3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA MATEMÁTICAS UNIDAD 5 LAS PROGRESIONES

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1 3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA MATEMÁTICAS UNIDAD 5 LAS PROGRESIONES a) Presetació b) Evaluació Iicial c) Coceptos d) Actividades e) Autoevaluació f) Otros recursos: bibliografía y recursos e red g) Refuerzos Educativos h) Ampliacioes / Propuesta de ivestigació Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

2 A/ PRESENTACIÓN Si a es u úmero atural, etoces a + tambié es u úmero atural (llamado el sucesor de a). Esta afirmació ta evidete se cooce como el segudo axioma de Peao. Pero, Es ecesario afirmar de forma rigurosa que detrás de cada úmero hay otro? Como habrás imagiado la respuesta es: sí. Gra parte de la culpa del rigor matemático la tiee las sucesioes. Éstas se utiliza para demostrar grades teoremas y, e muchas ocasioes simplifica cálculos que parecía imposibles e u pricipio. El hecho de que cada úmero tega u sucesor ( es el sucesor de, 3 el de, etc.) os idica que desde los pricipios de la aritmética, las sucesioes y progresioes ha estado presetes e todos uestros cálculos. Ha habido grades matemáticos de todos los tiempos, que ha trabajado e el campo de las sucesioes. Uo de los ejemplos más claros y visuales, es el problema de la població de bacterias, resuelto co el uso de sucesioes geométricas por L. Euler, uo de los más grades matemáticos de todos los tiempos. El problema es muy secillo, aparetemete, e su euciado: Teemos ua població de bacterias que se reproduce coforme a ua ley. E la primera geeració hay bacterias, e la seguda hay 4, e la tercera hay 8, e la cuarta 6, y así sucesivamete. La preguta es si podemos ecotrar ua fórmula que os idique el úmero de bacterias que hay e la geeració -ésima. Geeració 3 4 Nº Bacterias Como podemos observar e el cuadro, existe ua relació etre el úmero de bacterias de la geeració aterior y de la siguiete. Bacterias e ua geeració = (Bacterias e la geeració aterior). Si llamamos a la geeració, =,, 3, 4, 5, y B = Nº de bacterias e la geeració, etoces B = B -. Pero esto plateaba u problema a Euler. Qué pasaría si ecesitase el úmero de bacterias e la geeració 48? Pues escribiedo la fórmula: B 48 = B 47. Necesito saber las que hay e la 47 B 47 = B 46. Necesito saber las que hay e la 46 B 46 = B 45. Necesito saber las que hay e la 45 B 45 = B 44. Necesito saber las que hay e la 44, etc. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

3 Este cálculo se puede complicar mucho, ya que hasta que lleguemos a la primera geeració Etoces lo que hacemos es itetar relacioar la (geeració) co la B (Nº de bacterias) Resulta que: Geeració = Bacterias = Geeració = Bacterias = Geeració = 3 Bacterias = 3 Geeració = 4 Bacterias = 4 Así que e la geeració tedremos bacterias. Fialmete por tato: B =. Este problema, posteriormete, dio lugar a toda ua teoría de propiedades de crecimieto y decrecimieto de poblacioes. Para llevar a cabo esta teoría fue ecesario costruir y redactar todas las propiedades de las sucesioes y, e particular las de dos tipos: Aritméticas y Geométricas. Esto es lo que vamos a estudiar e esta uidad. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 3

4 B/ EVALUACIÓN INICIAL. Saca factores de los siguietes radicales. 7 5 a ) b) 96 6 c ) (5 80) d) Averigua el valor umérico de la siguiete expresió 5 para: a) = b) = 3 c) = 0 3. Simplifica las expresioes siguietes, dejado ua sola fracció y si calcular las potecias. a ) 7 6 b ) Calcula el valor de e las siguietes expresioes: a) c) 5 4 ( 4 ( ) ) 6 9 ( ) 4 b) d) 4 ( 6 ) Dada la siguiete lista de úmeros: 7, 3,, 5, 9, Serías capaz de completar la serie hasta obteer 5 térmios? 6. Se quiere costruir triágulos equiláteros co bolígrafos iguales. Completa la siguiete tabla y halla la expresió que da el úmero míimo de bolígrafos ecesarios para hacer los triágulos Nº de triágulos t Nº de bolígrafos Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

5 7. U pastor cierra ua fica rectagular dco 00 m. de tela metálica. Halla la expresió que permite obteer la superficie del terreo coociedo la base x del rectágulo. 8. E ua ciudad, la bajada de badera de u taxi cuesta, y luego se paga 50 cétimos por cada Km. recorrido. Si hemos recorrido x Km. escribe ua expresió que os de el coste de la carrera e fució de x. Si se ha pagado 6, cuátos Km. se ha recorrido? Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 5

6 C/ CONCEPTOS.- Sucesioes de úmeros reales. Defiició de sucesió. Ejemplos..- Sucesioes Aritméticas... Defiició. Térmio geeral.. Iterpolació de K medios aritméticos..3. Suma de N térmios de ua sucesió aritmética..4. Problemas de aplicació. 3.- Sucesioes Geométricas. 3.. Defiició. Térmio geeral. 3.. Iterpolació de K medios geométricos Producto de N térmios de ua sucesió geométrica Suma de N térmios de ua sucesió geométrica. Suma ifiita. 6 Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

7 D/ ACTIVIDADES Sistema de trabajo: idividual. Recursos: libro de texto y cosultores de aula.. Sucesioes de úmeros reales.. Cuál es el siguiete? Y el siguiete? Y? -, 3, 5, 7 -, 4, 9, , 8, 64, 3. Los tres ejemplos ateriores so sucesioes de úmeros reales.. Idica los tres úmeros que sigue a los dados: a) 6, 3, 0, 3, b) 00, 40, 8, 8/5, 3 5 c),,,, Lo que verdaderamete motiva el estudio de las sucesioes es la siguiete preguta: Hay algua relació etre los úmeros que aparece y la posició e la que aparece?. Fíjate e, 3, 5, 7, 9,, Obviamete hay ua relació muy clara que es que cada NÚMERO NUEVO = NÙMERO ANTERIOR +. E el caso de, 4, 9, 6, ua relació parecida a la aterior es imposible, pero si que se observa que NÚMERO NUEVO = POSICIÓN. Ecuetra relacioes parecidas para las sucesioes del ejercicio. Defiició de sucesió. Ejemplos.. Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ORDENADO de úmeros. 3. Lee la págia 5 del libro y cotesta: Qué diferecia hay etre posició y térmio?.e la sucesió: 3,, 45, 6, 87, 98,,, 43, 3. Qué lugar ocupa el térmio que vale 87? Cuáto vale el séptimo térmio? Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 7

8 SABÍAS QUE E geeral, a las posicioes de ua sucesió se las deota por la letra y so siempre las mismas,, 3, 4, 5 y a los térmios que hay e cada ua de esas posicioes se los deota por a 4. Lee la defiició.4 de la págia 53 del libro y realiza los ejercicios de ésa págia. SABÍAS QUE Hay dos formas fudametales de expresar el térmio geeral:. E fució de la posició. Bastará co sustituir, por la posició que sea para calcular los térmios. Como ua ley de recurrecia: a = Algo que depede de a - etoces voy a ecesitar el primero para hallar el segudo, y el segudo para el tercero, etc 5. Calcula los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: (a) (c) 3 a (b) b ( 3 7 c c 3 (d) d 5 c 0 ). Ahora vamos a itetar algo u poco más difícil. Dados los primeros térmios de ua sucesió, Podemos hallar el térmio geeral?. Sea la sucesió, 4, 6, 8, 0, ª etapa: Observamos cómo varía los térmios. Parece que cada térmio es el aterior más dos. ª etapa: Soy capaz de decir cuál es el siguiete? Sí, es. 3ª etapa: Fabrico el siguiete cuadro Posició Térmio Relació de y ; = Relació de y 4 ; 4 = Relació de 3 y 6 ; 6 = 3 Relació de 4 y 8 ; 8 = 4, etc De modo que el térmio geeral es: a = 6. Halla el térmio geeral de: a), 3, 5, 7,9 e),, 4, 8, 6, 8 Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

9 b) 3 4,,,, f), 5, 0, 7, 6, c), 4, 9, 6, 5, g) 3 4 0,,,,, d) 0, 3, 8, 5, 4, h) 3 4 5,,,, Sucesioes aritméticas. 7. Lee atetamete el puto. de tu libro de texto e la págia 54 e idica si las siguietes progresioes so aritméticas ó o lo so. E caso afirmativo idica la diferecia. 3 5 a),,,,3,... b) 5, 3,,, c) 6, 8, 4,,, d) 5,5,5,5 3,5 4,... SABÍAS QUE Ua progresió es aritmética si cada térmio se obtiee a partir del aterior sumado ua catidad fija llamada diferecia (d). Es decir a = a - + d.. Defiició. Térmio geeral..toda progresió aritmética queda perfectamete determiada por el primer térmio a y por su diferecia, d. Vamos a realizar u proceso que costruirá la fórmula del térmio geeral de ua P.A..Sea a y d el primer térmio y la diferecia de ua P.A. cualquiera. Sabemos que: a = a + d E total hay ecuacioes. Sumado miembro a miembro: a 3 = a + d a 4 = a 3 + d a + a 3 + a 4 + a a = a + a + a 3 + a a - + d+ + d. a 5 = a 4 + d.. E total, e la parte derecha hay ( ) d. Así: a = a - + d a + a 3 + a 4 + a a = a + a + a 3 + a a - + ( )d. Como ves se cacela todos y queda a = a + ( )d. IMPORTANTE: Toda progresió aritmética respode a la fórmula que hemos deducido para su térmio geeral. a = a + ( )d. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 9

10 8. E la fórmula aterior, obté expresioes para calcular a, d, y 9. Realiza los ejercicios del 5 al 8 de la págia 55 del libro. 0. E ua progresió aritmética se cooce: a) a 3 = 8 y a 7 = 448. Calcula a y d b) a = y a = 6. Calcula d.. Iterpolació de K medios aritméticos.. Iterpolar, sigifica itercalar. Veamos u ejemplo secillo: Iterpolar 5 medios aritméticos etre 4 y 4. 4,,,,,, 4. Teemos que hallar 5 térmios etere 4 y 4 de tal forma que resulte ua progresió aritmética. a 4,,,,,, 4 a Cotamos los térmios que hay, icluidos los extremos. De este modo teemos que: a = a + ( )d. a 7 = 4; a = 4; = 7, puedo calcular d 4 = 4 + (7 )d 8 = 6d d = 3 4,,, 5, 8,, 4. a) Iterpola 3 medios aritméticos etre 7 y 3. b) Iterpola 4 medios aritméticos etre 5 y 5. c) Iterpola 6 medios aritméticos etre 3 y 73. d) Iterpola 4 medios aritméticos etre 4 y 6.. E ua progresió aritmética se cooce el cuarto térmio que vale 5 y el udécimo térmio que vale 7. Halla los térmios que hay etre medias..3. Suma de N térmios de ua sucesió aritmética.. Hace muchos años, u iño llamado Karl Friedich Gauss resolvió a la edad de 0 años el siguiete problema: Calcular la suma de los 00 primeros úmeros =? Nos puede llevar u rato hacer las 00 sumas, pesó Gauss, y se dio cueta de lo siguiete: 0 Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

11 = = = = 0 De modo que teemos 0 la mitad de las veces (es decir 50) así se resuelve que: = 0 50 = Sea la progresió aritmética, 4, 7, 0,, 98. Podrías calcular la suma de la misma forma que lo hizo Gauss? SABÍAS QUE E toda progresió aritmética se cumple la ley de térmios equidistates: a a a + a = a +j + a -j y para el térmio cetral: a (cuado es impar) 4. Lee la págia 55 de tu libro y la demostració de la págia 60. Realiza los ejercicios 9 y 0 de la págia Calcula la suma de los 0 primeros térmios de la progresió aritmética 3, 0, 3, 6, 6. Calcula el primer térmio de ua progresió aritmética sabiedo que la suma de los 50 primeros es 85 y que el último vale Cuátos térmios de la progresió 3,, -, - 3, hay que sumar para que la suma sea - 40? SABÍAS QUE La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética se calcula: S ( a a ) 8. Halla cuatro úmeros e P.A. sabiedo que su suma es y que la suma de sus cuadrados es 66. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

12 9. A modo de repaso realiza los ejercicios del 5 al 35 la págia Problemas de aplicació. Las progresioes os puede servir, como vimos e la presetació, como herramieta para resolver problemas..ejemplo: La factura de teléfoo de cierto operador se realiza cobrado cétimos de establecimieto de llamada y luego 6 cétimos por miuto. Si ua persoa ha pagado por ua llamada.3 euros, Cuátos miutos estuvo hablado? º Agrupemos los datos: Diero pagado = + 6 (Nº de miutos) º Le damos ombre: a = + 6, dode es el úmero de miutos. 3º 3 = = 6 = 0 miutos. 0. Realiza los problemas de la págia 63 de tu libro. 3. Sucesioes geométricas.. Hemos visto que cuado vamos sumado la misma catidad, obteemos ua progresió aritmética, que está bie defiida y de la que teemos fórmulas para calcular todos los elemetos que e ella iterviee.. Vamos a dar u salto e la jerarquía de operacioes. Qué pasa si multiplicamos e lugar de sumar? Por ejemplo:, 4, 8, 6, 3, 64,,, 3, 4, 5, 6, a = a - Si observamos los expoetes:,, 3, 4, 5, 6, So las posicioes! SABÍAS QUE Ua progresió es geométrica si cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicado por ua catidad fija llamada razó (r). Es decir a = r a -. Idica si las siguietes progresioes so geométricas. E caso afirmativo, idica cual es la razó a),,,,... b),,,,... c) 7, 45, 75, 5, Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

13 3.. Defiició. Térmio geeral..toda progresió geométrica queda perfectamete determiada por el primer térmio a y por la razó, r. Vamos a realizar u proceso que costruirá la fórmula del térmio geeral de ua P.G..Sea a y r el primer térmio y la razó de ua P.G. cualquiera. Sabemos que: a = r a E total hay ecuacioes. Multiplicado ambos miembros: a 3 = r a a 4 = r a 3 a a 3 a 4 a 5 a = a a a 3 a 4 a - r r. a 5 = r a 4.. E total, e la parte derecha hay r -. Así: a = r a - a a 3 a 4 a 5 a = a a a 3 a 4 a - r -. Como ves se cacela todos y queda a = a r -. IMPORTANTE: Toda progresió geométrica respode a la fórmula que hemos deducido para su térmio geeral. a = a r -.. E la fórmula aterior, obté expresioes para calcular a y r. 3. Realiza los ejercicios del al 4 de la págia 57 del libro. 4. E ua progresió geométrica se cooce: a) a 7 = y r = /. Calcula a. b) a 5 = 7/3 y r =. Calcula a y a E ua P.G. de térmio geeral a a calcula a y r 3 6. Cierto térmio de ua P.G. vale 867, el primero es 7 y la razó es, Qué posició ocupa dicho térmio? 3.. Iterpolació de K medios geométricos.. Veamos u ejercicio aálogo al de iterpolació aritmética: Iterpolar 4 medios geométricos etre 3 y 96 3,,,,, 96. Teemos que hallar 4 térmios etere 3 y 96 de tal forma que resulte ua progresió geométrica. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 3

14 a 3,,,,, 96 a Cotamos los térmios que hay, icluidos los extremos. De este modo teemos que: a = a r -. a 6 = 96; a = 3; = 6, puedo calcular r 96 = 3 r 5 3 = r 5 r = 3, 6,, 4, 48, a) Iterpola medio geométrico etre 4 y 6. b) Iterpola 5 medios geométricos etre 7 y 503. c) Iterpola 5 medios geométricos etre 8 y /8. 8. E ua progresió geométrica se cooce el cuarto térmio que vale 56 y el oveo térmio que vale 79. Halla los térmios que hay etre medias Producto de N térmios de ua sucesió geométrica.. Reflexioa u mometo sobre las aalogías que hay etre progresioes aritméticas y geométricas: a = a r -. a = a + ( )d. producto - potecia suma producto.parece que e las progresioes geométricas, se sube u escaló e la jerarquía de operacioes: Aritmética Suma Resta Producto Divisió Geométrica Producto Divisió Potecia Raíz Calcular el producto de la progresió: Nos puede llevar u rato hacer las 7 multiplicacioes, pero si probamos lo que hizo Gauss para la suma: =8 4 3 = 8 64 = 8 8 = 8 4 Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

15 De modo que teemos 8 multiplicádose 4 veces (es decir la mitad de los 8 que teíamos) así se resuelve que: = 8 8/ = 8 4 = ( 7 ) 4 = 8 9. Sea la progresió aritmética 3, 6,, 4,, 384. Podrías calcular la suma de la misma forma que lo hemos hecho? SABÍAS QUE E toda progresió geométrica se cumple la ley de térmios equidistates: a a = a +j a -j y para el térmio cetral: a a a (cuado es impar) 30. Deduce la fórmula del producto de térmios de ua P.G. teiedo e cueta la fórmula de la suma de ua P.A. y el cuadro de equivalecias de operacioes que hay e la págia aterior 3. Calcula el producto de los 5 primeros térmios de ua progresió geométrica e la que a = 7 y a 5 = Calcula el producto de los 7 primeros térmios de la progresió geométrica,,, Calcula el producto de los primeros térmios de la progresió geométrica cuyo térmio cetral vale. SABÍAS QUE El producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica se calcula: ( a a) ( a P a ) 3.4. Suma de N térmios de ua sucesió geométrica. Suma ifiita. 34. Lee atetamete las págias 56 y 57, así como las demostracioes de la págia 60. Realiza los ejercicios 5, 6, 7 y 8 de la pág. 57. SABÍAS QUE La suma de térmios de ua Progresió geométrica se halla: r a a S y si además < r < se puede hallar toda la suma r S a r Hallar la suma de los 0 primeros térmios de,,,,... Se 8 4 podría calcular la suma ifiita? Calcúlala e caso afirmativo. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 5

16 36. A modo de repaso realiza los ejercicios del 36 al 45 e las págias 6 y Realiza los problemas 80 y 8 de la págia Lee atetamete las págias 58 y 59 y realiza los ejercicios que e ésta se propoe. 6 Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

17 E/ AUTOEVALUACIÓN Alumo/a...Grupo.... Idica si so verdaderos (V) o falsos (F) los siguietes euciados: ( ) Toda progresió es o bie aritmética o bie geométrica. ( ) Toda progresió aritmética tiee térmios positivos. ( ) Toda progresió geométrica tiee térmios positivos. ( ) E todas las progresioes geométricas puedo calcular la suma ifiita. ( ) La sucesió de térmio geeral a = es aritmética.. Desarrolla los cico primeros térmios de las sucesioes cuyos térmios geerales so: 4 c c 3 a b c 3. Escribe el -ésimo térmio ó térmio geeral de las siguietes sucesioes: a ),,,,... b),,,,... c),,,,... d) ,,, , Qué lugar ocupa e la sucesió a = 3, el térmio cuyo valor es 408? a) Halla el primer múltiplo de 47 que sea mayor que b) Halla el múltiplo de 39 imediatamete iferior a E ua progresió aritmética se cooce: a. a = 3, d = 4. Hallar a y a 3. b. a = 4, d =. Hallar a. c. a 40 = 59, a 7 = 33. Hallar a y d. d. a 5 = 5, d = -3. Hallar a 40. e. a 55 = 3, d = 7. Hallar a a) Iterpolar 4 medios aritméticos etre -3/7 y. b) Iterpolar 4 medios aritméticos etre y 3. c) Iterpolar 6 medios aritméticos etre 6 y 37. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 7

18 7. Hallar la suma de los: a) 5 primeros térmios de 3, 8, 3, 8, b) primeros térmios de 4, 39, 36, 33, c) 40 primeros térmios de 5 3 5,,,, Hallar la suma de ua progresió aritmética de térmios sabiedo que a 3 = 4, a 0 = Cuátos térmios de la progresió aritmética 6, 4,, 0, para que la suma sea -368? Cuátos térmios de la progresió aritmética 4,, -, -5, se debe tomar para que la suma sea -95?. Idica cuales de las siguietes progresioes so geométricas y cuales o lo so. E caso afirmativo escribir el térmio geeral a ),6,3,,... b),,9,... c) ,,, 9 3,.... Halla el octavo térmio de la progresió geométrica 5, 5, 45, Halla el decimosegudo térmio de la progresió geométrica,,, Sabiedo que a = 3 y r =, halla a 0 e ua progresió geométrica. 5. E ua progresió geométrica de razó /, halla a 6 y a 8 coocido a = De ua progresió geométrica se cooce: a. a 7 = 43, r = 3. Hallar a b. a 5 = 5, a 0 = 6. Hallar a y r c. a = 7, r = /. Hallar a 8 d. a = 6, a 5 = 54. Hallar a 6 7. Iterpolar tres medios geométricos etre 08 y /. 8 Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

19 8. Halla la suma de los diez primeros térmios de la progresió geométrica 4,,,.... Cuáto vale la suma de todos? Obté la suma de ua progresió geométrica ilimitada de razó /3 cuyo primer térmio vale Calcula el valor de la siguiete fracció supoiedo que el umerador y el deomiador tiee ifiitos térmios: Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 9

20 F/ OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED - Cosultores de aula. - Explicació y ejercicios de aplicació - Aplicació WIRIS. - Ejercicios Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

21 G/ REFUERZOS EDUCATIVOS Alumo/a...Grupo... Sistema de trabajo: idividual, moitorías de carácter idividual o grupal. Recursos: todos los utilizados e la uidad.. Repasa y estudia todos los recuadros que has ecotrado e esta uidad.. Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: a) { 0, 7, 4,, -, } b) {, 6, 8, 54, } c) {4 ; 4, ; 4,4 ; 4,6 ; } d),,,, e) 8, 4,,,,... f),,,,, g),,,, 3, Iterpola 4 medios geométricos etre y. Halla la suma y el producto de la 8 sucesió resultate. Si es posible, halla la suma total. 4. El tercer térmio de ua progresió geométrica es 8 y el séptimo 448, halla el producto de los 0 primeros térmios. 5. Dada la sucesió {8, 5,, -, -4 }. Se pide: a) Halla el térmio geeral idicado si se trata de ua progresió aritmética o geométrica. b) Idica qué posició ocupa el térmio que vale -79 c) Calcula la suma de los 30 primeros térmios. 6. E ua progresió aritmética se cooce a 4 = 4/9 y a 9 = 3/8. Calcular la diferecia y la suma de los primeros térmios. 7. El tercer térmio de ua progresió aritmética es 8 y el séptimo 448, halla el térmio geeral, el que ocupa la posició 5 y la suma de los 0 primeros térmios. 8. Halla el térmio geeral de la progresió geométrica cuyo cuarto térmio es 56 y el oveo 79. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

22 9. El térmio a de ua progresió geométrica es 8 y el a es igual a 3, halla la razó y el térmio que ocupa la posició E ua progresió geométrica a y a a) Halla los térmios itermedios. b) Calcula el producto de los 9 primeros térmios. c) Halla la suma de toda la progresió.. E ua progresió aritmética se cooce a 4 = 4/9 y a 9 = 3/8. Calcular la diferecia y la suma de los primeros térmios.. Se cueta que hace muchos años u tratate de gaado propuso a u señor el siguiete egocio: Yo le vedo este caballo co la codició de que usted me pague u cétimo por el primer clavo de la herradura del caballo, dos por el segudo, cuatro por el tercero y así hasta llegar al clavo 3 que es el último. Averigua el precio del caballo. 3. Se ha hecho u pozo de 40 metros de profudidad. Por el primer metro se ha pagado 7,5 y por cada uo de los siguietes,3 más que por el aterior. Cuál es el coste total del pozo? 4. Iterpola 5 medios aritméticos etre y. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5

23 H/ AMPLIACIONES Alumo/a...Grupo... Sistema de trabajo: idividual. Recursos: Todos los utilizados e la uidad. La suma de los 8 primeros térmios de ua progresió geométrica es 7 veces la suma de los cuatro primeros. Halla la razó.. La suma de los 0 primeros térmios de ua progresió geométrica es 44 veces la suma de los cico primeros. La suma del cuarto y el sexto térmio es 35. Halla la razó y el primer térmio. 3. El producto de los 6 primeros térmios de ua progresió geométrica es a y a = s. Halla a 6 y la razó. 4. Halla la fracció geeratriz de a ) 0.73 b) Lee el apartado de aplica tus competecias de la págia 65 y realiza los ejercicios que viee e dicha págia. 6. Realiza los problemas del apartado para profudizar de la págia Realiza los ejercicios de la págia 69, leyedo previamete el Así Fucioa. Sistema Educativo SEK Aula Iteligete Matemáticas 3º ESO Uidad 5 3