Alfredo González. Beatriz Rodríguez Pautt. Carlos Alfaro

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Alfonso Olivera Ríos
hace 7 años
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1 Alfredo González Beatriz Rodríguez Pautt Carlos Alfaro FERNANDO DAVID ANILLO 1

2 1. Números reales Transformación de un decimal a fracción Propiedades de los números reales Propiedades de las fracciones La recta real Intervalos Valor absoluto Taller Webgrafía. 15 2

3 1. NÚMEROS REALES Los diferentes tipos de números reales fueron inventados para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo los se necesitan para contar, los para describir una deuda, temperaturas bajo cero, los para conceptos como medio litro de leche y para medir ciertas magnitudes como la diagonal de un cuadrado. Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos con los 1, 2, 3, 4, 5, Los negativos y el cero. constan de los números naturales junto con sus -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, Construimos los al tomar razones de enteros, entonces cualquier número racional puede expresarse como donde m y n son enteros y como ejemplo tenemos: 1/2, -3/7, 46=46/1, 0,17=17/100 Recuerda que una división entre cero siempre se excluye, de modo que expresiones como 3 0 y 0 0 no están definidas. También hay números reales tales como 2, que no se pueden expresar como una razón entre enteros y por lo tanto se denominan. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad que estos números también son irracionales: 3 5 π 3 π 2 3

Por lo general el conjunto de todos los se denota con el símbolo. Cuando usamos la palabra número sin más detalle, queremos decir número real Todo número real tiene una representación decimal.

4 Por lo general el conjunto de todos los se denota con el símbolo. Cuando usamos la palabra número sin más detalle, queremos decir número real Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces su correspondiente decimal es periódico. 1 = = = = = = = = La barra sobre el número indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre. Si el número es irracional la representación decimal no es periódica. Como por ejemplo: Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar, obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo podemos escribir 4

5 Donde el símbolo se lee es aproximadamente igual a. Cuantos más lugares decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación. 2. TRANSFORMACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL A FRACCION Los números decimales pueden clasificarse de la siguiente manera: Un número decimal periódico como es un número racional. Para convertirlo a una razón entre dos enteros, escribimos: La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de 10 y luego restar para eliminar la parte periódica. 5

6 3. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Todos sabemos que etc. en algebra expresamos todos estos hechos así: donde y son números cualesquiera. En otras palabras es una forma de decir que cuando sumamos dos números, el orden de adición no importa. Este hecho se conoce como propiedad conmutativa de la adición. La palabra conmutativa viene de conmutar que significa cambiar, observe que se ha cambiado la posición de los números en los ejemplos anteriores. Las siguientes propiedades también son válidas a.- (x + 3) =. x +. 3 Propiedad distributiva = 2x + 6 Simplificando b.- ( )(x + y) = ( )x + ( )y Propiedad distributiva = (ax + bx) + (ay + by) Propiedad distributiva = ax + bx + ay + by Propiedad asociativa de la adición 6

7 Para adicionar dos números reales se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones: Que los números, como por ejemplo Tienen signo y Tienen signo y Como puedes observar estos números se suman y se escribe el signo de los números, o según sea el caso. Que los números, como por ejemplo Tienen distinto signo y ; Tienen distinto signo y ; En este caso se puede ver que los números tienen diferentes signos, entonces se resta el número mayor del número menor y a continuación se escribe el signo que posee el número mayor. Para multiplicar o dividir dos números reales se debe tener en cuenta la ley de los signos: Observe que el producto o cociente de dos números reales con igual signo siempre será (+) positivo, y el producto o cociente de dos números reales con distinto signo siempre será ( ) negativo. 7

8 Un error que se comete con mucha frecuencia es que la ley de los signos única y exclusivamente se aplica para la multiplicación o división y no para la adición. Suele suceder que si se propone una operación como por ejemplo: se da como respuesta, lo cual es totalmente erróneo, esto no es una multiplicación es una adición de números reales con igual signo. El resultado correcto es 4. PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES 1. Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores entre sí. 2. Para dividir fracciones multiplíquese por el reciproco del divisor 3. Para sumar fracciones con igual denominador, sume los numeradores y escriba el mismo denominador 8

9 4. Para sumar fracciones con denominadores diferentes, encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores 5 Cancele números que sean factores comunes en numerador y denominador 6 Multiplicación cruzada asi que Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos la propiedad 4. En cambio, reescribimos las fracciones de modo que tengan el mínimo denominador común que sea posible, y luego usamos la propiedad 3. Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se describe en el siguiente ejemplo: Descomponemos los denominadores en sus factores primos Encontremos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones, usando la máxima potencia de cada factor. Entonces el MCD es Luego 9

10 5. LA RECTA REAL Los números reales pueden ser ubicados por puntos en una recta Localización de números sobre la recta real. corresponde a, corresponde a y corresponde a Los números reales son ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos si es un número positivo 6. INTERVALOS Algunos conjuntos de números reales, denominados Intervalos, se presentan con mucha frecuencia en el cálculo y son segmentos de rectas. Todo intervalo tiene dos extremos, uno inferior y otro superior y se simbolizan ya sea con paréntesis o con corchetes así: Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semi abiertos o semi cerrados. = Intervalo abierto, No incluye sus extremos. a. no incluye a 1 ni a 6 puesto que es abierto. Se representa con paréntesis. b. si incluye al 1 y 6 puesto que es cerrado. Se representa con corchetes c. incluye el extremo izquierdo ya que es cerrado y no incluye al extremo derecho ya que es abierto. Es un intervalo semi abierto por la derecha o es semi cerrado por la izquierda. Los intervalos pueden extenderse hasta el infinito en una dirección o en ambas. La siguiente tabla sigue una lista de posibles tipos de intervalos. 10

11 Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo. a. b. c. 7. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número, denotado por entre b y cero en la recta de números reales es la distancia que existe Entonces el valor absoluto de es y el valor absoluto de es, como se 11

12 puede apreciar en el grafico anterior. Si b es un número real, entonces el valor absoluto de b es: : este hecho es porque 1. El valor absoluto de un número siempre es positivo. 2. Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto. 3. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. 4. El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos 8. TALLER 1. De un ejemplo de. a. Un numero natural b. Un entero que no sea natural 12

13 c. Un numero racional que no sea entero d. Un numero irracional 2. El conjunto de números entre 3 y 6 pero que no los incluye, se puede escribir como sigue: En notación de conjuntos En notación de intervalos 3. El símbolo x representa la del número x. Si x no es 0, entonces el signo x es siempre Exprese la propiedad de los números reales que se está utilizando: = 7 + ( 2) (3 8) = ( 1 + 3) + ( 8) 6. 9(5 + 6) = Reescriba la expresión usando la propiedad dada de los números reales 7. Propiedad Conmutativa de la adición. x + 3 = 8. Propiedad Asociativa de la multiplicación 8(2x) = 9. Propiedad distributiva 9(M + N) = Realizar las operaciones indicadas: 10. ( ) (2 2 3 ) ( ) Escriba el símbolo correcto: ( >. <. =)

14 Decida verdadero o falso < = Exprese el intervalo como una desigualdad y grafique el intervalo 20. ( 2,5) 21. [1,7] 22. [ 3,10) Exprese la desigualdad en notación de intervalos 23. x x x 4 Evaluar las expresiones La adición, la sustracción y el producto de dos números irracionales son números racionales es racional o irracional? 1 3 es racional o irracional? Que se 3 3 puede decir a cerca de la suma de un racional y un irracional y que se puede decir del producto? La adición y la multiplicación son operaciones que gozan de la propiedad conmutativa: a. La sustracción es conmutativa? b. La división de números reales diferentes de cero es conmutativa? 14

15 WEBGRAFÍA Las maravillas de las matemáticas Educ.ar Operaciones con Números Reales get 8790e2a7-c857-11e0-80e7- e7f760fda940/index.htm ANAYA. Los Números Enteros os/04/01.htm ANAYA. Operaciones con fracciones os/08/unidad_08.htm GenMagic. Números Reales 15

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