Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO Funciones monótonas

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1 CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función es monótona creciente si <. D f / ) f. / < f. /. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función creciente va de abajo hacia arriba. Una función es monótona decreciente si <. D f / ) f. / > f. /. canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función decreciente va de arriba hacia abajo. Si <. D f / ) f. / f. /, la función es monótona no decreciente. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no decreciente no baja (donde es constante). Si <. D f / ) f. / f. /, la función es monótona no creciente. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no creciente no sube (donde es constante).

3 .6 Tipos de funciones Una función es monótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una de las partes la función sea monótona. Creciente a b Decreciente c Creciente d Vemos que la función anterior es:. Creciente en. ; a/.. No decreciente en. ; b/.. Constante en.a; b/.. No creciente.a; c/.. Decreciente en.b; c/. 6. No creciente en.b; d/. 7. Constante en.c; d/. 8. No decreciente en.c; C/. 9. Creciente en.d; C/..6. Funciones pares e impares El dominio de una función f es simétrico con respecto al origen, cuando satisface: D f ) D f : Si suponemos que f cumple esta condición, entonces: f es par si f. / D f./. Recordemos que dos puntos son simétricos respecto a una recta si éta es la mediatriz del segmento que ellos determinan. A l A

4 Cálculo Diferencial e Integral I Los puntos A A son simétricos con respecto al eje l. La recta l es la mediatriz del segmento AA. Que un conjunto de puntos sea simétrico con respecto a un punto (llamado centro de simetría) quiere decir que está constituido por parejas de puntos simétricos con respecto a tal centro de simetría. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje, es decir, está constituida por parejas de puntos simétricos con respecto al eje pues si una función es par un punto.a; b/ G f, entonces otro punto de la gráfica de f es. a; b/. Ejemplo.6. f./ D C es par a que f. / D. / C D C D f./. f./ D C f.a/ D f. a/ a a Si D, entonces f./ D f. / D. Ejemplo.6. Las siguientes funciones son pares:

5 .6 Tipos de funciones f es impar si f. / D f./. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.0; 0/. Si una función es impar un punto.a; b/ G f, entonces otro punto de la gráfica de f es. a; b/ que es el simétrico de.a; b/ respecto al origen. Ejemplo.6. f./ D es impar a que f. / D. / D D f./. f./ D f.a/ D f. a/ a a Si D, entonces f. / D. / D 7 D f./. Ejemplo.6. Las siguientes funciones son impares:

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I.6. Función lineal Una función f es lineal si es de la forma f./ D m C b con m & b R. Su dominio son todos los reales. Su gráfica es una línea recta de pendiente m ordenada en el origen b. Si m 0, la única raíz de f./ D m C b es D b m a que f./ D 0, m C b D 0, D b m :. Si m D 0, diremos que f./ D b es constante, su rango consta de un solo número: f b g. Su gráfica es una recta paralela al eje de las que pasa por el punto.0; b/. Ejemplo.6. Si f./ D, entonces D f D R & R f D f g. La gráfica de D f./ D es la recta paralela al eje de las que pasa por el punto.0; / no tiene raíces. D f./ D 0 Ejemplo.6.6 Si f./ D 0, entonces D f D R & R f D f 0 g. Su gráfica es el eje de las todos los reales son raíces de f./!. Si m > 0; f./ D m C b es creciente. Ejemplo.6.7 Si f./ D C, entonces D f D R & R f D R. f./ D C

7 7.6 Tipos de funciones 7 f./ es creciente su única raíz es cuando: f./ D C D 0, D, D D :. Si m < 0; f./ D m C b es decreciente. Ejemplo.6.8 Si f./ D, entonces D f D R & R f D R. f./ D La función f es decreciente su única raíz es cuando: f./ D D 0, D, D D :.6. Función cuadrática Una función f es cuadrática si es de la forma Su dominio son todos los reales. f./ D a C b C c con a 0; b & c R : Tiene dos raíces, una o ninguna dependiendo de si b ac >; D o bien < 0 respectivamente. Su gráfica es una parábola vertical que se abre hacia arriba o hacia abajo a partir de su vértice, dependiendo de si a > 0 o bien a < 0. Recordemos que: D a C b C c D a ( C ba ) D a ( ba b C C ( D a C b ) C a C c D a ) C c ac b a : b a D

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba para D es: D ac a b. b se obtiene el menor valor para que a Rango ac b a b a [ ) ac b Su rango es ; C. a Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo para D es: D ac a b. b a b a se obtiene el maor valor para que ac b a Rango ( Su rango es ] ac b ;. a En ambos casos: ( b Su vértice es el punto: V a ; ac a Es monótona por partes. b ). Ejemplo.6.9 allar el vértice, el eje, la intersección con el eje (las raíces) graficar la parábola D C :

9 9.6 Tipos de funciones 9 Esta parábola se abre hacia abajo a que a D < 0. Además, D ( C ) C D D ( C C ) C C D D. C / C : Vértice: V. ; /; eje: D. Las raíces se obtienen cuando D 0: Gráfica de D C : C D 0,, C D 0 (multiplicando a la ecuación dada por ),, D p6 C D p { 0: : : f./ D C p C p.6. Funciones polinomiales Una función f que tiene la forma f./ D a C b C cd C d con a 0; b; c d R ; se llama función cúbica : Ejemplo.6.0 Sea la función f./ D, su gráfica es

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I 8 f./ D 8 Además: D f D R f D R, es impar creciente. Una función f es polinomial de grado n donde n N [ f 0 g si es de la forma f./ D a 0 n C a n C a n C C a n C a n C a n ; con fa 0 ; a ; a ; ; a n ; a n ; a n g R que son llamados coeficientes. Ejemplo.6. Las funciones f./ D ; f 6./ D 6 ; ; f n./ D n con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales su rango los reales no negativos, su única raíz es D 0, son pares no son monótonas pero restringidas a los reales no negativos son crecientes a los no positivos son decrecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f./ D. Ejemplo.6. Las funciones f./ D ; f 7./ D 7 ; ; f nc./ D nc con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales su rango también los reales, su única raíz es D 0, son impares crecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f./ D..6.6 Funciones racionales algebraicas Una función de la forma: ˆ./ D f./ g./ donde f./ & g./ son funciones polinomiales se llama función racional. Su dominio son todos los números reales con ecepción de las raíces del denominador g./, que a lo más son tantas como su grado.

11 .6 Tipos de funciones Ejemplo.6. Sea la función racional f./ D D. D f D R f D R f0g. Es impar, no monótona, pero restringida a los reales negativos o a los positivos es decreciente. Su gráfica es la hipérbola equilátera D. D Una función tal que en su regla de correspondencia sólo aparezca la variable independiente./, números reales los símbolos de sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia etraer raíz se llama función algebraica. Ejemplo.6. Sea la función algebraica f./ D p, su gráfica es p D p D f D R f D R C f0g. Su única raíz es D 0, es creciente su gráfica es la semiparábola superior D. Ejemplo.6. Sea la función algebraica f./ D p, su gráfica es

12 Cálculo Diferencial e Integral I D p D f D Œ ; ; R f D Œ0;. Sus raíces son D & D, es par, no es monótona, es monótona por partes, creciente en Œ ; 0 decreciente en Œ0;, su gráfica es la semicircunferencia unitaria superior D p, D, C D con centro en el origen.0; 0/..6.7 Función definida por partes A veces la regla de correspondencia de la función no es una sóla fórmula, esto es, el dominio de la función está descompuesto en partes ajenas en cada una de ellas la función está definida por una fórmula diferente. Ejemplo.6.6 Trazar la gráfica de la función f./ D j j, valor absoluto de. Recordando la definición se tiene f./ D j j D { si 0 I si < 0 : Por la definición de f sucede que:. Si 0, entonces D f./ D j j D ) D, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m D.. Si < 0, entonces D f./ D j j D ) D, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m D. D f D R & R f D R C f0g, es decir, los reales no negativos. f. / D j j D ) A.; / & B. ; / están en la gráfica D jj B A

13 0/. + -, ( *) % '& $# "!.6 Tipos de funciones Ejemplo.6.7 Trazar la gráfica de la función de eaviside (80-9) { 0 si t < 0 I.t/ D si t 0 : La gráfica es: Ejemplo.6.8 Graficar la función E./ D n si n < n C. Nótese que E es una función definida por partes. Esta función se llama la función cumpleaños" o bien el maor entero menor o igual que". D E D R & R E D Z. Ejemplos de E./ para algunos valores de : E./ D I E.e/ D I E. p / D &E. p / D : Algunos autores en lugar de E./, E.e/, E. p /, E. p / escriben: E. D /I E. D e/ I E. D p / & E. D p /; respectivamente. Veamos su gráfica: Ejemplo.6.9 Graficar la función f./ D E./. Si Œn; n C / con n Z ) f./ D n.

14 C F BA P ED I L G RQ RQ KJ O NM P RQ 7 : 6 RQ 98 <;?> Cálculo Diferencial e Integral I D f./ D f D R & R f D Œ0; /. Ejemplo.6.0 Trazar la gráfica de la función si < I g./ D si < < I 8 si < : Para obtener la gráfica de g notemos que:. Para < se tiene que g./ D. En este caso la gráfica de g es el segmento de la recta D que tiene por etremos a los puntos A. ; / B. ; /.. Para < < se tiene que g./ D. En este caso la gráfica de g es la porción de la parábola D que tiene vértice en V.0; 0/ por etremos a los puntos C. ; / D.; /.. Para < se tiene que g./ D 8. En este caso la gráfica de g es el segmento de la recta D C 8 que tiene por etremos a los puntos E.; / F.; /. Por lo tanto la gráfica de la función g es C E D g./ A B D F Comprobamos en esta gráfica que el dominio de g es D g D Œ ; / f g, el rango de g es. ; que los puntos B. ; /, C. ; /, D.; / F.; / no pertenecen a la gráfica de la función a diferencia de A. ; / de E.; /, que sí están es la gráfica. Ejemplo.6. Trazar la gráfica de la función C si < < I f./ D j j si < < I si < 6 :

15 TS TS TS U TS TS U.6 Tipos de funciones Para obtener la gráfica de f notamos que:. Para < < se tiene que f./ D C. En este caso la gráfica de f es el segmento de la recta D C que tiene por etremos a los puntos A. ; / B. ; /.. Para < < se tiene que f./ D j j. En este caso la gráfica de f está compuesta por el segmento de la recta D con etremos en C. ; / O.0; 0/, por el segmento de la recta D con etremos en O.0; 0/ E.; /.. Para < 6 se tiene que f./ D recta D C cuos etremos son los puntos F.; / G.6; /.. En este caso la gráfica de f es el segmento de la Por lo tanto la gráfica de la función f es B C F E D f./ G O 6 A Entonces, el dominio de f es D f D. ; 6 f ; g, el rango de f es R f D. ; / comprobamos que los puntos A, B, C, E F no pertenecen a la gráfica de la función, a diferencia de O G que sí están en la gráfica. Ejercicios.6. Soluciones en la página??. Dada la función f./ D p C, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.. Dada la función f./ D p, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.. Dada la función f./ D, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas. C. Si f es par será g./ D. C /f./ par?. Si f & g son impares será h./ D.f C g/./ impar? 6. La función f es par, parte de su gráfica es la figura siguiente:

16 6 WV ]\ ^ Z ^ ^ [ YX ^ 6 Cálculo Diferencial e Integral I D f./ a. Complete su gráfica de f. b. Obtenga su dominio, raíces rango, además determine a partir de la gráfica completada las soluciones de f./ > 0 de f./ < Si f es una función par cua gráfica para es la que se indica en la figura, D f./ completar la gráfica, indicar su dominio, sus raíces su rango. 8. Sea la función si I f./ D C si < I 7 si < : a. Obtener su gráfica. b. Determinar su dominio rango. c. Calcular: f. /, f. /, f. /, f.0/, f./, f./ & f. 000/. 9. Dada la siguiente función j C j si < I p g./ D si I si > : Obtenga su gráfica diga si es par, impar o ninguna de las dos. Determinar su rango.

17 7.6 Tipos de funciones 7 0. Sea C si < I p f./ D si I si > : Esboce su gráfica, obtenga el rango, las raíces diga si es par, impar o ni una cosa ni la otra.. Graficar la siguiente función z C si z < I G.z/ D z si z I si z > :. Considere la función f./ D { C si. ; 0 I C si Œ; C/ : Obtener dominio, raíces, gráfica rango de dicha función.. Sea C si < I f./ D si j j < I si : a. Proporcionar el dominio raíces de f. b. acer un bosquejo gráfico hallar el rango.. Sea la función C si < 0 I f./ D si 0 < I C si : a. Proporcionar el dominio de la función, sus raíces su paridad. b. acer un bosquejo de la gráfica hallar el rango.. allar el dominio, graficar determinar el rango de las funciones: si 0 I a. f./ D si 0 < < I C si : b. g./ D j j C :

18 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I 6. Determinar dominio, raíces, un esbozo de la gráfica de la siguiente función su rango. { j C j si < < I f./ D C si : 7. Dada la función si < I f./ D C si I si > : a. Trace su gráfica. b. Determine su dominio, rango raíces. 8. Dada la siguiente función j C j si 0 I f./ D C si 0 < < I si ; obtener la gráfica de f, su dominio, su rango sus raíces. 9. Sea Determine: C 7 si < I si < I f./ D si I si < < 6 I 6 C 7 si 6 : 6 a. Gráfica rango de f. b. Es par o impar f? Justifique su respuesta. 0. Graficar la función C si < I p f./ D si I j j si > :. Realizar un bosquejo de la gráfica de la función C si < I j j si < & 0I f./ D si D I 6 C 6 si > :

19 _ 9.6 Tipos de funciones 9. Obtener dominio gráfica de la función j j C si 0 I f./ D C si 0 < I si :. Considere las funciones así como U./ D { 0 si < 0 I si 0 : si < 0 I sgn./ D 0 si D 0 I si > 0: Obtener el dominio, la gráfica el rango de la función definida por f./ D sgn./ C U./:. Sean las funciones f./ D { si 0 < 6I si > 6: g./ D { si 0I si > 0: Obtenga el dominio la fórmula de la función f C g.. A partir de la gráfica de la función f D f./ _ 6 determine: a. Los intervalos donde f./ > 0 & f./ < 0, así como los valores donde f./ D 0, es decir, las raíces de f. b. Los intervalos de monotonía de f, es decir, dónde es creciente dónde es decreciente. 6. A partir de la gráfica de la función f :

20 0 e a` f 0 Cálculo Diferencial e Integral I 0 D f./ 7 b c d Determinar: a. Los intervalos donde f./ > 0 & f./ < 0; los valores donde f./ D 0. b. Los intervalos de monotonía de f ; es decir dónde es creciente dónde es decreciente. 7. Para la función: C si 7 < I f./ D C si I si < 6 : a. Bosqueje su gráfica. b. Determine su dominio, su rango sus raíces. c. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento decrecimiento. d. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos donde la función es positiva donde es negativa. 8. Sea la función: si 6 < I f./ D si I C 7 si < : a. Bosqueje la gráfica de la función. b. Determine el dominio el rango de la función; encuentre también sus raíces. c. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento de decrecimiento. d. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos en donde la función es positiva negativa. 9. Sea la función: Bosquejar su gráfica. C si I f./ D si. ; / I si : Obtener el dominio, raíces especificar los intervalos donde: a. f./ > 0; b. f./ < 0; c. f./ crece; d. f./ decrece.

21 g g g ih g g g g g.6 Tipos de funciones 0. Sea la función C si 0 I f./ D j j si 0 < < I si : a. Grafique la función. b. Cuáles son el rango las raíces de f? c. Cuáles son los intervalos de monotonía de f? d. La función f es par o impar? Justifique su respuesta.. En el dibujo aparece una parte de la gráfica de la función f D f./ a. Complete esta gráfica sabiendo que se trata de una función par también determine su dominio, raíces rango (imagen). b. Determine las soluciones de las desigualdades f./ > 0 & f./ < 0. c. Determine los intervalos donde esta función f es i. creciente; ii. decreciente.. La siguiente figura es parte de la gráfica de una función f :

22 l kj l l l Cálculo Diferencial e Integral I 9 7 D f./ a. Completar la gráfica sabiendo que es una función par. b. Determinar dominio, raíces rango. c. Determinar los intervalos de monotonía.

23 r qp r wv qp nm ts u o u u o nm u { { z { { { z.6 Tipos de funciones Ejercicios.6. Tipos de funciones, página??. No es par ni impar. 8.. f./ no es par ni impar. 0. Es impar. 7. Sí.. Sí. D f./ 6. D f./ D f D Œ ; C/; R f D Œ ; 0 ; f. / D, f. / D, f. / D, f.0/ D ; 0 r r r r f./ D 0, f./ D 7 f. 000/ D D f D. ; /.; C/; raíces: D 8,, & 8; D g./ rango = f g Œ ; ; f./ > 0,. 8; /. ; /.; /.; 8/; f./ < 0,. ; 8/.8; C/. 7. no es par ni impar; R g D R. D f./ 0. D f./ D f D Œ ; /.; ; R f D Œ ; /; raíces D, D, D & D. R f D. ; ; las raíces son D ; la función es par.

24 Ž ˆ ~} Œ Š ž Ÿ š Ÿ Cálculo Diferencial e Integral I. raíces: D ; f no es par, ni impar D G.z/ D f./ ƒ. D f D. ; 0 [ Œ; C/; la única raíz es D p ;. D f D R ; D f./ D f./ :8 8 œ œ R f D R.. Dominio: Œ ; f g; rango: Œ ; ; raíces: D & D ; R f D. ; 0 [ fg [ Œ; C/. D g D R f0g; D f./ V W R g D { } ;. D g./. D f D Œ ; ; R f D Œ ; ( ] 9 8 ; ; 6. D f D. ; C/; las raíces son D & D C p ;

25 ª ³² ³² «µ ³² ± µ µ µ.6 Tipos de funciones R f D. ; D f./ 0 «««6 7 6 D f./ R f D. ;.; C/; 7. D 0. la función no es par ni impar. D f./ D D f./ D f D. ; C/ D R ; R f D. ; ; raíces D & D D f D R ; R f D f g Œ0; C/; raíz D. D f./ ²³²³ D f./ C p. D f D. ; Œ; C/ ;. 6 D f./

26 6» º ¹»»» ½¼»    ¾   ¾ 6 Cálculo Diferencial e Integral I D f D R ; f./ < 0 si Œ 7; p /. p ; : D f./ 8. a. R f D f ; 0g.; C/.. D f Cg D. 0; C/; C si. 0; 0 I.f C g/./ D C si.0; 6 I C si.6; C/ :. a. En. ; 0/.0; /.; C/, f./ > 0; en. ; /.; /, f./ < 0; f./ D 0 si D, D & D ; b. f es creciente en. ; 0/.; 6/; f es decreciente en.0; /.6; C/. 6. f./ > 0 si. ; /. ; /.; 7/; f./ < 0 si. ; /. ; /.7; C/; f./ D 0 si D ; ; ; 7; f es creciente en. ; / en.0:; /; f es decreciente en. ; 0:/ en.; C/. 7. a. 6 D f./ b. D f D Œ 6; ; R f D Œ ; ; raíces D ; 7 ; c. f./ crece en Œ0; decrece en Œ ; 0 Œ; ; d. f./ > 0 si Œ 6; / ( ; 7 ) ; f./ < 0 si. ; / ( ] 7 ;. 9. D f D R ; las raíces: f ; ; g; f./ > 0 si. ; /. ; /.; /; f./ < 0 si. ; / Œ; /; 7 D f./ 6 f./ crece si. ; / ;. ; 0/ en.; /; f./ decrece si. ; / en.0; /; ÀÁÀÁ 6 b. D f D Œ 7; 6 R f D Œ 6; fg; raíces D p; c. en Œ 7; 0 creciente en Œ0; decreciente; en.; 6 es constante; D f./ d. f./ > 0 si. p ; p /.; 6 ;

27 Æ Ç Å Ç Å Ê Ê Ê Ê Ç Ê Ç Ç Å ÄÃ Ç Ç Ê Ê Ê Í ÌË Ð Ð Í Í Í ÏÎ Ð 7.6 Tipos de funciones 7 0. a.. a. D f./ b. R f D. ; ; sus raíces son c. f es creciente en. ; Œ; ; f es decreciente en Œ ; ; f constante en Œ; C/; d. f no es par tampoco es impar ÈÉÈÉ D f./ p ;. raíces: 6; ; 6; R f = Œ 0; 0 ; ( b. f./ > 0 si 6; ) ( ; 6 f./ < 0 si.7; 6/ ( ; ) ; ).6; 7/; c. f es creciente en. 7; /, Œ0; en Œ; /; 7 f es decreciente en. ;.; 7/. 9 7 D f./ /, Œ ; 0 en D f D Œ 7; 7 ; raíces: f ; g; R f D Œ ;.; 9 ; 0 la función decrece en Œ 7; / en Œ0; ; D f D. 7; 7/; la función crece en Œ ; 0 en Œ; 7.