decimales infinitos no periódicos, como por ejemplo: , π = , = Números reales: Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. Por lo tanto se tiene que: R = U. 7. Números imaginarios: Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por I. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de 1 y se denota por i, así que: i =. 1 Debes tener en cuenta que: i = 1, I 2 = -1, I 3 = - i, i 4 = 1.

3 La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos notados C, así que: C = R U I. Observa bien que: N Z Q R C. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN 1. MI PROFE Y YO JUNTICOS... Indico con una equis (X) a cual o cuales de los siguientes conjuntos numéricos pertenecen o no pertenecen los números de la izquierda de la tabla. Número/Conjunto numérico N Z Q Q I R ¾ ½ / / YO SOLITA EN LA CASA... Encuentro la fracción generatriz para cada uno de los siguientes decimales y simplifico los resultados: a b c. 3.2 d e f g h MI PROFE ME RECUERDA Y APORTA... a. Qué es un conjunto, cómo se nombran y cómo se representan? b. Cómo se pueden determinar o describir los conjuntos? Explica y da ejemplos.

4 c. Define las relaciones de pertenencia, de continencia (subconjunto) y de igualdad entre conjuntos y cómo se simboliza cada una. d. Entre conjuntos se pueden dar las siguientes operaciones: Intersección, unión, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Define cada una de ellas, escribe su notación, su simbología matemática y el diagrama de Venn para cada una de ellas. Analízalas y estúdialas. Define además lo que son conjuntos disjuntos o ajenos. e. Qué es el número cardinal de un conjunto? Da ejemplos. f. Describo los siguientes conjuntos por extensión sabiendo que el conjunto universal es el conjunto de todos los números reales. 1. { x / 3x = 6 } 2. { x / 4x 2 = 16 } 3. { x / x 2 + 4x + 4 = 0 } 4. { x / x 2 x + 1 = 0 } 5. { x / x 2 < 0 } 6. { x / x + 2 = x + 2 } 7. {x / 3.9 2x-1 = 1/81} 4. QUE BUENO!... MI APORTE SOLITA EN LA CASA 1. Dados los siguientes conjuntos determínalos por extensión: A = { x N / 4x = 12 } B = { x Z / 3x 2 = 48 } C = { x R / x 2 + x + 2 = 0 } D = {x R / ( x + 5 ) ( x 2 5 ) = 0 } E = { x R / x 2 0 } F = { x Z / 3x 2 + 2x 8 = 0 }; G = { x R / 5.25 x + 1 = 125 x 3 } 4 ME SIRVE PARA MI PRUEBA SABER 11º... Aplicación de los conjuntos en la solución de problemas. Las operaciones entre conjuntos tienen gran aplicabilidad en problemas cotidianos cuando se realizan encuestas. Para solucionar problemas con conjuntos es importante que te familiarices con el siguiente lenguaje: La expresión A lo sumo significa como máximo La expresión Al menos significa como mínimo La expresión pero no indica diferencia. La expresión y significa intersección. La expresión o significa unión. Además, es importante tener en cuenta que la solución de un problema se facilita si realizas el diagrama de Venn que represente la situación. Presta mucha atención a las indicaciones que te dará tu profesor al respecto y a la solución de los siguientes problemas que serán desarrollados en clase por tu profesor. a. En una encuesta realizada en un colegio a 200 estudiantes, se hallaron los siguientes resultados: 52 estudian cálculo, 90 química, 80 inglés, 61 inglés y química, 9 cálculo solamente, 22 cálculo y química y 14 las tres materias. Realiza el diagrama de Venn y responde: i. Cuántos estudian cálculo y química pero no inglés? ii. Cuántos estudian sólo una materia? iii. Cuántos estudian a los sumo dos materias? iv. Cuántos no estudian ninguna de las tres materias? b. En el polideportivo de Envigado se realizó una encuesta sobre el deporte practicado y se encontraron los siguientes resultados: El 35% practica natación, el 44% tenis, el 9% natación y ciclismo solamente, el 17%

5 tenis y natación, el 31% tenis y ciclismo, el 14% tenis y ciclismo solamente y el 5% no practica ninguno de los tres deportes. Realiza el diagrama de Venn y responde: i. Qué porcentaje de estudiantes practican los tres deportes a la vez? ii. Qué porcentaje practica solamente ciclismo? iii. Qué porcentaje practica al menos dos deportes? iv. Qué porcentaje practican sólo 2 deportes? c. En un grupo de matemáticas de 100 estudiantes se realizaron tres pruebas A, B y C y se obtuvieron los siguientes resultados: 2 estudiantes fracasaron en las tres pruebas, 7 fracasaron en las pruebas A y B, 8 fracasaron en las pruebas B y C, 10 fracasaron en las pruebas A y C, 25 fracasaron en la prueba A, 30 fracasaron en la prueba B y 25 fracasaron en la prueba C. Se pide realizar el diagrama de Venn y responder las siguientes preguntas: i. Cuántos aprobaron las tres pruebas? (43) ii. Cuántos fracasaron exactamente en una prueba? (36) iii. Qué porcentaje fracasó en las prueba A y C pero no en la B? (8%) iv. Cuántos fracasaron en las pruebas B y C pero no en A? (6) v. Qué porcentaje fracasó al menos en dos pruebas? (21%) vi. Cuántos aprobaron las pruebas B o la C pero no la A? 5