Unidad 4 Ecuaciones de segundo grado. 1 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE

Transcripción

1 Uidad Ecuacioes de segudo grado. Escribe co ua icógita los siguietes datos: EJERCICIOS PARA ENTRENARSE a U úmero su cuadrado. b U úmero su raíz cuadrada. c Los cuadrados de dos úmeros cosecutivos. d Los cuadrados de dos úmeros cua suma es l. a Número, su cuadrado. b Número, su raíz cuadrada. c Cuadrado de u úmero, cuadrado de su cosecutivo :. d Primer úmero, su cuadrado. Segudo úmero, su cuadrado. Escribe co ua icógita los siguietes datos: a Los cuadrados de dos úmeros cua diferecia es. b Los cuadrados de dos úmeros cuo cociete es. c Los cuadrados de dos úmeros proporcioales a. d Los cuadrados de tres úmeros proporcioales a, Y S. a Primer úmero, su cuadrado. Segudo úmero, su cuadrado. b. c. d,. Traduce a ecuacioes co ua icógita los siguietes euciados: a El producto de dos, úmeros pares cosecutivos es. b U úmero su cuadrado suma. c U úmero su raíz cuadrada suma. a U úmero para que sea par, su cosecutivo es, luego: b. c.. Matemáticas º - Opció B S m

2 Uidad Ecuacioes de segudo grado. Matemáticas º - Opció B S m Resuelve las siguietes ecuacioes: a - - b - c d a b c d Resuelve las siguietes ecuacioes: a b c d Resuelve las siguietes ecuacioes: a - b -

3 Uidad Ecuacioes de segudo grado. c - d - - a Ecuació de º grado icompleta falta el térmio idepediete que resolvemos etraedo factores comues e igualado cada factor a cero : b Tambié es icompleta pero falta el térmio de grado uo, para resolverla : c d Resuelve las siguietes ecuacioes: a 7 Se puede tambié teer e cueta que la ecuació está e forma caóica s p buscar dos úmeros que sumados de 7 multiplicados :, -, a que s 7 p - -. b Podríamos haber resuelto la ecuació que se obtiee al dividir por :, que es equivalete. Luego s - p, que lo cumple las solucioes halladas. divi dim 7 c 7 os por d 7 7 R Matemáticas º - Opció B S m

4 Uidad Ecuacioes de segudo grado. Resuelve las siguietes ecuacioes: a b 7 7 c d e 7 7 Halla los vértices de las siguietes parábolas: Para hallar el vértice dispoemos de dos procedimietos : Hallar los putos de corte co el eje horizotal resolviedo la ecuació de º grado la vértice, media aritmética de ambas solucioes, v f v. Este procedimieto es meos geeral a que o es aplicable a parábolas que o corte al eje de abscisas. El procedimieto más geeral para hallar las coordeadas del vértice v, v es aplicar la fórmula estudia comprede la demostració : Matemáticas º - Opció B S m

5 Uidad Ecuacioes de segudo grado. Matemáticas º - Opció B S m f a b c b a f a P, P a b b P, P a b. cp, P a b d P, 7 7 P a b e P, P a b PROBLEMAS PARA APLICAR E u mote ha u cojuto de puestos de observació para preveir los icedios. Cada uo de ellos está uido a los restates por u sedero. El úmero de sederos es. Podrías deciros cuátos puestos de observació ha? Se trata de hallar el úmero de lados de u polígoo coocido el úmero de sus diagoales d : 7 d, como el úmero de lado o puede ser egativo el úmero de lados, por tato de vértices puestos de observació es de 7. U polígoo regular tiee 7 diagoales tiee que ser 7 diagoales. Halla el úmero de lados de dicho polígoo. Como el ejercicio aterior se reduce a resolver ua ecuació de º grado: 7 7 d

6 Uidad Ecuacioes de segudo grado. Detro de años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que teía hace años. Calcula la edad de Pedro. Edad actual de Pedro. Edad de Pedro detro de años. Edad de Pedro hace años. Primero lo epresamos co palabras después las sustituimos por símbolos. Edad de Pedro detro de mitad del cuadrado de la que teía hace años. Edad de Pedro detro de cuadrado de la que teía hace años/ No puede teer 7 años pues hace o habría acido, luego la edad actual de Pedro so años, comprobémoslo : Detro de años tedrá años. Hace teía años. El cuadrado de es el doble de. Ua habitació rectagular tiee ua superficie de m su perímetro tiee ua logitud de m. Halla las dimesioes de la habitació. Area m largo acho Perímetro m, o sea, simplificado,. Es u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas de º grado, que despejado de la seguda la sustituedo e la primera se tiee ua ecuació de º grado : 7 Estas so las dimesioes pues cuado 7, 7 viceversa. Matemáticas º - Opció B S m

7 Uidad Ecuacioes de segudo grado. 7 Para vallar ua fica rectagular de 7 m se ha utilizado m de cerca. Calcula las dimesioes de la fica. Ejercicio similar al aterior : , que so las dimesioes de la fica. 7 Los tres lados de u triágulo rectágulo so proporcioales a los úmeros,. Halla la logitud de cada lado sabiedo que el área del triágulo es m. Dispoemos de z además de la ecuació que o ecesitamos que obteemos al aplicar el teorema de Pitágoras z amos a utilizar la primera igualdad el área : z z. Si - o tiee setido, Matemáticas º - Opció B S m Los lados mide m, m z m, que cumple las codicioes del euciado el teorema de Pitágoras. U jardí rectagular de m de largo por m de acho está rodeado por u camio de achura uiforme. Halla la achura de dicho camio si se sabe que su área es m. El área del camio que rodea al jardí ha de ser m, lo obteemos por diferecia etre el área del rectágulo grade la del jardí : Área del camio área total área del jardí., ecuació de º grado que resolvemos : logitud egativa o tiee setido físico, el camio tiee ua achura de m., como ua

8 Uidad Ecuacioes de segudo grado. Comprobació El área total es m. El área del jardí es 7 m. El área del camio es la diferecia m 7 m m Los lados de u triágulo rectágulo tiee por medida e cetímetros tres úmeros pares cosecutivos. Halla los valores de dichos lados. Aplicamos el teorema de Pitágoras : a b c, ecuació de º grado que resolvemos : Los lados mide:,. Calcula las dimesioes de u rectágulo cua diagoal mide 7 m, sabiedo que es semejate a otro rectágulo cuos lados mide m m, respectivamete. Teiedo e cueta que el tema trata de las ecuacioes de º grado este problema está pesado para resolver u sistema de dos ecuacioes de º grado : 7 la primera como aplicació del teorema de Pitágoras al primer triágulo rectágulo la seguda teiedo e cueta que al ser los rectágulos semejates, tedrá lados proporcioales, pero o es ecesario si hallamos el valor de z, mediate el teorema de Pitágoras luego aplicamos la proporcioalidad de lados semejates : z 7 z 7 Las dimesioes so m e m Matemáticas º - Opció B S m

9 Uidad Ecuacioes de segudo grado. La hipoteusa de u triágulo rectágulo mide cm la suma de los catetos cm. Halla el valor de los catetos. Aplicamos el teorema de Pitágoras:,,, que so las logitudes de los catetos, a que si su uo mide cm, el otro es cm viceversa, si cm, el otro es cm. La diagoal de u rectágulo mide cm el perímetro cm. Halla los lados del rectágulo. Utilizado la fórmula del perímetro el teorema de Pitágoras a la mitad del cuadrado, teemos u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas de º grado : 7 7 Queda ua ecuació de º grado :. 7 que resolvemos: 7, que os da las logitudes de los lados del rectágulo, a que si cm, cm, si cm, cm. Calcula las dimesioes de u rectágulo sabiedo que su área es,cm su perímetro cm. De uevo dispoemos de u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas de º grado, al aplicar las fórmulas del área el perímetro: Perímetro Área sustituedo la primera e la seguda :,, que resolvemos : Matemáticas º - Opció B S m

10 Uidad Ecuacioes de segudo grado. 7, que os da las logitudes de los lados del rectágulo, a que si 7 cm, 7 cm, si cm, 7 cm. Ua pieza rectagular de cic es cm más larga que acha, Co ella se costrue ua caja de cm cortado u cuadrado de cm de lado e cada esquia doblado los bordes, Halla las dimesioes de la caja. El volume del paralelepípedo que se forma es: área de la base altura largo acho alto. Los lados so ver dibujo de más abajo: resolvemos : Largo. Acho. Alto. Luego la ecuació queda :, que, que resolvemos : 7 Las dimesioes de la caja so: Largo cm Acho cm Alto cm. Ya que la solució egativa o es válida. E cada ua de las esquias de ua placha de cartó de forma cuadrada se recorta u cuadrado de cm de lado etoces, doblado pegado, se forma ua caja de I cm, Halla el lado de la hoja iicial. Es similar al aterior, sólo cambia los datos: olume a b c cm Luego cm. Matemáticas º - Opció B S m

11 Uidad Ecuacioes de segudo grado. 7 U depósito de agua tiee forma de ortoedro cua altura es m su capacidad m, Halla el lado de la base sabiedo que es cuadrada. m. El lado de la base mide cm. Dos caños A B llea jutos ula piscia e dos horas A lo hace por sí solo e tres horas meos que B, Cuátas horas tarda cada uo separadamete? El A sólo tarda e llear la piscia horas, luego su caudal es / litros/hora. El B sólo tarda e llear la piscia horas, su caudal es / l/h. Etre los dos jutos tarda dos horas, luego: grifo A tarda h el B h e llear la piscia por separado. Matemáticas º - Opció B S m, luego el U caño tarda horas más que otro e llear u depósito abriedo los dos jutos se llea e I hora miutos, Cuáto tiempo tardará e llearlo cada uo por separado? h mi / h., luego u caño tarda h el otro h e llear el depósito. Pregutada ua persoa por su edad, cotestó: «Sumad al producto del úmero de años que teía hace años por el de los que tedré detro de años os resultará u úmero igual al cuadrado de la edad que tego ho», Halla la edad de la persoa e el mometo actual. Edad actual Edad detro de años. Edad hace años. Edad detro de Edad hace cuadrado de la edad actual., que o es ua ecuació sio ua idetidad, luego la edad puede ser cualquier valor años, la edad o puede ser egativa.

12 Uidad Ecuacioes de segudo grado. El úmero, que idica los días del año, es u úmero mu curioso, Es el úico úmero que es suma de los cuadrados de tres úmeros aturales cosecutivos que además es suma de los cuadrados de los dos siguietes, Sabrías hallarlos? Primer úmero Siguiete. Tercero. ecuació que resolvemos:, los úmeros so, pues,:,,, además la suma de los cuadrados de los dos siguietes tambié es :. De u puto sale dos persoas, ua e direcció orte la otra e direcció este, La primera marcha a km/h la seguda a km/h, Qué tiempo tardará e estar ua de otra a km de distacia? Aplicamos el teorema de Pitágoras al triágulo rectágulo formado por las distacia recorridas por las dos persoas e t horas la distacia de separació hipoteusa : t t t t t t / / t ½ hora mi. CUESTIONES PARA ACLARARSE Cómo tiee que ser el coeficiete de poliomio P a b c para que la parábola que determia tega e el vértice u míimo? para que tega u máimo? Para que tega u míimo ha de ser a > para que tega u máimo a <. U alumo ha calculado las raíces de ua ecuació, so:,, Cuál es la abscisa al vértice de la parábola correspodiete a esa ecuació? Es el valor medio. Matemáticas º - Opció B S m

13 Uidad Ecuacioes de segudo grado. U alumo dice que toda ecuació geeral de segudo grado cuo térmio idepediete es egativo tiee siempre dos raíces reales, Es cierto? No para que tega raíces reales, el discrimiate b ac, es decir b ac, si c < pero a <, puede que ac b, por ejemplo, o tiee raíces reales porque -- -, cua raíz es u úmero imagiario. Si dos úmeros so iguales, sus cuadrados tambié lo so pero si los cuadrados de dos úmeros so iguales, puede asegurarse que los úmeros lo sea? No, el problema radica e que el cuadrado de todo úmero es siempre positivo luego : -a a a, pero a a. Sí podemos asegurar que tedrá el mismo valor absoluto. 7 Se puede aplicar la fórmula geeral de la ecuació de segudo grado a la ecuació - -? Si pero o tiee solucioes reales porque su discrimiate es egativo b ac Te da el poliomio P, Se puede afirmar que su valor umérico es siempre positivo? Sí, pues como o tiee putos de cortes co el eje horizotal, ha de estar por ecima o por debajo, e este caso está siempre por ecima del eje horizotal es siempre positivo. Te da el poliomio P a b c, Qué codició debe cumplirse para que se aule e? Si P, a b c, es decir ha de ser c, o ha de teer térmio idepediete. Matemáticas º - Opció B S m