TEMA 1 NÚMEROS NATURALES

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1 TEMA 1 NÚMEROS NATURALES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Efectuar correctamente operaciones combinadas de números naturales, aplicando correctamente las reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado de signos y paréntesis. 2 Resolver operaciones efectuando aproximaciones y redondeos. 3 Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro y obtener los múltiplos y los divisores de un número. 4 Aplicar correctamente los criterios de divisibilidad por 2, por 3, por 5, por 9 y por Diferenciar un número primo de un número compuesto. 6 Descomponer números en factores primos. 7 Determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números mediante su descomposición en factores primos. 8 Resolver correctamente problemas que requieran aplicar el cálculo de máximo común divisor o del mínimo común múltiplo.

2 INDICE 1. Sistema de numeración decimal 2. Los números naturales 2.1 Utilidad de los números naturales 2.2 Representación sobre la recta 2.3 Operaciones 3. Divisibilidad 3.1 Múltiplos de un número 3.2 Divisores de un número 3.3 Criterios de divisibilidad 3.4 Números primos y compuestos 3.5 Descomposición factorial 3.6 Máximo común divisor 3.7 Mínimo común múltiplo

3 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL A lo largo de la historia, las civilizaciones utilizaron diferentes sistemas de numeración. De algunos de ellos, como el romano o el sexagesimal de la antigua Babilonia, todavía quedan algunos vestigios en nuestra sociedad actual, todavía se escribe en algunos casos el año MMX o la hora 18:56, por ejemplo. Nuestro sistema de numeración actual es un sistema posicional y decimal. Decimos que es posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número: el primer 7 del número 757 no vale lo mismo que el segundo 7. El valor del segundo 7 es siete unidades, pero el valor del primer 7 es de 700 unidades. Decimos que es decimal porque diez unidades de un determinado orden equivalen a una unidad del orden superior. Así, diez unidades son una decena; diez decenas son una centena, diez centenas forman un millar, etc. Por ello, un número es igual a la suma de los productos de sus cifras por sus valores respectivos. Por ejemplo, el número se puede descomponer de la siguiente manera: = = = 7x x x x10 + 9

4 2. LOS NÚMEROS NATURALES Los números Naturales son todos los números mayores de cero (algunos autores incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N = [1, 2, 3, 4, 5...]. Al ser mayores de cero son los números enteros positivos. El conjunto de números Naturales se representa con la letra N Utilidad de los números naturales Contar: Saber exactamente el número de elementos de un conjunto. Ordenar: Cuando se asocia un número a cada elemento de un conjunto, éste queda ordenado. Al usar los números naturales para ordenar se denominan números ordinales. Estimar: Calcular de forma aproximada los elementos de un conjunto Representación sobre la recta 1º Trazamos sobre una línea recta y marcamos un punto (central) que llamaremos origen y le daremos el valor 0. 2º A partir del origen, trazamos segmentos iguales consecutivos. 3º Asignamos el 1 al extremo del primer segmento, el 2 al siguiente y así sucesivamente Operaciones con números naturales Con los números naturales podemos efectuar diversas operaciones, entre ellas las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Suma O adición, consiste en agregar una cantidad a otra = 583 Sumandos Suma o total

5 PROPIEDADES DE LA SUMA: a) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado = = 12 b) Asociativa: El resultado no depende de la forma en que se agrupen los sumandos. (2 + 5) + 10 = 2 + (5 + 10) 17 = 17 c) Elemento neutro: Es el número que sumado con cualquier otro no lo varía. En la suma es el = 26 Resta O sustracción, es la operación opuesta a la suma y permite hallar la diferencia entre dos números = 579 Además toda resta cumple que: Minuendo Sustraendo Resta o diferencia = Multiplicación Sustraendo Resta Minuendo Multiplicar consiste en sumar una misma cantidad cierto número de veces. Una estantería de la biblioteca tiene 24 estantes. Si en cada estante hay 56 libros, cuántos libros hay en la estantería? Resultado: Hay libros 24 Factor X 56 Factor producto

6 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO Conmutativa Si cambiamos el orden de los factores, el resultado no varía = = 36 Asociativa Elemento neutro El resultado no depende de la forma en la que se agrupen los factores. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, pues al multiplicar cualquier número por 1, el resultado no varía. (9 3) 4 = 9 (3 4) 27 4 = = = 34 Distributiva de la multiplicación respecto a la suma El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de este número por cada sumando (o sustraendo) 3 (4 + 7) = = = 33 Esta última propiedad también puede aplicarse para transformar una suma de productos con un factor común. Es decir, = 2 (9 + 5) División Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Dividendo Divisor Susana tiene que repartir 125 fotografías en 25 cajas. Cuántas fotografías debe poner en cada una? Resultado: Pondrá 5 fotografías en cada caja Resto Cociente Decimos que dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro una cantidad exacta de veces, es decir, cuando su cociente es exacto. También podemos decir simplemente que cuando la división entre dos números es exacta, decimos que existe entre ellos relación de divisibilidad. D d 0 c La división es exacta D es divisible entre d D es múltiplo de d d es divisor de D.

7 En estos casos en que dos números están emparentados por la relación de divisibilidad decimos que el mayor es múltiplo del menor y menor es divisor del mayor. Existen dos tipos de divisiones según si el resto es 0 o no. DIVISIÓN EXACTA Una división es exacta si el resto es 0. En toda división exacta se cumple que: Divisor Cociente = Dividendo Resto = 0 DIVISIÓN ENTERA Una división es entera si el resto es distinto de 0. En toda división entera se cumple: Divisor Cociente + Resto = Dividendo Ejemplo: Ejemplo: Operaciones combinadas En las expresiones en la que aparecen varias operaciones juntas hay que tener en cuenta el orden en que debemos efectuarlas. PRIORIDAD EN OPERACIONES COMBINADAS 1º Paréntesis y corchetes 2º Potencias y raíces 3º Multiplicación y división (en orden) 4º Sumas y restas (de izquierda a derecha) Ejemplos: SIN PARÉNTESIS CON PARÉNTESIS : (4 + 2)

8 DIVISIBILIDAD 3.1. Múltiplos de un número Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando éste, por un número natural. Hallar los múltiplos de 2 y de 15: Los múltiplos se obtienen multiplicando estos números por la sucesión de números naturales. Por lo tanto Múltiplos de 2: M(2)= 2,4,6,8,10,... Múltiplos de 15: M(15)= 15,30,45,60,75... PROPIEDADES Cualquier número es múltiplo del 1; a 1=a, b 1=b, con números 5 1=5, 4 1=4, por que cualquier número al multiplicarlo por 1 sigue siendo el mismo y también es múltiplo de 1. Un número es siempre múltiplo de sí mismo. Los múltiplos de un número (distinto de cero) son infinitos. La suma de dos o más múltiplos de un número es también múltiplo de dicho número. Suma de Múltiplos Si le llamamos a al número y m a y n a a dos de sus múltiplos decimos que p.e. m a+n a =(m+n) a 10 es M(5) y 15 es M(5) por lo tanto 10+15=25; 25 es M(5)

9 El producto de dos o más múltiplos de un número es también múltiplo de dicho número. Producto de Múltiplos Si le llamamos a al número y m a y n a a dos de sus múltiplos decimos que (m a) (n a)= m n a 2 = (m n a) a p.e. 14 es M(7) y 21 es M(7) por lo tanto 14 21=294; 294 en M(7) Si un número es múltiplo de otro y éste lo es de un tercero, el primer número es múltiplo del tercero. p.e. 30 es M(10) y 10 es M(5) por lo tanto 30 es M(5) Si a un múltiplo de a se le suma otro número que no lo sea, el resultado no es múltiplo de a. p.e. 10 es M(5) y 10+11=21, el 11 no es múltiplo de 5 por lo tanto 21 tampoco es múltiplo de Divisores de un número Los divisores de un número son aquellos valores que lo dividen en partes iguales, es decir, que la división entre estos número es exacta. Para obtener todos los divisores de un número a buscamos por tanto todas las divisiones exactas de éste si b y c son divisores de a. Halla los divisores de 45 a =b c 1º Dividimos por la sucesión de números naturales menores que nuestro número, hasta que el cociente sea igual o menor que el divisor y siempre que la división sea exacta. 45:1=45 45:2=22 y r=1 45:3=15 45:4=11 y r=1 45:5=9 45:6=7 y r=3 45:7=6 y r=2 (cociente < divisor) 2º En las divisiones exactas el divisor y el cociente son divisores de 45: 1 y 45, 3 y 15, 5 y 9

10 3º Los divisores de 45 son D(45)= 1,3,5,9,15,45 PROPIEDADES El número 1 es divisor de cualquier número. P.e. 7:1=7, 8:1=8, 121:1=121 Un número es siempre divisor de sí mismo. P.e. 7:7=1, 8:8=1, 121:121=1 Si un número es divisor de otro dos, también es divisor de su suma. P.e.5 es D(10) y 5 es D(15) por lo tanto 10+15=25 entonces 5 es D(25) Si un número es divisor de otros dos, también es divisor de su producto. P.e.7 es D(14) y 7 es D(21) por tanto, 21 14=294 entonces 7 es D(294) Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primer número es divisor del tercero. P.e.5 es D(10) y 10 es D(30) por lo tanto 5 es D(30) Un número tiene una cantidad finita de divisores 3.3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Los criterios de divisibilidad son las reglas que nos permiten reconocer fácilmente, sin necesidad de hacer las divisiones, cuando un número es divisible por otro. Estas reglas se llaman criterios de divisibilidad. CRITERIO DEFINICIÓN DIVIBILIDAD POR 2 Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de DIVISIBILIDAD POR 3 3. DIVISIBILIDAD POR 5 Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. DIVISIBILIDAD POR 9 DIVISIBILIDAD POR 11 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9 Un número es divisible por 11 si la resta entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las cifras que ocupan lugar impar es 0 o múltiplo de 11. Indica si 840 es divisible por 2, 3, 5, 9 y Termina en 0 Es divisible por 2 y por 5

11 = 12, es múltiplo de 3 Es divisible por = 12, no es múltiplo de 9 NO es divisible por = 8, 8 4 = 4 NO es divisible por 11; Por lo tanto el número 840 es divisible por: 2, 3 y Números primos y compuestos Cualquier número natural, a excepción del 1, tiene como mínimo dos divisores naturales, él mismo y el uno. Podemos clasificar los números naturales, menos el 1, en primos o compuestos según si tienen dos divisores distintos o más de dos. Números primos Son aquellos que sólo tienes dos divisores diferentes: el uno y el mismo número. (Por ejemplo el 2, 3, 5, 7 ) Números compuestos Son aquellos que tiene más de dos divisores diferentes. (Por ejemplo el 4, 6, 8, 20 ) El número 1, aunque solo tiene un divisor, no se considera primo. Los números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, Descomposición en factores primos o descomposición factorial La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como un producto de factores, siendo todos los factores primos. Si un factor aparece repetido, se escribe en forma de potencia (recuerda que =2 4 ) Existen varias formas de obtener esta descomposición: Método 1 Descomponer en factores primos el número 24: 24 = = = 3 8 Como los factores encontrados no son número primos, seguimos descomponiendo 24 = 12 2 = = = 4 6 = = 3 8 = = = = 3 2 3

12 Método 2 (Este es el método que aplicaremos en clase) 3.6. Máximo común divisor El máximo común divisor (M.C.D) de dos o más números es el divisor común más grande que poseen dichos números. Cómo se calcula? Se descomponen en factores primos cada uno de los números. Elegimos los factores comunes elevados al exponente más pequeño. Hacemos el producto de los factores que hemos elegido. Calcular del M.C.D de 36, 72 y 120 Descomponemos en factores los tres números = = = Elegimos los factores comunes elevados al exponente más pequeño. o Factores primos comunes: 2 y 3

13 o Factores primos comunes elevados al menos exponente: 2 2 y 3 Hacemos el producto de los factores que hemos elegido. M.C.D.(36, 72, 120) = = Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el múltiplo común más pequeño que poseen dichos números. Cómo se calcula? Descomponemos en factores primos cada uno de los números. Seleccionamos los factores primos comunes y los no comunes, elevados al mayor exponente. Hacemos el producto de los factores que hemos elegido. Calcular el m.c.m. de 12, 24 y 28 Descomponemos en factores primos cada uno de los números = = = Seleccionamos los factores primos comunes y los no comunes, elevados al mayor exponente. o Factores primos comunes y no comunes: 2, 3 y 7 o Factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente: 2 3 y 3 Hacemos el producto de los factores que hemos elegido. m.c.m.(12, 24, 28) = = 168